Непейвода. Прикладная логика

написано его имя (например, Z υς). В соответствии с этим возникает

следующее индуктивное определение выводимых (или порождаемых)

объектов.

1. Если Ξ — аксиома, Ξ —

выводимый объект.

Определение 9.5.1.

2. Если Ξ1, · · · , Ξn — выводимые объекты, Ξ получается из них при-

менением правила вывода, то Ξ —

выводимый объект.

Процесс порождения объекта согласно данному индуктивному опре-

делению представляется деревом, как доказано в

6.1.

ко-

Определение 9.5.2.

Вывод в исчислении I традиционного типа —

нечное нагруженное дерево, листьям которого сопоставлены аксиомы,

ребрам —

положительные натуральные числа, остальным вершинам —

пара из имени правила и объекта, получающегося применением данного

правила к объектам, сопоставленным вершинам,

непосредственно сле-

дующим за данной, взятым в порядке, соответствующем числам, припи-

санным ребрам, ведущим в эти вершины, причем количество вершин,

непосредственно следующих за данной, равно количеству посылок в

соответствующем правиле (обозначим его n), а ребра, в них ведущие,

взаимно-однозначно занумерованы числами от 1

до n.

Таким образом,

правила в исчислении, в отличие от правил в алго-

ритме или предложений в программе,

лишь дают возможность совер-

шить какие-то преобразования, но не обязывают нас сделать это. Как

говорят,

исчисление порождает объекты.

Пример 9.5.2. Рассмотрим исчисление для порождения палиндромов,

или перевертышей (слов типа ‘кабак’), в алфавите A. Пусть ξ —

пере-

менная,

значениями которой являются буквы в алфавите A. Аксиомами

nl = mk

где соединение есть просто приписывание одного слова к другому, а не

умножение. Тем не менее можно доказать, что ни одно дерево вывода в

расширенном исчислении не содержит меньше правил, чем в исходном.

Этот пример ставит важный и тонкий вопрос, связанный с предста-

влением данных. Вывод представлен как дерево. Но дерево плохо тем,

что его ветви абсолютно независимы,

и получив однажды n = n, мы

должны на другой ветви получать его вновь. Нельзя ли перейти к бо-

лее эффективному представлению, не заставляющему копировать мно-

жество раз одни и те же куски вывода?

Таким представлением является сеть вывода. Ниже дана сеть выво-

да формулы 8 = 8, более короткая, чем соответствующее дерево.

SSSSSSSS = SSSSSSSS

↓

↓

Сеть часто представляется в другом виде, более удобном для использо-

вания в математическом тексте. Это последовательность объектов. Ка-

ждый объект в этой последовательности является либо аксиомой, либо

получается по одному из правил вывода из объектов, стоящих ранее.

Известно, что при преобразовании сети в дерево количество объектов в

выводе порою растет экспоненциально, т.е. пропорционально c · an, где

a > 1, n —

количество объектов в выводе, c —

константа.

9.6. СЕКВЕНЦИИ

237

Как обычно, точная формализация требует введения вспомогатель-

ных понятий, выявляющих многое из того, что скрыто за “ общепонят-

ными”

словами в нестрогом описании.

Важнейшее из них —

секвенция.

Прежде чем определить секвенцию, дадим неформальные пояснения.

Секвенция отображает некоторую стадию построения подтаблицы и

состоит из всех результатов, полученных в ней в данный момент.

Эти ре-

зультаты, как мы уже видели, не просто формулы, а формулы с дополни-

тельными спецификациями.

Далее,

при интерпретации секвенции необ-

ходимо учесть,

что в некотором смысле метод семантических таблиц —

метод доказательства от противного.

Стремясь убедиться, что формула

—

тавтология,

мы предполагаем, что она ложна, и старательно выиски-

ваем все возможности, чтобы это нежелательное предположение оправ-

далось. Лишь неудача всех возможных попыток опровергнуть формулу

заставляет нас принять,

что она тождественно истинна. Данные сообра-

жения лежат в основе “

парадоксального” определения истинности се-

квенции ниже.

Определение 9.6.1. Если задано множество спецификаций S, и α S,

а A —

формула,

то αA —

специфицированная формула. Секвенция —

набор специфицированных формул. Классическая секвенция —

секвен-

ция, где S есть

{|=, =|},

а формулы являются формулами логики преди-

катов.

Мы специально дали достаточно общее определение, поскольку се-

квенции будут использоваться и для неклассических логик. Большими

греческими буквами , , Λ (возможно с индексами) будем обозначать

произвольные

(возможно пустые) наборы специфицированных формул.

Аксиомы исчисления секвенций —

секвенции вида {|= A, =| A}

Видно, что аксиомы соответствуют закрывшимся подтаблицам,

содер-

жащим противоречия. Теперь правила для семантических таблиц могут

быть переформулированы в правила исчисления секвенций.

Нам доста-

точно показать технику переформулировок на примере правил для и

.

=

{|= B} {=| A}

=

{=| B} {|= A}

|

= A

B

}

|

= A

B

}

{|

{ |

=

{|= x A(x)}

}

=

=| x A(x)

|

{|

x A(x)

} {|

|

{|

}

=

= A(ci)

= A(cn+1)

9.6. СЕКВЕНЦИИ

ции , то для каждой из формул

имеется возможность однозначно

определить подформулу одной из формул , в которую она переходит.

Например, =| B из листа 2 переходит в подчеркнутую B в исходной

=| A (B A&B). Дадим строгие определения.

Определение 9.6.2.

Для правила |= =| A в одном из аргументов и

|= B в другом являются (непосредственными) результатами разбиения

|= A B. Они соответствуют посылке и заключению этой импли-

кации. Для правила

=| (непосредственными) результатами разби-

ения являются =| B

и |= A. Соответствие определяется аналогично.

Для аргумента правила |= |= A(ci) – ( непосредственный) результат,

а |= x A(x) – результат разбиения |= xA(x) в результирующей се-

квенции. Первый из них соответствует подформуле A(x), второй – всей

формуле. Для правила =| =| A(cn+1) – ( непосредственный) результат

разбиения =| x A(x) и соответствует подформуле A(x). Для осталь-

ных правил результаты разбиения и соответствия для формул, к кото-

рым применяется правило, определяются аналогично. Для всех формул

из они сами в аргументе являются результатами разбиения их же в

заключении правила.

Если A есть результат разбиения B, B — результат разбиения C, то

A есть результат разбиения C и соответствует той подформуле C, кото-

рая соответствует в подформуле B0, соответствующей B в C, подфор-

муле A0, соответствующей A в B.6 Определим истинность и ложность

секвенции в интерпретации.

истинна в интерпретации M, если хо-

Определение 9.6.3.

Секвенция

тя бы одна из ее формул противоречит своей спецификации; она ложна,

если все формулы соответствуют своим спецификациям.

Таким образом, предполагая в начале построения семантической та-

блицы =| A, мы стремимся вывести секвенцию {=| A}, истинность ко-

торой означает истинность A.

Теорема 9.1. (Теорема корректности для исчисления секвенций)

Если секвенция выводима, то она истинна в любой интерпретации.

Доказательство. Индукцией по числу секвенций в дереве вывода.

6 Часто результаты разбиения называют предками соответствующей формулы. Но эта

терминология зависит от точки зрения. Если рассматривать исчисление секвенций, то

они скорее предки, а если рассматривать таблицы, они —

потомки (конечно, измельчав-

шие).