Непейвода. Прикладная логика
.PDF
262 ГЛАВА 9. КЛАССИЧЕСКИЕ СТ
Из всех шагов нормализации обоснования требуют лишь кванторные Достаточно заметить что после устранения первых применений кван. торного правила последующие, за ними также становятся первыми и т п- Это легко оформляется индукцией. , . .
Теорема Сильная теорема нормализации Любая последователь ность шагов9.3. нормализации( за конечное число шагов) приводит к выводу- без сечений.
Доказательство Для обоснования этого достаточно приписать любо му сечению высоту. которая будет уменьшаться на каждом шаге норма- лизации и оценивается, в единицах множество которых удовлетворяет- свойству бесконечного спуска Натуральными, числами оценить не по лучается из за того что слишком. часто при нормализации одно сечение- заменяется -на несколько, приходится оценивать ординалами А изобре тение такой оценки можно; рассматривать как задачу на отлично. для- студента подсказка удобнее всего воспользоваться сложением‘ по’ Ку ратовскому( и возведением: в степень). -
Упражнения к § 9.9
Для тех кто хорошо знает официальные правила шахмат и играл 9.9.1. в( турнирах, Приведенное в примечании на стр доказатель ство ошибочно). Найдите неточность и исправьте. ее253 -
. 19.
В японских шахматах ничьей нет Тот кто сделал ход ведущий к 9.9.2. троекратному повторению позиции. считается, проигравшим, Ко ролю не запрещено ходить под шах, так что при возникновении. - ситуации которая в европейских шахматах, считалась бы патом король обязан, пойти под бой и пасть смертью храбрых20 В на, чальной позиции многие фигуры21 могут походить и затем. вер- нуться назад Можно ли перенести наше доказательство на моди-
. -
19 Ошибка возникает лишь при взаимодействии с полной системой правил шахматной игры в официальных соревнованиях.
20 На самом деле там такая ситуация может возникнуть лишь теоретически поскольку взятые фигуры кроме естественно короля переходят на сторону противника, и воюют против бывших(своих ,Но это уже не, имеет )отношения к математическому содержанию задачи. .
21 Правда на сей раз кроме коня поскольку пешки стоят в третьем ряду а конь ходит только вперед, . Но это также не имеет, отношения к задаче. ,
9.9. СЕЧЕНИЯ |
263 |
фицированные японские шахматы А может быть Вы придумаете для них другое? ? , Если не отказываться от неэлементарных противоречий какой из
9.9.3. пунктов нашего доказательства проваливается Как можно, было бы спасти его, изменив меру сложности вывода??
Студент Гениалькис принес Вам доказательство того что каждый 9.9.4. вывод секвенции можно перестроить, в вывод секвенции {=| x A(x)} для некоторых не увеличивая{=| A(x |числоt1), .шагов. . , =| Aв (выводеx | tn)}но Вы тетрадь с tдоказательством1, . . . , tn, потеряли Как Вы ответите на вопрос, Гениальки са, верно ли его доказательство. 22? -
22 Поскольку студент гениальный все доказательства верных теорем которые он дает правильны, а поскольку человеку свойственно, ошибаться. . . , ,
264 |
ГЛАВА 9. КЛАССИЧЕСКИЕ СТ |
Глава Элементы нестандартного10. анализа
§ 10.1. ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
История развития математических концепций является одним из при меров творческого развития В ней выполнены многие общие законо- мерности такого развития Стоит. напомнить некоторые из них которые- необходимо знать любому. решающему сложные нестандартные, прак тические задачи1: , -
Ни одно принципиально новое открытие не может быть обосно 1. вано его творцами строго Более того предложенные ими обосно- вания как правило содержат. серьезные, ошибки и впоследствии-
опровергаются, . ,
Тот кто боится делать предположения противоречащие общепри 2. нятому, и даже здравому смыслу не, может открыть ничего но-
вого2. “ ,” -
1 Решение т н сложных нестандартных математических задач принципиально отли чается Здесь.основным. интересом является спортивный решить поставленную авто- ритетным. человеком задачу раньше других и получить славу: и награду Естественно- как и в спорте имеются судейские коллегии проверяющие чистоту достижения. т е, прежде всего его, соответствие принятым правилам, и традициям Реального творчества, . . здесь обычно не так уж много и чаще всего творческие достижения. принадлежат не тем кто в конце концов решил ,задачу Примерами здесь являются я проблема Гиль берта, и теорема Ферма. . 10- -
2 В теории творческого мышления это называется инертностью В психологии это называется “ рутинностью мышления”. “ .”
266 |
ГЛАВА 10. НЕСТАНДАРТНЫЙ АНАЛИЗ |
|
Тот, кто увлекается своими предположениями и начинает выда- |
|
вать их за истины, после этого также не может выдать ничего но- |
|
вого3. |
3. |
Не только логика открытия и обоснования, но и логика нахожде- |
|
ния обоснования и его изложения принципиально различаются. |
4. |
При каждом строгом обосновании мы в значительной степени те- |
|
ряем из виду исходную задачу, и более того, порою искажаем ее |
|
до неузнаваемости. |
Интереснейшим и показательным примером творческого развития в |
|
математике является создание математического анализа. Известно, что в |
|
нынешнее время анализ излагается в учебниках совсем не так, как изла- |
|
гали его создатели, да и другие ученые вплоть до конца XVIII в. Основ- |
|
ными понятиями служат множество, предел, функция, определяемая че- |
|
рез множества, последовательность, определяемая через функцию.Что |
|
такое множество и зачем оно нужно в математике, осознано было лишь |
|
во второй половине XIX века4, поэтому множеств создатели анализа не |
|
знали, а вот все остальные понятия были центральными и для них. Но |
|
воспринимались они совсем не так, как в современной математике. |
|
Так, например, практически никто не замечал аналогий между по- |
|
нятиями последовательности и функции. Если с последовательностью |
|
связывалась в основном идея бесконечно продолжающегося порожде- |
|
ния элементов, возможно, путем свободного выбора, то насчет функции |
|
практически не было сомнений, что это — |
либо аналитическое выраже- |
ние задающее связь аргумента с результатом либо непрерывная кривая которая, может быть начерчена либо какой то, другой тип их явно задан, ной взаимосвязи Поэтому и появился, термин- неявная функция озна- чавший функцию. для вычисления которой требовалось“ решить уравне,” - ние зависящее от, ее аргумента как от параметра -
,К такому пониманию функции, в некотором смысле. вернулись в со временной теории вычислимости но там первичны именно законы по- , , -
3В психологии это называется “ переходом ценных идей в сверхценные”.
4Хотя в традиционной логике давно уже использовалось понятие класса соответству ющее по содержанию понятию множества и попытки построить исчисление, классов- начались практически одновременно с созданием, математического анализа в частно сти, к ним приложили руку Лейбниц, Эйлер, Больцано. . . ; -
10.1. ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ |
267 |
рождающие последовательности а законы порождающие функции дей ствительного переменного достаточно, косвенно, определяются через них-
Но наиболее бросаются, в глаза расхождения в определении преде . ла и наличие в математике конца в понятий актуально- бесконечно малых величин МатематическийXVII – XVIIIанализ. даже назывался в то время анализом бесконечно. малых Актуальные бесконечности были полностью отброшены при канонизации. и уточнении изложения анали за в первой половине в Еще тридцать лет назад считалось что они- забыты навсегда и представляютXIX . интерес лишь для историков, науки и издателей трудов классиков того времени Но радикальное изменение взгляда на математику порожденное математической. логикой привело к их неожиданному возрождению, на абсолютно строгом уровне, 5
Важнейшими из казалось бы навсегда отвергнутых понятий. были понятия бесконечно, малых и бесконечно, больших величин и понятие дифференциала функции которое Ньютоном и Лейбницем считалось первичным по отношению(к понятию производной было прираще нием функции при бесконечно малом изменении). dy Отноше- ние dy было действительноy = f(x) результатом деления на Конечноx. же- при деленииdx одного бесконечно малого числа на другоеdy моглоdx. получить, ся конечное число но тонкость в том что это конечное число могло со- держать и бесконечно, малую компоненту, которая считалась пренебре- жимой по сравнению с конечным результатом, и отбрасывалась -
Рассмотрим например как первоначально доказывалась теорема. о производной произведения, , двух функций
Пусть dy dz Пусть . Тогда при бесконечно малом приращенииdx = aаргумента, dx = b. имеемu = y · z.
dx x :
u = (y + dy) · (z + dz) = yz + z dy + y dz + dy · dz.
Отбрасывая пренебрежимо малую величину dy · dz, получаем
du = y dz + z dy.
5 Тем не менее некоторые из понятий анализа бесконечно малых и очень полезные до сих пор не нашли новой интерпретации Да к ним добавились еще, другие понятия, созданные гениальным английским математиком. прикладником рубежа веков, У Хевисайдом Лишь простейшие из них получили- интерпретацию в теорииXIX–XXобобщен ных. функций .но кажется традиционными аналитическими средствами здесь далеко- не продвинешься, , ,
.
268 |
ГЛАВА 10. НЕСТАНДАРТНЫЙ АНАЛИЗ |
На этом выводе многие математики прекращали изложение поскольку именно дифференциал а не производная считался первичным, поняти ем Но некоторые как правило, самого высокого класса либо с наиболее- тонким. чувством математической( , строгости) делали еще пару шагов.
|
du |
= |
z dy + y dz + dy · dz |
|
= z |
dy |
|
+ y |
dz |
|
+ |
dy · dz |
. |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
dx |
|
|
dx |
||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
dx |
|||||||||
Последний член получившегося выражения бесконечно мал, поэтому |
||||||||||||||||||
отбросим его и получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
du |
|
dy |
|
dz |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
= z |
|
|
+ y |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
dx |
dx |
|
|
|
|
|
||||||
Предел также интенсивно рассматривался математиками того вре- |
||||||||||||||||||
мени, но определялся весьма расплывчато: как |
“ первое и последнее” |
|||||||||||||||||
значение выражения, соответственно, при приближении к точке a и при |
||||||||||||||||||
удалении от нее. Интеграл определялся как сумма бесконечно большого |
||||||||||||||||||
числа бесконечно малых величин, примерно как |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
i=(b−a)/ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x + iε) ε. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Впрочем такое выражение считалось бы неприличным поскольку уж о бесконечно, больших натуральных числах математики ясное, дело сты дились говорить6 , , - Подобные фокусы. когда бесконечно малые величины то полноправ но использовались в преобразованиях, то вдруг отбрасывались причем- иногда не полностью а частично а ответ, тем не менее выходил, пра вильный использовались, некоторыми, благонамеренными, , образованны- ми людьми, в частности епископом Беркли для доказательства суще - ствования Бога, что как и, всякая благоглупость, лишь компрометирова- ло и ту цель, ради, которой, это делалось, и те средства, , которые при этом-
|
|
||
6 Хотя поскольку аксиома Архимеда, говорящая, что для любых двух x, y > 0 найдется |
|||
такое n, что |
|
|
|
|
x + · · · x > y, |
|
|
|
n раз |
, что, сказав A, необходимо сказать |
|
уже была осознана в то время, казалось| |
бы{z, очевидно} |
||
и принять существование бесконечно больших натуральных чисел Но в жизни и в наукеB: тоже нежелательные следствия сколь бы очевидны они ни были. почему то( очень долго не) замечаются. , , -
10.1. ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ |
269 |
использовались. Естественно, что критически мыслящие математики в |
|
конце концов больше не захотели “ приносить строгость в жертву успе- |
|
ху,” и в начале XIX в. началось движение за изгнание бесконечно малых |
|
и замену их т. н. “ ε − δ |
7формулировками,” которыми мучают нынеш- |
них студентов на I курсе |
. Эта реформация часто связывается с именем |
французского математика Коши, который, как выяснилось в результа- |
|
те анализа его работ, на самом деле использовал старые и новые методы |
|
вперемежку, но, правда, не стеснялся передоказывать новыми методами |
|
ранее доказанные им старыми способами утверждения. |
|
К середине XIX в. стало неприличным пользоваться актуально бес- |
|
конечно большими и бесконечно малыми величинами, уровень строго- |
|
сти математических доказательств поднялся настолько, что превзошел |
|
достигнутый в древнегреческой геометрии и спровоцировал появление |
|
столь неприятной для традиционного математического мировоззрения |
|
науки, как математическая логика. |
|
Первые же результаты математической логики привели к выводу, что |
|
в строгих математических рассмотрениях большинство понятий не мо- |
|
гут иметь прямой интерпретации. Они являются идеальными понятия- |
|
ми (в отличие от реальных, взятых из практики). От идеальных понятий |
|
в принципе можно было бы избавиться8, таким образом, они необяза- |
|
тельны и служат, с плоской прикладной точки зрения, лишь для сокра- |
|
щения выкладок. |
|
Идеальным является уже понятие действительного числа, посколь- |
|
ку оно предполагает бесконечную последовательность уточняющихся |
|
приближений9. А уж чего там говорить о понятиях непрерывной функ- |
|
ции и т. п. . . |
|
Уже на данном примере видно, что идеальность бывает разной сте- |
|
пени, и введя идеальные понятия, мы часто вынуждены вводить еще |
|
ше7 И правильно мучают! Если Вы ими не овладели, Вам нечего и читать эту главу даль-
8 .Данное выражение означает что выкладки и рассуждения включающие идеальные понятия но приводящие к реальному, результату можно было, бы перестроить таким образом, чтобы изгнать из них все идеальные понятия, Но насколько при этом услож нятся преобразования, и доказательства, в расчет не принимается. . - 9 Если копнуть поглубже то возникают сомнения в реальности и рациональных и натуральных чисел поскольку, мы не учитываем при их определении реальной конеч, ности наших ресурсов, и нашего времени но эта степень идеальности безусловно на- много ниже. ; , , -
270 ГЛАВА 10. НЕСТАНДАРТНЫЙ АНАЛИЗ
более идеальные, чтобы успешно работать с уже имеющимися. Далее |
|
чувствуется, что плоская10 прикладная точка зрения в чем-то ущербна, |
|
поскольку основные математические результаты, оказывается, касают- |
|
ся именно идеальных понятий. |
|
Идеальные понятия после их осознания стали полноправным пред- |
|
метом изучения и в философии, и в теории творческого мышления, и в |
|
психологии. Выяснились весьма любопытные факты, которые обосно- |
|
вываются, в частности, и методами математической логики. |
|
Потеря эффективности мышления при отказе от идеальных поня- |
|
тий столь грандиозна, что человек оказывается отброшенным на уро- |
|
вень разрозненных эмпирических рецептов и не может создать ничего |
|
существенно нового. Более того, идеальные понятия дают возможность |
|
выразить множество эмпирических рецептов одним общим утвержде- |
|
нием, и порою оно оказывается столь выразительно (например, прин- |
|
цип неподвижной точки: любое непрерывное отображение n-мерного |
|
круга в себя имеет неподвижную точку), что унифицируемые им реце- |
|
пты выглядят совершенно по-разному и уж, конечно, относятся к раз- |
|
ным областям знания. |
|
Поэтому неудивительно, что среди ученых, занимающихся точными |
|
науками, популярна точка зрения Платона: на самом деле именно иде- |
|
альные понятия первичны, а так называемые “ реальные” служат лишь |
|
их несовершенными и бледными отражениями, их тенями. |
Если хоро- |
шенько вдуматься, то поймешь, что этот взгляд достаточно обоснован: |
|
в частности, одно из самых “ реальных и материальных” понятий, по су- |
|
ти дела породившее весь мировоззренческий материализм — |
деньги — |
на самом деле ирреально, оно является лишь результатом соглашения |
|
между людьми, что доказали события в Камбодже, когда захватившие |
|
власть ультракоммунисты отменили деньги и никто не поднимал даже |
|
доллары. Удивительная эффективность и красота идеальных понятий |
|
и неэффективность и безобразие ползучего, эмпирического мышления |
|
просто провоцируют этот взгляд11. |
|
10 Подчеркиваю плоская Плоская теоретическая точка зрения на самом деле столь же ущербна. , !
11 Сам автор весьма близок к данному взгляду но не считает возможным навязывать его как единственно правильный Любая человеческая, интерпретация односторонняя и не полная Поэтому всегда нужно. наряду со своим взглядом признавать и альтернативный- ему а именно. что идеальные понятия суть лишь имена получаемые путем последова тельных, обобщений, опыта, и зачастую эти обобщения поднимаются, столь высоко, что-