Непейвода. Прикладная логика

6.3. ТРАНСФИНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ И ОРДИНАЛЫ

161

Но тогда, поскольку β0

6= X,

имеем такое β1 β0, которое обладает

такими же свойствами, и т. д. Итак, мы получили бесконечную убываю-

щую последовательность, что противоречит вполне упорядоченности.

А ординалы, меньшие данного, по первому пункту совпадают с его на-

чальными отрезками.

Следующий пункт вытекает из второго.

Последний пункт легко доказать самим.

Определение 6.3.4.

1. Ординал α называется предельным, если нет

наибольшего ординала β, такого, что β α; непредельным, если

2.

такой ординал есть.

такой

,

что

α

β,

называется

следующим

β,

Наименьший ординал 12

13

за α и обозначается Sα

. Наименьший ординал обозначается 0 .

Ординал S0 называется единицей и обозначается 1. Соответствен-

но для остальных натуральных чисел.

Наименьший предельный

ординал, больший´

0, обозначается

ω.

3. Пределом возрастающей ординальной последовательности орди-

налов

lim αβ

β→γ

такой, что

называется наименьший ординал δ,

β(β γ αβ δ).

4. Суммой ординальной последовательности ординалов (αi)i β на-

зывается ординал, изоморфный ординальной сумме соответству-

ющих вполне упорядоченных множеств. Сумма последовательно-

сти обозначается

X

αi

i β

либо просто α1 + · · · + αn для конечных последовательностей.

162

ГЛАВА 6. ИНДУКЦИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

2.

0 · α = α · 0 = 0, 1 · α = α · 1 = α.

3.

Если α β, то γ + α γ + β.

бесконечно ассоциативна. А

4.

Сумма ассоциативна,

и, более того,

именно, если (Yj)j γ —

такое разбиение β на непересекающиеся

отрезки, что

тоδ1, δ2 (δ2 γ & δ1 δ2 ζ1, ζ2 (ζ1 Yδ1 & ζ2 Yδ2 ζ1 ζ2)) ,

X

X X

αi =

αi.

i β

j γ i Yj

тоδ1, δ2 (δ2 γ & δ1 δ2 ζ1, ζ2 (ζ1 Yδ1 & ζ2 Yδ2 ζ1 ζ2)) ,

Y

Y Y

αi =

αi.

i β

j γ i Yj

6.3. ТРАНСФИНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ И ОРДИНАЛЫ

163

7. α0 = 1, α1 = α, 1α = 1.

и аналогич-

Доказательство. Самые нетривиальные пункты здесь — 4

ный ему для произведения. Рассмотрим структуру двойной суммы. Она

состоит из элементов вида (δ, (ι, κ)), где δ γ, ι Yδ, κ αι. Но

δ однозначно определяется через ι

и не влияет на порядок элементов.

Установленный изоморфизм доказывает равенство ординалов.

Для произведения мы имеем функцию, результатом которой также

является функция, а именно, элементом произведения является функ-

ция, перерабатывающая каждое j γ в функцию из Yj в

i Yj αi. Но в

конце концов данная функция может быть представлена как множество

множеств троек того же вида, что и в предыдущем абзаце. В этом множе-

стве множеств лишь конечное число троек с отличным от нуля третьим

элементом,

а первый элемент однозначно определяется вторым, так что

опять имеет место изоморфизм с одинарным произведением.

То, что операции над ординалами некоммутативны, легко увидеть на

следующем примере. Если ω + 1 —

следующий за ω ординал, который

мы так и обозначаем, то 1 − ω = ω.

В самом деле, если к натуральному

ряду в начале присоединить еще один элемент, то полученное упорядо-

ченное множество изоморфно натуральному ряду.

Предложение

6.3.7. Функция сложения ординалов — единственная, удо-

влетворяющая следующим рекурсивным уравнениям14:

α + 0 = α;

α + S β = S(α + β);

(6.8)

где

α + lim βγ = lim(α + βγ),

γ

δ

возрастающая ординальная последовательность орди

налов.

—

-

(βγ)

Еще создатель теории ординалов Г. Кантор заметил, что каждое ор-

динальное число однозначно разлагается по степеням ω, т. е. предста-

вляется в виде

ωα1 · n1 + · · · + ωαk · nk,

(6.9)

где α1

α2 · · · αk, ni > 0. (Здесь учитывается,

что ω0 = 1).

разложения может быть взят любой ординал > 1 (опять полная аналогия

с натуральными числами и системами счисления),

но, считая ω-ичную

систему самой удобной, предложил переопределить действия над ор-

диналами в соответствии с действиями над натуральными числами, за-

писанными в позиционной системе счисления. Определим сложение и

умножение по Куратовскому

и

(см. [20]). Прежде всего разрешим

нулевые коэффициенты, и тогда можно считать, что у двух чисел по-

следовательности степеней αi совпадают (в случае необходимости до-

бавляем члены ωα · 0).

ωα1

· n1

+ · · · + ω

αk

· nk)α (ω

α1

· m1 + · · · + ω

αk

· mk)

( α

=

(6.10)

ω

1 · (n1 + m1) + · · · + ω

k · (nk + mk).

(ωα1 · n1 + · · · + ωαk · nk) (ωα1 · m1 + · · · + ωαk · mk)

=

(6.11)

Pk

ωβk · Pαi αj=βk (ni · mj),

где (βk) —

конечная, упорядоченная в порядке возрастания последо-

вательность ординалов, представляемых в виде αi αj. Арифметика

ординалов по Куратовскому обладает следующими свойствами:

Предложение 6.3.8.

1. α β = β α, α β = β α.

2.

Обе эти операции ассоциативны.

3. (α β) γ = α γ β γ.

4. α β < α + β; α β < α · β.

5. α1 α2 α1 β α2 β.

6. α1 α2 & β 0 α1

β α2 β.

Доказательство остается читателям.

Поскольку ординалы в основном применяются для оценок, а для

оценок, как правило,

удобство важнее точности, операции по Куратов-

скому все чаще вытесняют обычные операции над ординалами.

6.3. ТРАНСФИНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ И ОРДИНАЛЫ

165

Обратим внимание на еще одно важное свойство ординальных функ-

ций.

Функция из ординалов в ординалы f называется не-

Определение 6.3.5.

прерывной, если она перестановочна с пределом последовательностей:

f( lim αβ) = lim f(αβ).

β→γ

β→γ

Теорема 6.3. (Теорема Веблена) Для любой непрерывной возрастаю-

щей функции ординалов f

найдется неподвижная точка, т. е. такое

αf , что

f( lim αn) = lim f(αn) = lim αn+1

= lim αn.

n→ω

n→ω

n→ω

n→ω

определяется сама через себя (см., например, уравнения для ординаль-

ного сложения 6.8).

Вы скажете, зачем такие тонкости, ведь в языках программирования

мы просто определяем функцию рекурсией саму через себя либо через

другие функции. Да, в языке программирования так оно и записывается,

но чтобы обосновать корректность такого определения15

, приходится

выявлять тот параметр либо то определение, по которому на самом деле

идет рекурсия. Сейчас мы ограничимся тем, что приведем заведомо кор-

ректные способы индуктивного построения функций по параметрам-

ординалам (т. н. трансфинитная рекурсия).

Пример 6.3.2. Система рекурсивных уравнений

f(x, 0)

=

x

f(x, S y)

=

S f(x, y)

(6.12)

определяет сложение натуральных чисел. Для сложения ординалов эту

систему нужно пополнить еще одним уравнением:

f(x, 0)

=

x

f(x, S y)

→

=

S f(x, y)

(6.13)

→

f(x, limγ

δ αγ)

=

limγ

δ f(x, αγ)

Пример 6.3.3. Система рекурсивных уравнений

f(x, 0)

=

0

f(x, S y)

=

f(x, y) + x

(6.14)

определяет умножение натуральных чисел. Для умножения ординалов

эту систему нужно пополнить еще одним уравнением:

f(x, limγ→δ αγ)

= limγ→δ f(x, αγ).

(6.15)

Таким образом, вид трансфинитной рекурсии, соответствующий про-

стой математической индукции,

следующий:

6.3. ТРАНСФИНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ И ОРДИНАЛЫ

167

Параметры x¯, как видно из определения умножения, хотя и не участву-

ют в самой рекурсии, оставаясь фиксированными во всем определении,

могут существенно использоваться при вычислении следующего значе-

ния f.

Упражнения к § 6.3

6.3.1.

Вычислите lim sup N {ω}.

6.3.2.

Проверьте недоказанные пункты из примера 6.3.6.

6.3.3.

Верно ли, что α · β = Pi β α?

6.3.4.

Всегда ли существует limβ→γ αβ?

6.3.5.

Вычислите ω · 2 и 2 · ω.

6.3.6.

Имеет ли место закон дистрибутивности:

6.3.9. Можно ли перенести ‘антилексикографический’ порядок на все

ординальные последовательности?

6.3.10.

А всегда ли α0=1? А как насчет 0α?

6.3.11.

Докажите предложение Куратовского на стр. 163.

6.3.12.

Можно ли обобщить операции по Куратовскому на ординальные

последовательности операндов?

6.3.13.

В одной работе как очевидное было упомянуть следующее то-

ждество:

α2 = α α.

Проверьте эту

‘очевидность’.

6.3.14.

Являются ли сумма и произведение по Куратовскому непрерыв-

ными по какому-то из аргументов?

6.3.15.

Дайте рекурсивное определение суммы по Куратовскому.

6.3.16.

Какая функция удовлетворяет следующим рекурсивным уравне-

ниям:

f(α, 0)

=

1

f(α, S β)

→

=

f(α, β) × α

(6.16)

→

f(α, limδ

γ βδ

=

limδ

γ f(α, βδ)

6.3.17.

Почему в определении сложения мы взяли произвольное δ,

а не ограничились ω?

6.3.18.

Выведите формулу для наименьшей неподвижной точки непре-

рывной возрастающей функции ординалов f, превосходящей β.

6.3.19.

Для приведенных ниже пар ординалов вычислите

α + β, β + α,

α β, α · β, β · α, α β.

1)

ω

2

2)

ω

ω2

3)

ω + 1

ω + 2

4)

ωω + ω + 2

ωω + 2ω + 1

5)

ω2 + 2ω + 1

ω3 + 5ω + 7

6)

ε0 + ωω + 3

ωωω + ω2 + 1

6.3. ТРАНСФИНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ И ОРДИНАЛЫ

169

170

ГЛАВА 6. ИНДУКЦИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ