Непейвода. Прикладная логика
.PDF
4.2. МНОГОЭТАЖНЫЕ. . . |
51 |
При некоторых отрицательных принимает рациональные
4.2.12.значения. x f(x)
4.2.13.Не все решения уравнения sin 5x = 0 иррациональны.
4.2.14.Все решения уравнения x2 = −1 иррациональны.
4.2.15.Некоторые решения уравнения x2 = −1 комплексны.
4.2.16в. Все решения уравнения x2 + ax + b = 0 действительны и лежат
]0, 1[.
4.2.17. |
Для делимости целого числа на 8 необходима делимость на 4. |
4.2.18. |
Так как 60 делится на 2, 3, 4, 5, 6, то 60 делится на любое нату- |
ральное число. |
|
4.2.19. |
Так как 60 делится на 2 и на 3, то 60 делится на некоторые числа, |
отличные от 60. |
|
4.2.20. |
Для любого натурального числа существует большее, делящееся |
на n. |
|
4.2.21. |
Для любого натурального числа существует большее, делящееся |
на 3. |
|
4.2.22. |
Есть минимальное действительное число, при котором x + sin x |
равно 0. |
|
4.2.23. Нет минимального целого числа, делящегося на 6. |
|
4.2.24. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они одно- |
|
временно пересекают третью либо не пересекают ее.
4.2.25.Волки и люди боятся друг друга.
4.2.26.Некоторые прямые параллельны.
4.2.27.Некоторые парни и девушки влюблены друг в друга.
4.2.28.Все прямые параллельны или пересекаются.
4.2.29.У уравнения sin x = 0 есть сколько угодно большие решения.
4.2.30.101 — простое число.
52 |
ГЛАВА 4. МЕТОДЫ ПЕРЕВОДА |
4.2.31. |
Есть сколько угодно большие простые числа. |
4.2.32. |
У уравнения x sin x1 = 0 есть сколько угодно малые по абсолют- |
ной величине решения.
Если бы все боялись друг друга то ни один человек не был бы
4.2.33.счастлив. ,
4.2.34.Все лягушки, увидев аиста, прыгают и квакают.
4.2.35.Собаки всегда умнее кошек.
Если три прямые попарно пересекаются то у ни есть общая
4.2.36точка. . , x
4.2.37.Числа x, y, z различны тогда и только тогда, когда (x − y) ×
×(y − z)(x − z) 6= 0.
4.2.38.f(x) отрицательна во всех точках множества M и нигде больше.
4.2.39.Все честные ученые уважают друг друга.
4.2.40.Некоторые злые люди обижают добрых.
4.2.41.Минимальное значение f(x) больше максимального значения
g(x).
Если Ромео и Джульетта не любят друг друга то никто никого 4.2.42не. любит взаимно. ,
4.2.43.x делится на y.
4.2.44.n – простое число.
4.2.45.a – максимальный элемент множества A.
4.2.46.a – верхняя грань множества A.
4.2.47.a – нижняя грань значений функции f на A.
4.2.48.n есть сумма четырех квадратов натуральных чисел.
4.2.49.n и m – простые числа-близнецы.
4.2.50.Прямые a, b, c пересекаются в одной точке.
4.2. МНОГОЭТАЖНЫЕ. . . |
53 |
точка в которой функция принимает минимальное значе
4.2.51ние. a –на M. , f -
4.2.52.1 – минимальное значение f на M.
4.2.53.Функция f ограничена на M сверху и снизу.
4.2.54.Существует наименьшее действительное решение уравнения
sin x + x = 0.
4.2.55. У уравнения
sin x + ax + b = 0
при данных a, b есть ровно один корень. 4.2.56. У уравнения
sin x + ax + b = 0
при данных a, b есть по крайней мере два корня.
4.2.57. Доисторические ящеры при встречах уступали дорогу друг другу. Все философы занимались тем что критиковали других фило
4.2.58софов. . , -
4.2.59.Все волки, кроме бешеных, боятся людей.
4.2.60.Функция f может быть равна нулю только в точке a. Перевести с формального языка на человеческий.
4.2.61.x, y (x Q & y Q xy Q yx Q).
4.2.62.x, y x Z & y Z & x3 + y3 = a3 .
4.2.63.x, l (x P & l L xkl x × l).
4.2.64.x (x Q & lg x Q x > 1 & x/10 N).
4.2.65.α, β, γ(α L & β L & γ L & α × β & α × γ β × γ).
4.2.66.p (p P & α P & β P & γ P) (α, β, γ– прямые).
4.2.67.x, y(x > 1 & y > 1 & x = y2 x > y).
54 |
ГЛАВА 4. МЕТОДЫ ПЕРЕВОДА |
|
4.2.68. |
x, y x R & y R & x = y2 & x < y . |
|
4.2.69. |
x, y (x P & y P & ¬ xky & ¬ x × y). |
|
4.2.70. |
x, y(x P & y P xky x × y). |
|
4.2.71. |
n (n N & x · n = y). |
|
4.2.72. |
n (n N & x · n + a = y) & a 6 y & a N. |
|
4.2.73. |
n (n N & x · n + a = y). |
|
4.2.74. |
x(x M f(x) > f(a)) & a M. |
|
4.2.75. |
x(x M f(x) > a). |
|
4.2.76. |
x(x M f(x) > a) & x (x M & f(x) = a). |
|
4.2.77. |
x (x R & sin x + x = 0 & y(y R & y < x sin y + y 6= 0)). |
|
4.2.78. |
x (sin x + ax + b = 0 & y (y 6= x sin y + ay + b 6= 0)). |
|
4.2.79. |
x y (sin x + ax + b = 0 & sin y + ay + b = 0 & x 6= y). |
|
4.2.80. |
y y > 0 x |x| < y & x 6= 0 & sin x1 = 0 . |
|
4.2.81.x(x R y (y R & sin y = 0 & y > x)).
4.2.82.x, y, z(x 6= y & y 6= z & x 6= z (x −y) ·(y −z) ·(x −z) 6= 0).
4.2.83.x (x M f(x) < 0) & x(x / M f(x) ≥ 0).
4.2.84.x (x N & 2 · x = 60) & x (x N & 3 · x = 60) &
x (x N & 4 · x = 60) & x (x N & 5 · x = 60) &x (x N & 6 · x = 60)
x (x N y (y N & x · y = 60)).
4.2.85.x (x N & 2 · x = 60) & x (x N & 3 · x = 60)x (x N & x 6= 60 & y (y N & x · y = 60)).
4.2.86.a, b(a L & b L (akb c(c L (c × a c × b))).
4.2.87. |
a a Q b b Q & a = |
√ |
|
. |
b |
||||
4.2.88. |
a, b, c(a L & b L & c L & a × b & b × c a × c). |
|||
4.2. МНОГОЭТАЖНЫЕ. . . |
55 |
||
4.2.89. x, y (Ст(x) & П(y) & У(x, y) & У(y, x)). |
|||
Ст(x) — |
быть студентом, П(x) — |
быть преподавателем, У(x, y) |
|
— |
уважать. |
|
|
4.2.90. |
¬ x(Ст(x) О(x) Сп(x)). |
быть отличником, Сп(x) — |
|
Ст(x) — |
быть студентом, О(x) — |
||
быть спортсменом. |
|
||
4.2.91. x (С(x) & Ст(x) & От(x)) & x (С(x) & Ст(x) & ¬ От(x)). |
||||||
С — |
быть студентом, Ст — |
быть старательным, От — |
быть от- |
|||
личником. |
|
|
|
|
|
|
4.2.92. x(П(x) К(x) С(x)). |
|
|
|
|||
П — |
быть пионером, |
К — |
быть комсомольцем, С — работать на |
|||
субботнике. |
|
|
|
|
|
|
4.2.93. x (Ч(x) & y(T(y) X(y, x))). |
|
x храбрее y. |
||||
Т — |
быть тигром, Ч — |
быть человеком, Х — |
||||
4.2.94. x(О(x) y(T(y) Б(x, y))). |
|
бояться. |
|
|||
Т — |
быть тигром, О — |
быть обезьяной, Б — |
|
|||
4.2.95. x, y(T(x) & Ч(y) Б(x, y) & Б(y, x)). |
бояться. |
|
||||
Т — |
быть тигром, Ч — |
быть человеком, Б — |
|
|||
4.2.96. x, y(A(x) & A(y) & B(x, y) П(x, y) П(y, x)). |
|
|||||
А — |
быть акулой, В — |
встречаться, П — |
пожирать. |
|
||
4.2.97. x, y(З(x) & З(y) & B(x, y) С(x, y) & С(y, x)). |
|
|||||
З — |
быть змеей, В — |
встречаться, С — |
x съедает y. |
|
||
4.2.98. x, y(X(x) y (X(y) & B(x, y) & B(y, x)). |
|
|||||
Х — |
быть ханом, В — |
враждовать. |
|
|
|
|
56 |
ГЛАВА 4. МЕТОДЫ ПЕРЕВОДА |
|
§ 4.3. «ЕСЛИ НА КЛЕТКЕ СЛОНА УВИДИШЬ НАДПИСЬ |
||
“ БУЙВОЛ”, |
НЕ ВЕРЬ ГЛАЗАМ СВОИМ» |
|
(КОЗЬМА ПРУТКОВ) |
|
|
Этот раздел озаглавлен цитатой из классика, поскольку такая неверо- |
||
ятная вещь сплошь и рядом происходит при переводе с естественного |
||
языка на формальный. |
|
|
Возьмем предложение |
|
|
Все убывающие и возрастающие функции моно- |
(4.16) |
|
тонны. |
|
|
Пытаясь записать его на формальном языке, например, в виде |
||
|
f(У(f) & B(f) M(f)), |
|
где У — предикат, означающий, что функция убывающая, В — |
что она |
|
возрастающая, М — |
что она монотонна, мы получаем чушь. |
А именно |
получается, что мы утверждаем монотонность лишь тех функций, кото- |
||
рые одновременно и убывающие, и возрастающие, чего просто быть не |
||
может. Эта ошибка еще более коварна потому, что получившаяся фор- |
||
мула формально истинна, и опровергнуть на примере неверную форму- |
||
лировку не удается. |
|
|
Верная формулировка такова: |
|
|
f( x, y(x > y f(x) > f(y)) x, y(x > y f(x) 6 f(y)) M(f)).
Итак в естественном языке мы говорили и а переводить должны(4.17)
или , “ ”, “ В”!естественном языке как уже говорилось практически все слова
многозначны Смысл слова, зачастую невозможно, понять вырвав его из контекста рассмотрев. его вне предложения в которое оно, входит По этому даже, при переводе с одного естественного, языка на другой нельзя. - пытаться сначала найти в словаре значения всех слов а потом построить предложение нужно прежде всего понять смысл переводимого, предло жения его структуру, а затем уже подобрать подходящую структуру на- другом, языке и заполнить, неизвестные слова значениями найденными в словаре А ,
В частности. выражение и особенно при перечислении одно родных членов ,часто означает“ совокупностьB”, куда включаются и объ- екты из A и объекты, из B объединение множеств, A и B Естественно- ( ). ,
4.3. НЕ ВЕРЬ. . |
. |
57 |
что на строгом формальном языке условие принадлежности к этой со- |
||
вокупности должно выражаться через A B. |
|
|
В случае |
(4.17) и аналогичных у нас, правда, есть отговорка, что мы |
|
можем записать иx в виде |
|
|
|
x(В(x) М(x)) & x(У(x) М(x)), |
(4.18) |
где уже не входит и две части соединены союзом &. Но заметим, что |
||
в (4.18) мы существеннейшим образом перестроили структуру перево- |
||
димого предложения: практически мы заменили простое предложение |
||
(4.17) на сложносочиненное “ все убывающие функции монотонны, и |
||
все возрастающие тоже”. А вот ‘и’, стоящее между составными частя- |
||
ми сложносочиненного предложения, практически всегда переводится |
||
на формальный язык &. |
|
|
Заметим, |
что в случае, например, предложения «Все делегаты кон- |
|
ференции — |
профсоюзные и коммунистические активисты» предыду- |
|
щая отговорка уже не подходит. Единственно возможный перевод имеет |
||
форму: |
|
|
|
x(Дк(x) Па(x) Ка(x)). |
|
Рассмотрим теперь предложение: «Все доисторические ящеры по- |
||
жирали друг друга». Тут так и напрашивается перевод |
|
|
|
x, y(Я(x) & Я(y) П(x, y) & П(y, x)), |
|
после анализа которого возникает кошмарная картина восставшиx од- |
||
новременно из могил ящеров, сгрудившихся вместе и медленно поедав- |
||
шиx друг друга, начиная с хвостов (чтобы каждый успел откусить по |
||
кусочку ото всех, пока они пожирают его самого). . . Конечно же, пра- |
||
вильный перевод |
|
|
x (Я(x) y (Я(y) & (П(x, y) П(y, x)))) . |
(4.19) |
|
Итак, говорилось ‘все’, а переводить надо ‘существует’, говорилось |
||
“ друг друга”, |
что как будто подразумевает ‘&’, а писать нужно ‘ ’. |
|
Заметим, |
что сделанная нами переформулировка основывается на |
|
анализе содержания предложения про ящеров, а не его формы. Пред- |
||
ложения той же формы могут переводиться и по-другому. Например, |
||
предложение. |
|
|
В нашей группе все уважают друг друга |
(4.20) |
|
58 |
ГЛАВА 4. МЕТОДЫ ПЕРЕВОДА |
|
переводится |
x, y(Н(x) & Н(y) У(x, y) & У(y, x)) |
|
|
(4.21) |
|
или, эквивалентно, т. к. x и y — произвольные и могут поменяться ме- |
|
стами и сами, без дополнительного упоминания: |
|
x, y(Н(x) & Н(y) У(x, y)), |
(4.22) |
а предложение |
|
Все племена кочевников воевали друг с другом |
(4.23) |
переводится |
|
( x (ПК(x) y (ПК(y) & B(x, y) & B(y, x))) , |
(4.24) |
где уже заменено на , т. к., во-первых, не все они физически могли до- |
|||
браться друг до друга, чтобы повоевать, и во-вторых, они вполне могли |
|||
в союзе с одним из соседей воевать против другого. Здесь уже опускать |
|||
B(y, x) не стоит. |
|
|
|
В упражнениях есть еще несколько примеров высказываний такой |
|||
же синтаксической формы, где правильный перевод нельзя написать без |
|||
учета контекста. |
|
|
|
Заметим, что в обыденной жизни слово “ все” очень часто означает |
|||
“ некоторые”, “ есть такие”. Например, совершив неблаговидный посту- |
|||
пок и пытаясь оправдаться: «Все так делают,» мы явно имеем в виду не |
|||
всех, а некоторых (преуспевающих). И как последний штрих: русский |
|||
язык настолько велик и могуч, что в отдельных случаях высказывания, |
|||
имеющие вид ‘A’ и ‘¬ A’, означают одно и то же. Например, |
|
||
В получку Иванов получил шиш, а его жена — |
ни |
(4.25) |
|
шиша. |
|
|
|
После выхода в свет первого издания студенты предложили автору до- |
|||
полнение, которое сформулировали в виде следующей побасенки: |
|||
Профессор заявил студентам на лекции: |
|
|
|
— |
В естественном языке бывает так, что два или даже |
|
|
одно отрицание означают утверждение, но уж два утвержде- |
|
||
ния никогда не означают отрицание. |
|
|
|
Студенты промямлили: |
|
|
|
— |
Да, конечно. . . |
|
|
4.3. НЕ ВЕРЬ. . . |
59 |
Подытожим:
Во многих предложениях корректный перевод на формаль ный язык невозможен без учета контекста особенно без уче- та тех свойств входящих в предложение,отношений кото- рые содержательно очевидны. , - При учете контекста довольно часто необходимо заменить на другие связки слова и если все последнее особенно в том случае когда оно‘ означает’, ‘ ’,квантор‘ ’ ( сразу по несколь ким переменным, ). - Порою после учета контекста появляется возможность опу стить некоторые предикаты в формальном переводе посколь- ку соответствующие их свойства все равно должны,быть яв - но сформулированы в корректной формализации и лучше- сделать это в общем виде в частности такую роль, часто играет симметричность отношений( ). , Иногда замена модальности влияет и на выбор формального
перевода поскольку более мягко сформулированное утвер ждение в, контексте может пониматься по другому чем бо- лее жесткое. - , -
Упражнения к § 4.3
Переведите утверждения:
4.3.1. Весна, и вы говорите: «Все парни и девушки сейчас влюблены |
|
|
друг в друга». Что это означает? |
4.3.2. |
Когда Ясон кинул в середину войска, выросшего из зубов драко- |
|
на, камень, все воины передрались и перебили друг друга. Пере- |
|
ведите это утверждение на формальный язык. |
4.3.3. |
Ограниченная сверху и снизу на [a, b] функция непрерывна на |
|
нем. |
4.3.4.Функция f имеет разрыв 2-го рода в точке 0.
4.3.5.Функция, имеющая точку разрыва, не может быть непрерывной.
4.3.6.Монотонная на [a, b] функция ограничена снизу на [a, b].
60 ГЛАВА 4. МЕТОДЫ ПЕРЕВОДА
Если последовательность ограничена то она имеет предельную
4.3.7. точку. ,
Чтобы установить рекорд необходимо иметь способности и при 4.3.8. лежно тренироваться, и найти, хорошего тренера. , -
Чтобы победить нам необходимы и хорошие нападающие и хо 4.3.9. рошие защитники, , и хорошие вратари. , -
4.3.10. Если вчера Петров прогулял два занятия, то сегодня только одно.
Все члены Политбюро избранного на съезде ВКП б нена
4.3.11видели. друг друга. , XIV ( ), -
4.3.12.Все философы критиковали друг друга.
4.3.13.Все рыцари сражались друг с другом на поединках.
4.3.14.Все начальники подсиживают друг друга.
4.3.15.Все мужчины — подонки, а мой муж — хороший человек.
4.3.16.Сдай экзамен на ‘отлично’, и поступишь в аспирантуру.
РАВЕНСТВО § 4.4. ЕДИНСТВЕННОСТЬ. И НЕЕДИНСТВЕННОСТЬ
Сплошь и рядом встречаются утверждения типа Я люблю лишь тебя одну на целом свете Уравнение имеет единственное« решение У, меня три настоящи друга», « У задачи не менее четырех различных», ре« шений и т п x », « -
Все» утверждения. . подобного рода где говорится не просто о суще ствовании предметов а об и количестве, требуют для перевода на фор- мальный язык и пользования, x предиката ,равенства - Равенство играетc в языке математики особую роль=. Если в некото рой математической теории два объекта объявляются .равными то и - свойства в данной теории неразличимы Другими словами если мы, какx
говорят в математике отождествляем какие. либо объекты, мы одновре,
менно запрещаем себе, использовать в наши- строги математически, - рассужденияx какие-либо свойства, различающиеx этиx объекты. x