Непейвода. Прикладная логика

Теперь мы должны строго определить выражения, с помощью которых

записываются высказывания в нашем формальном языке. Эти выраже-

ния называются логическими формулами, или просто формулами. Обыч-

ные математические формулы являются простейшим случаем логиче-

скиx (т. н. элементарные формулы).

С чисто формальной точки зрения предикаты (отношения) можно

рассматривать как функции, сопоставляющие своим аргументам истин-

ностные значения, т. е. функции, принимающие всего два значения: ис-

тина и ложь.

Функция, сопоставленная предикату <, перера-

батывает пару чисел x, y в >, если x < y, и в ,

(3.1)

если x > y.

результате дают высказывание. Рассмотрим общепринятые логические

связки.

высказывания, записанные на человеческом языке, A,

Далее A, B —

B – иx переводы на формальный язык.

§ 3.1.

СВЯЗКА ‘И’

Союзу ‘и’ сопоставляется логическая связка &. Символ & называет-

ся конъюнкцией. Эта связка применяется при переводе на формальный

язык утверждений вида

«A и B», «A, но и B также», «A

вместе с B»,

«A, несмотря на B», «не только A, но и B», «как A, так и B», «A, хотя и

B» и т. п. Все они переводятся одинаково: A & B. Разные слова здесь

выражают разное отношение к факту, но не меняют самого факта. Со-

ответственно, переводя A & B на естественный язык, нужно выбирать

подходящий, наиболее выразительный вариант.

Если Р(x) означает ‘x —

разбойник‘, Д(x) — ‘ x —

добрый’, РГ —

константа для объекта ‘Робин

Гуд’, то Р(РГ) & Д(РГ)

естественно перевести,

на-

пример, так: «Робин Гуд был добрым, хотя и раз-

(3.2)

бойником», или «Робин Гуд был разбойником,

не-

смотря на то, что был добрым».

Утверждение A & B истинно в том и только том случае, когда истинны

как A, так и B,

и ложно во всех остальных случаях.

Заметим, что уже для этой простейшей связки ее математический

смысл не всегда совпадает с содержательным. В самом деле, математи-

чески A & B и B & A означают одно и то же, а содержательно, скажем,

высказывания

Маша вышла замуж, и у нее родился ребенок;

(3.3)

У Маши родился ребенок, и она вышла замуж

(3.4)

3.2. СВЯЗКА ‘ИЛИ’

33

§ 3.2.

СВЯЗКА ‘ИЛИ’

‘A или B’ символически записывается A B. Знак называется дизъ-

юнкцией. Эта же связка применяется при переводе утверждений «A или

B или оба вместе», «либо A, либо B», «A и/или B» и т. п. A B счи-

тается истинным, если хотя бы одно из двух составляющих утвержде-

ний истинно, и ложным лишь тогда, когда они оба ложны.

В естествен-

ном языке ‘или’ порою используется как разделительная связка: ‘то или

другое, но не оба вместе’. Поэтому для хозяев был неожиданным ответ

Ходжи Насреддина на вопрос: «Что желаете поесть: плова или бешбар-

мака?» — « А разве у вас всего один котел?» Но чаще две возможности

A и B просто несовместимы, и оба смысла совпадают. Если в A B

утверждения A и B несовместимы, то иx называют альтернативами.

Пример 3.2.1. Для двух неравных чисел a и b есть две альтернативы:

или a < b, или a > b.

Если же в математике приходится иногда явно пользоваться “ разде-

лительным или”,

оно обозначается

(этой операции обычно избегают

из-за неудобства некоторых преобразований с ; в частности, истин-

ность

A B C означает вовсе не истинность одного и только одного

из высказываний A, B, C).

§ 3.3.

СВЯЗКА ‘СЛЕДУЕТ’

«Из A следует B» символически записывается: A B. Знак называ-

ется импликацией. Другими вариантами содержательных утверждений,

точно так же переводящихся, служат: «A достаточное условие для B»,

«B необходимое условие для A», «A, только если B», «B,

если A», «В

случае A выполнено и B», «A есть B».

Правила вычисления истинностного значения A B нуждаются в

комментариях. Они опираются на содержательный смысл связки : из

A можно сделать вывод (вывести следствие) B, и на наши гипотезы.

Рассмотрим верное утверждение: «Если n делится на 6,

то n делится

и на 3». Будем теперь подставлять вместо n конкретные значения. По-

лучим, в частности, следующие три утверждения:

Если 6

делится на 6,

то 6

делится на 3

(3.5)

Если 5

делится на 6,

то 5

делится на 3

(3.6)

Если 3

делится на 6,

то 3

делится на 3

(3.7)

Все эти утверждения также обязаны быть истинны. Но, пользуясь со-

глашением 2 и заменяя утверждения о делимости на 6

на иx конкретные

логические значения, получаем, что тогда должно быть

(1 1) = 1

(3.8)

(0 0) = 0

(3.9)

(0 1) = 1

(3.10)

Другими словами, должны быть истинны утверждения

Из истины следует истина

(3.11)

Из лжи следует ложь

(3.12)

Из лжи следует истина

(3.13)

Истинность (3.5), (3.6), (3.7) мы должны принять, если мы желаем

обеспечить возможность подстановки в доказанные теоремы конкрет-

ных значений переменных. А по соглашению 2 нам приходится принять

Утверждение (3.7) и соответствующее ему (3.13) кажутся несколько

и (3.11), (3.12), (3.13).

парадоксальными. Но мы знаем, что из ложных предположений можно

иногда содержательным рассуждением получить истинные следствия.

Например, из ложного предположения “ существуют русалки”

следует

истинное

“ купаться ночью в одиночку в незнакомом месте опас-

но”. Принципиально неправильная система мира Птолемея, в которой

центром Вселенной служит Земля, очень точно описывает видимые дви-

жения планет. Соглашение 2 опять-таки заставляет нас распространить

эту истинность на все мыслимые в математике случаи.

Правда, при этом приходится признать формально истинными и пред-

ложения типа

Если Волга впадает в Балтийское море, то Ижевск на-

ходится в тропиках.

(3.14)

3.4. СВЯЗКА ‘ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА’

35

«A тогда и только тогда, когда B» символически записывается A B.

Знак называется эквивалентностью. Той же связкой переводятся пред-

ложения «A эквивалентно B», «A необходимое и достаточное условие

для B», «Если A, то и B, и наоборот» и т. п. Ритуальное выражение «тогда

и только тогда, когда» мы в дальнейшем будем сокращать ттт. A B

истинно ттт истинностные значения A и B совпадают, и ложно ттт иx

истинностные значения различны. A B выражается через

и &:

(A B) & (B A).

(3.15)

(A B) = (A B) & (B A).

(3.16)

§ 3.5. СВЯЗКА ‘НЕ’

Утверждение «не A» символически записывается ¬ A. Знак ¬ называ-

ется отрицанием. Эта же связка используется при переводе выражений

«A неверно», «A ложно», «A не может быть» и т. п. ¬ A истинно, когда

ложно A, и ложно, когда истинно A.

Связки &, , , , ¬ называются связками исчисления высказыва-

ний или пропозициональными связками.

§ 3.6. ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ

Способы вычисления истинностных значений высказываний (A & B),

(A B), (A B), (A B), ¬ A можно резюмировать следующими

таблицами:

A

B

A & B

A B

A B

A B

>

>

>

>

>

>

A

¬ A

>

>

>

>

>

>

>

>

>

36

ГЛАВА 3. ЗАПИСЬ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

§ 3.7. ‘ДЛЯ ВСЕХ’

Утверждение

«для всех x верно A(x)» символически записывается

x A(x). Символ называется квантором всеобщности. Эта же связка

используется при переводе утверждений «A верно при любом значении

x», «для произвольного x имеет место A(x)», «каково бы ни было x,

Утверждение x A(x) истинно ттт A(c) истинно, какой бы конкрет-

A(x)» и т. п.

ный предмет c из универса нашей теории мы ни подставляли вместо x.

Другими словами, x A(x) истинно ттт A(x) истинно при любом фик-

сированном значении x. Утверждение x A(x) ложно ттт имеется хоть

один предмет c из нашего универса (другими словами, хотя бы одно кон-

кретное значение x), такой, что A(c) ложно.

Заметим, что таблицы истинности для связок исчисления высказы-

ваний можно применять чисто механически и, в частности, вычислять

логические значения формул на машине, а определение истинностного

значения формулы x A(x) не всегда сводится к простому вычислению.

Например, при данных конкретных натуральных x, y, z, n утверждение

(x + 1)n+3 + (y + 1)n+3 6= (z + 1)n+3

(3.17)

можно проверить простым вычислением, а проблема, верно или невер-

но на множестве N утверждение

x y z n((x + 1)n+3 + (y + 1)n+3 6= (z + 1)n+3),

(3.18)

стоит уже более 300 лет, и не видно способа ее решить окончатель-

но.3

Эта проблема известна под названием великой теоремы Ферма. На

обычном математическом языке она формулируется следующим обра-

зом.

Доказать, что уравнение

xn + yn = zn

(3.19)

при n > 2 не имеет решений в положительных

целых числах.

3.8. ‘СУЩЕСТВУЕТ’

37

Утверждение «существует такое x, что A(x)» записывается на языке ма-

тематики как x A(x). Знак называется квантором существования.

Эта же связка применяется при переводе утверждений «A(x) верно при

некоторых x», «A(x) иногда верно», «есть такое x, при котором A(x)»,

«можно найти такое x, при котором A(x)» и т. п.

Высказывание x A(x) истинно, если в нашем универсе найдется

хотя бы одно значение c, при котором A(c) истинно. x A(x) ложно, если

при любом значении c ложно A(c).

Нахождение истинностного значения x A(x) также может соста-

влять проблему. Например, натуральное число n называется совершен-

ным, если сумма его делителей (исключая само n) равна n. 6 —

совер-

шенное число, т. к. 6 = 1 + 2 + 3, 28 —

также совершенное число, т. к.

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Ясно, что при данном n проверка условия ‘n —

совершенное число’ чисто механический процесс, ее можно поручить

машине. Но проблема «существует ли нечетное совершенное число?»

стоит уже более 2000 лет, и не видно способа ее решить.

Заметим, что утверждение x A(x)

не отрицает того, что x A(x).

В жизни же порою словом “ некоторые”

подчеркивают смысл “

не все”.

Пример 3.8.1. (Пример Клини) Политик, произнося «Некоторые поли-

тики —

мошенники», имеет в виду «Неверно, будто все политики —

мошенники, но некоторые —

мошенники», и делает упор на первой ча-

сти этого высказывания.

38

ГЛАВА 3.

ЗАПИСЬ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

§ 3.9.

ОГРАНИЧЕННЫЕ КВАНТОРЫ

В математике и в жизни сплошь и рядом мы заинтересованы в том, что-

бы заставить переменную пробегать не весь универс, а лишь некоторую

его часть. Мы говорим: «Все четные числа —

составные», «Некоторые

молодые люди —

студенты» и т. п. Наш символизм не мог бы быть хоть

сколько-нибудь практичен, если бы он не включал удобных способов

записи такиx суждений.

писать выражения типа

Первый приходящий в голову способ —

r C(r),

где

r

означает переменную для

четных чисел, или же

r Ч C(r).

Введение т. н. “ подчиненных” переменных (пробегающих

части универса) или т. н. “ ограниченных” кванторов (вида x X) воз-

можно, но при формализации всегда нужно следовать принципу “ брит-

вы Оккама”: « Не умножайте сущностей без необходимости». Поэтому

новые понятия,

которые кажутся полезными, необходимо прежде всего

попытаться сконструировать из старых.

Такое “ конструктивное” определение новых понятий имеет еще од-

но преимущество: в “ граничных” случаяx, противоречащих интуиции

и здравому смыслу, иx формальный смысл будет точно определен, и

нам не придется задумываться о том, как же его доопределить, чтобы

не впасть в ненужные трудности либо даже в прямые противоречия.

Рассмотрим внимательнее утверждение «Все коровы любят сено».

Если универс нашей теории —

множество всех живых существ, то на-

прашиваются два варианта перевода этого утверждения:

x(К(x) & ЛС(x));

(3.20)

x(К(x) ЛС(x)).

(3.21)

Здесь К означает “

корова”, а ЛС —

“

любит сено”.

Из варианта (3.20)

следует, что всякое живое существо, в том числе

и автор,

и даже уважаемый читатель, является коровой и любит сено,

что, мягко говоря, несколько преувеличено.

Вариант же (3.21) кажется

более многообещающим: коль скоро нам дана корова, она любит сено.

Проверим (3.21) тщательнее. Случай, соответствующий “ здравому

смыслу”, —

подстановка вместо x коровы Машки —

ничего не дает.

Если М —

эта корова,

то К(М) истинно, ЛС(М) тоже истинно, и К(М)

ЛС(М),

К(М) & ЛС(М) истинны. Итак, “ разумный”

случай не дает

3.9. ОГРАНИЧЕННЫЕ КВАНТОРЫ

39

Ч — уважаемый читатель. Он (она), безусловно, коровой не является и

сена не любит. Значит, К(Ч) и ЛС(Ч) ложны, и значение К(Ч) ЛС(Ч)

есть , т. е. истина. Теперь вместо коровы возьмем коня. Он сено

любит, но коровой не является, и,

подставляя соответствующие логиче-

ские значения, получаем >,

т. е. опять-таки истину. Похоже на то,

что если все коровы любят сено, то (3.21) истинно.

задать

В самом деле, единственный способ опровергнуть (3.21) —

такое c, при котором К(c) ЛС(c) было бы ложно, т. е. К(c) было бы ис-

тинно, а ЛС(c) —

ложно. Другими словами, чтобы опровергнуть (3.21),

необходимо указать корову, которая сено не любит.

студен-

Аналогично,

для утверждения «некоторые молодые люди —

ты» есть две бросающиеся в глаза возможности перевода (М

означает

“

молодой человек”, С — “

студент”):

x(М(x) & C(x));

(3.22)

x(М(x) C(x)).

(3.23)

Рассуждениями, подобными тем, которые приводились для , можно

установить, что (3.23)

неправильно.

Итак,

переводится x(A(x) B(x)).

“ Все А есть B”

(3.24)

“ Некоторые А есть B” переводится x(A(x) & B(x)).

(3.25)

Подытожим:

Формулы —

выражения, обозначающие высказывания.

Сложные формулы строятся из более простых при помощи

логическиx связок.

Логические связки применяются к высказыванию и в резуль-

тате дают высказывание.

Логические связки делятся на связки исчисления высказы-

ваний (или пропозициональные), которые задаются табли-

цами истинности, и кванторы, которые заставляют перемен-

ную пробежать весь универс.

со связ-

Квантор

сочетается со связкой , а квантор —

кой &.

40

ГЛАВА 3.

ЗАПИСЬ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

(A & B)

(A B)

A · B

A and B

(A B)

(A B)

A + B

AB

A or B

(A B)

A B

A impl B

(A B)

A ≡ B (A ↔ B) A = B A B A eq B

¬ A

−A

A

not A

A

x A(x)

(x)A

ΠxA

x A (A x)A

(E x)A

x A(x)

(Ex)A

ΣxA

Vx A

W