Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Непейвода. Прикладная логика

.PDF
Скачиваний:
887
Добавлен:
10.08.2013
Размер:
2.27 Mб
Скачать

Язык математики

1

Глава Необходимость точного языка 1в.математике

§ 1.1. КАК И ПОЧЕМУ ПОЯВИЛСЯ ЯЗЫК

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ?

Математика изучает объекты, свойства которых точно сформули-

рованы.

 

Это описание поля деятельности современной математики не претен-

дует на полноту. Оно, скорее, достаточно широко и отбрасывает лишь

те случаи, когда говорить о применении математики еще рано1. В част-

ности, оно включает и традиционные разделы, такие как геометрия и

алгебра, и новые, такие как математическая лингвистика либо теория

генетического кода.

 

Хотя само описание говорит о точных формулировках, в нем требу-

ют разъяснения в первую очередь последние слова: «точно сформули-

рованы». Очевидно, что иx уточнение влечет за собой уточнение и дру-

гих понятий, в частности объектаи свойства’. Какие формулировки

можно считать точными,

мы будем стремиться разобраться дальше.

Очевидно, что не все то, что сказано на естественном языке, точно.

Иногда эта неточность лежит на поверхности, как, например, в фразах:

«Хочется чего-то, а чего

неясно» или «Оно, конечно, ежели что как. . .

1 Тем не менее и там вовсю пытаются применять математическую символику исполь зуя как остроумно выразился Леви Стросс формулы как узор украшающий, текст - В частности, таковы многие современные- работы, « по культурологии, философии и т п». Критерий распознавания, такого наукообразия прост понятия не уточняются, Далее .ча. сто квалифицированный математик легко находит противоречия: в узорах вставленных. , - в текст Но порою узоры внутренне непротиворечивы и просто не имеют, отношения к окружающему. их тексту: это высшая ступень надувательства.

4 ГЛАВА 1. НЕОБХОДИМОСТЬ ТОЧНОГО ЯЗЫКА

А ежели что не такИногда смысл фразы явно зависит от контекста,

например: «Сейчас я намылю ему шею». Богатство любого естествен-

ного языка неразрывно связано с его многозначностью. Зависимость от

контекста не всегда отрицательный фактор, лишь бы в любой данной

ситуации предложение уточнялось однозначно.

 

Но, например, полное и достаточно безобидное на вид предложение

«Он встретил ее на поляне с цветами»

(1.1)

имеет три различных истолкования. Вот от такой неоднозначности хо-

телось бы раз и навсегда застраховаться в математике. Поэтому матема-

тики с самого начала стремились формулировать доказательства и тео-

ремы на как можно более четком, хотя и бедном,

диалекте естественно-

го языка. Хотя словарный запас этого диалекта постоянно расширяет-

ся, основные формы предложений, связки, союзы остаются практиче-

ски теми же, что были выработаны еще в античные времена. Следует

заметить, что способы выражения, допустимые в математике, нигде не

описывались явно, ими овладевали на примерах,

в процессе обучения и

чтения классическиx трудов,

в первую очередь «Элементов» Евклида.

Долгое время считалось,

что математический диалектсостоит из

строго сформулированных предложений, да и сейчас он верно служит

математикам, почти никогда иx не подводя. В геометрии и до сиx пор его

достаточно. Но уже в средние века развитие алгебры привело к тому, что

формулировки теорем зачастую становились все длиннее, необозримее

и неудобнее. Соответственно, выкладки становились все более и более

трудными. В самом деле, даже для того чтобы просто понять фразу

«Квадрат первого, сложенный с квадратом вто-

 

рого и с удвоенным произведением первого на

 

второе, есть квадрат первого, сложенного со вто-

(1.2)

рым»,

 

математическая стро-

требуется значительное усилие. Таким образом,

гость и удобство начали противоречить друг другу.

часть

Выход был найден, когда заметили, что использованная в (1.2)

математического языка может быть сведена к нескольким условным зна-

кам, и сейчас (1.2) записывается кратко и ясно:

 

 

x2 + 2xy + y2 = (x + y)2.

 

(1.3)

1.1. КАК И ПОЧЕМУ ОН ПОЯВИЛСЯ?

5

 

Это стало первым этапом уточнения математического языка: был со-

здан символизм арифметическиx выражений, иx равенств и неравенств.

К XVIII в. математические формулы записывались почти в том же виде,

что и сейчас.

 

 

Однако более сложные математические утверждения по-прежнему

записывались на обычном языке с вкраплениями формул. И чем даль-

ше развивалась математика, чем больше понятий входило в ее словарь,

тем ближе придвигались к ее границам парадоксы, связанные с неодно-

значностью и недоопределенностью предложений естественного языка.

Рассмотрим один из самых яркиx и элементарных примеров.

 

 

Как известно, некоторые фразы служат определениями натуральных

чисел, например:

 

 

«Десять в степени десять в степени десять».

(1.4)

 

«Наименьшее простое число, большее миллио-

 

 

на».

(1.5)

В русском языке 33 буквы, и предложений, состоящих не более чем из

ста букв, конечное число (грубо говоря, не более 33100). Натуральных

чисел же бесконечно много. Значит, среди ниx должны быть такие, ко-

торые нельзя назвать фразой, состоящей менее чем из ста букв. Но тогда

есть и наименьшее такое число. Его можно определить как

 

 

Наименьшее натуральное число, которое нельзя

 

 

определить предложением русского языка, содер-

(1.6)

 

жащим менее ста букв.’

 

Это предложение содержит 96 букв. Следовательно, определение (1.6)

противоречит самому себе. (Парадокс Берри. 1906 г.)

 

 

Казалось бы, рассуждение из парадокса Берри явно нематематиче-

ское. Однако уже в те времена подобные конструкции встречались в те-

ории множеств, а сейчас рассуждения такого рода обычны в разделах

математической логики и теории алгоритмов, исследующих сложность

описания математическиx объектов. В частности, подобная идея лежит

в основе знаменитой теоремы Гёделя2 о неполноте любой достаточно

сильной формальной теории.

 

 

Если парадокс Берри возник на границе между математикой и есте-

ственным языком, то парадокс Рассела возник внутри самой математи-

ки

в теории множеств.

 

2 Эта теорема является одной из целей нашего курса

6

ГЛАВА 1. НЕОБХОДИМОСТЬ ТОЧНОГО ЯЗЫКА

 

Пусть z множество тех множеств, которые не

 

являются собственными элементами. То есть x

 

z тогда и только тогда, когда неверно, что x x.

 

Символически

 

(1.7)

 

z = {x | x / x} .

Подставляя z вместо x в определение z, получаем,

 

что z z тогда и только тогда, когда z / z.

 

 

Появление первых парадоксов ошеломило математический мир и

послужило поводом, чтобы предпринять систематическое построение

современной логики. А причиной ее появления было то, что математи-

ческий диалект естественного языка опять-таки, как и в средние века,

перестал удовлетворять требованиям компактности и удобства при за-

писи формулировок теорем, и в особенности при манипуляцияx с эти-

ми формулировками. Например, вот одно из элементарных определений

математического анализа:

 

 

Функция f, определенная на множестве M, не-

 

прерывна на M, если для каждого x из M и для

 

любого сколь угодно малого положительного

ε

 

найдется такое положительное δ, зависящее от

ε,

(1.8)

что, когда x1 лежит в M и отличается от x меньше,

 

чем на δ, f(x1) отличается от f(x) меньше, чем на

 

Построитьε. скажем отрицание понятия непрерывности содержатель но вдаваясь в смысл, фразы, не менее трудно чем преобразовывать, - алгебраические тождества (1записанные.8), в виде , А на современном символизме «f непрерывна, на M» записывается(1.компактно2). и изящно:

x M ε > 0 δ > 0 x1 M(|x − x1| < δ |f(x) − f(x1)| < ε).

Язык математической логики ставший символическим языком(1со.9) временной математики возник в ,тот момент когда неудобство матема- тического языка для нужд, математики было окончательно, осознано Так- же как и символизм алгебраически выражений новый символизм.про яснил, механическую природу многихx преобразований, позволил дать- простые алгоритмы и осуществления и тем самым освободил, головы математиков для болееx важных дел.

1.1. КАК И ПОЧЕМУ ОН ПОЯВИЛСЯ?

7

Вместе с тем впервые появилась возможность строго ответить на

вопрос: а что значит точно сформулированное высказывание’? Это вы-

сказывание, которое может быть однозначно переведено на символиче-

ский язык математики.

 

Формализация математики привела к более ясному осознанию при-

роды самой математики, к триумфальному применению ее к нечисло-

вым и непространственным объектам, таким как, например, гены, есте-

ственные и искусственные языки, программы для ЭВМ и т. д. Вместе с

тем стало ясно и то, когда мы не должны применять математику. До тех

пор, пока наши знания о некоторой конкретной области не могут быть

переведены на формальный математический язык единообразным ме-

тодом, мы еще не осознали исходные понятия и иx свойства настолько,

чтобы применять математические методы, и математизация

превра-

щается в род шаманства, призванного придать наукообразие тексту. А

как только мы сможем точно сформулировать свойства ясно выделен-

ных нами исходных понятий, мы сможем и применять математику для

извлечения следствий из этиx свойств.

 

Итак, первой проблемой, которую поставила жизнь перед математи-

ческой логикой, была следующая.

 

Основная задача языка математики

 

Дать точное и удобное определение математическо-

 

го суждения, то есть дать такой язык, на который

 

мы могли бы перевести математические утвержде-

(1.10)

ния, который допускал бы сравнительно легкий пе-

 

ревод на обычный язык записи на котором были бы компактны и удобны в обращении, .

Первая часть нашего пособия посвящена показу используемого в совре менной математике решения этой проблемы Мы стремимся осветить с- единой точки зрения фундаментальные математические. понятия позна комить с формальным языком и дать навыки владения этим языком, . - В сущности в первой части почти не затрагивается материал соб ственно математической, логики как науки в нем выдерживается лишь- логический подход к изучаемым понятиям ,Сама математическая логика начинается со второй задачи неразрывно связанной. с основной задачей

языка математики. ,

8

ГЛАВА 1. НЕОБХОДИМОСТЬ ТОЧНОГО ЯЗЫКА

 

Основная задача логической семантики3:

 

 

Дать четкое и однозначное истолкование суждений

 

 

формального языка, одновременно как можно более

 

 

простое и как можно более близкое к естественному

(1.11)

 

математическому пониманию.

 

 

Конечно же, мы вынуждены касаться отдельных аспектов этой зада-

чи уже в первой части, но лишь в простейших случаях.

 

 

Подытожим:

 

 

Труднее всего поддается уточнению само понятие точности.

 

 

Математическая логика

наука, изучающая саму матема-

 

 

тику математическими средствами.

 

Математическая логика изучает формальную структуру рас суждений математическими средствами. - Формальная проверка зачастую сильнее содержательной.

Формальный язык позволяет значительно эффективнее пре образовывать выражения, чем содержательный. - Когда сложность утверждений данной науки превосходит опре деленный предел, начинается процесс ее формализации. - Формальный язык должен полностью исключать неоднознач ности. - Смысл предложений формального языка должен быть стро го и до конца определен. - Не всякое использование формального языка ведет к уточ нению. -

Упражнения к § 1.1

Л С Выготский Сколько различных смыслов имеет предложе

1.1.1. ние( . . ) -

Предложение рабочих бригад вызвало осуждение товарища Иванова?

3 Семантика наука изучающая смысл предложений естественного либо формаль ного языка. — , -

1.2. ЗАЧЕМ ИЗУЧАТЬ?

9

1.1.3. Какое из предложений (1.4), (1.5) неоднозначно? Как его перефор-

 

мулировать, чтобы оно стало однозначным?

§ 1.2.

ЗАЧЕМ ИЗУЧАТЬ ФОРМАЛЬНЫЙ ЯЗЫК МАТЕМАТИКИ?

Ну допустим, мне удалось убедить Вас, что для математики необходи-

мо создавать точный формальный язык. Но остается второй вопрос: а

так ли необходимо его изучать, если Вы не собираетесь быть специа-

листом именно в области математической логики. Ведь столько лет без

него обходились, почему бы не обойтись и Вам?

Первый из возможных ответов на данный вопрос состоит в том, что

незнание мощных и простых методов преобразований математическиx

предложений, предоставляемых языком математической логики, все рав-

но что незнание основ алгебры. Просто грех не пользоваться точными

и едиными правилами там, где они уже проработаны, и каждый раз изо-

бретать заново велосипед Артамонова4.

Второй ответ требует апелляции к опыту современных формальных

языков, прежде всего языков программирования.

В нынешние времена люди все равно вынуждены изучать искус-

ственные, формальные языки. В частности, имея дело с вычислитель-

ной машиной, Вы не обойдетесь без знакомства (хотя бы шапочного) по

крайней мере с 2–3 искусственными языками. А уж если Вы собирае-

тесь быть математиком-прикладником, для которых в первую очередь

предназначено данное пособие, то без глубокого знания алгоритмиче-

скиx языков сейчас не обойтись.

Но лишь ими ограничиться нельзя,

если Вы стремитесь подняться выше чисто ремесленного уровня.

Язык математической логики

исторически первый точно опреде-

1.1.2. (Х.Б. Карри) Докажите, что из существования множества всех та-

 

киx множеств x, что если x является своим элементом, то выпол-

 

нено A, следует, что A истинно.

ленный формальный язык Он появился в конце века в трудах ита льянского математика Пеано. и его учеников современнаяXIX форма прида- на ему Расселом и Гильбертом в начале XX ,века, и этот язык доказал на-

4 Артамонов мастер самоучка в царствование Николая приехавший с Урала в Питер на самодельномвелосипеде- ., I

10 ГЛАВА 1. НЕОБХОДИМОСТЬ ТОЧНОГО ЯЗЫКА

практике свою жизнеспособность и устойчивость. Во множестве фор-

мальных языков программирования, математической лингвистики и ис-

кусственного интеллекта, сменяющихся каждые десять лет, он является

своего рода скалой среди айсбергов. В нем в гораздо более последова-

тельной и красивой форме проведены многие концепции, а позднее пе-

ренятые в языках программирования и искусственного интеллекта. Так

что знать его целесообразно хотя бы для того, чтобы видеть, что к чему

в этом бурлящем море неустойчивых частных формальныx языков.

Третий ответ связан со спецификой самой работы прикладного ма-

тематика либо системного аналитика.

В прикладной математике исследователь должен все время занимать-

ся переводами с содержательного языка на математический, с математи-

ческого языка на язык численных методов и алгоритмов, с языка алго-

ритмов на конкретный язык программирования и обратно. Такая много-

языковость неизбежна: она вызвана необходимостью находить точные

и реализуемые решения задач, возникающих на практике. Например,

услышав о проблеме, связанной с тем, что нагрев сырья в печи недо-

статочно равномерен, исследователь должен сообразить, что передача

тепла описывается параболическими дифференциальными уравнения-

ми в частных производных5, что в данном случае граничные условия

имеют такой-то вид, а тогда задача нахождения решений этиx уравне-

ний некорректна, что для устранения некорректности можно воспользо-

ваться такими-то моделями и численными методами, что для того чтобы

смоделировать всю систему на машине, нужно привлечь такие-то про-

граммные средства, что для того чтобы специалисты поняли результаты

моделирования, иx нужно вывести в такой-то форме, и самое печаль-

ное

нужно быть готовым к тому, что построенная модель окажется

никуда не годной и ее придется переделывать поскольку например ха рактер нагрева в данном случае известен неточно, а при, математиче, - ском решении задачи мы вынуждены сделать такие, то предположения- которые совсем не обязательно адекватны реальной ситуации- . И это еще,

5 Если уважаемый читатель не знает что это такое не расстраивайтесь это должен знать специалист и даже многие известные, автору блестящие, математики прикладники:

этого не знают Другое, дело что нужно развивать свою внутреннюю базу- знаний и включать в нее.и то что сам ,не знаешь как следует Тут нужно лишь пониматьк какойобласти это относится, к какому специалисту нужно. обратиться если Вы столкнетесь, с данным понятием и как, хотя бы самым грубым образом перепроверить, предложенное специалистом решение, ,Ведь никто не может знать всего, а нынче никто не может знать всего даже в одной отдельно. взятой отрасли. ,