Непейвода. Прикладная логика

5.4. ФУНКЦИИ

111

Аксиома подстановки. Если X —

множество, и x(x

X 1y A(x, y), то

{y | x(x X & A(x, y))}

также множество.

Контрапозицией аксиомы подстановки получаем, что, если X —

класс,

ϕ —

инъективное отображение X в Y , то Y —

также класс.

Данный критерий называется аксиомой по той причине, что, отчаяв-

шись найти внешние критерии того, какие формулы могут определять

множество, математики начала XX века решили просто постулировать

возможность построения тех множеств, которые широко вошли в мате-

матическую практику и не приводят к известным парадоксам.

Так воз-

никла аксиоматическая теория множеств.

В том ее варианте,

который

принимается абсолютным большинством математиков, постулируются

следующие аксиомы (помимо аксиомы подстановки)37:

1.

Пустое множество:

X x x / X

2.

Двухэлементное множество:

112

ГЛАВА 5. БАЗОВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

5.

Аксиома бесконечности:

Существует множество, у которого есть инъекция самого в себя.

f : X → X

&

X

f

x, y(x X & y X & f(x) = f(y) x = y) &

y(y X & x(x X f(x) 6= y))

6.

Аксиома выбора:

Y Y

X

y y

Y

X

f(Y )

Y )

X f((f : X

X &

Y)(Y

→ S

7.

Аксиома объемности:

X, Y ( z(z X z Y ) X = Y )

Если множества имеют одни и те же элементы, они равны.

8.

Аксиома регулярности:

X x (x X &

¬ y(y x & y X))

Суть ее в том,

чтобы запретить ситуации вида x x. Эта аксио-

ма служит примером технических улучшений, необходимых в ка-

ждой новой теории для ее логического замыкания.

Аксиомы теории множеств,

как выяснилось, не слишком удобны для

представления некоторых структур,

возникающих в современных обла-

стях математики, в частности,

в теории категорий. Но они по крайней

мере дают некоторый общий фундамент, позволяющий точно понимать,

что означает то или иное утверждение классической математики38.

И,

что еще важнее,

они дали возможность строго поставить вопрос о не-

разрешимости некоторых проблем традиционной математики.

Функции, аргументом которых служат натуральные числа, обычно

называют

последовательностями и обозначают несколько по-другому:

саму функцию (an)n N,

конкретное значение ai.

В данной книге мы,

5.4. ФУНКЦИИ

113

Определение 5.4.7. Конечной последовательностью называется ото-

бражение множества {i | i N & i > 1 & i 6 k}. k —

ее длина.

И, наконец, обратим внимание на несколько другое обозначение функ-

ций, появившееся по аналогии с последовательностями и употребляе-

мое в том случае, если область определения фиксирована и нас инте-

ресуют в первую очередь значения функции, а не взаимосвязь между

аргументами и значениями. Это —

запись функции как семейства зна-

чений:

(ai)i I .

Аргумент называется в данном случае индексом, результат — i-тым чле-

ном семейства. Чаще всего как семейства представляют функции, значе-

ниями которых служат объекты высших типов: множества либо другие

функции.

Семейства, в частности, полезны для обобщения операций на беско-

нечное число аргументов,

если это возможно. Например, в теории мно-

жеств обобщаются на любое семейство аргументов операции объедине-

ния, пересечения, прямой суммы, прямого произведения.

Определение 5.4.9.

1.

S

Xi = {x | i(i I & x Xi)}.

4

114

ГЛАВА 5. БАЗОВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

Q

4

S

4.

Xi = {f | f : I → i Xi & i(i I f(i) Xi)}.

5.4.1. Когда тройка X♣Y = hX, Y, X × Y i является функцией? Когда

4

данная функция является инъекцией? Сюръекцией? Биекцией?

5.4.2.

Имеются ли функции из в непустые множества? Какие? А нао-

борот?

5.4.3.

Почему доказательство теоремы Кантора-Шредера-Бернштейна

не может быть использовано для составления программы, пре-

образующей две инъекции в биекцию, даже для счетных множеств?

5.4.4.

Дайте доказательство теоремы Кантора-Шредера-Бернштейна для

конечных множеств, подходящее для построения с его помощью

преобразователя программ: процедуры, трансформирующей две

данные функции-инъекции в одну —

биекцию39.

5.4.5.

Какое из равенств выполнено? Для невыполненного укажите, есть

ли вложение в одну из сторон.

f hXi f hY i = f hX Y i ,

f hXi ∩ f hY i = f hX ∩ Y i .

5.4. ФУНКЦИИ

115

5.4.8. Каковы взаимоотношения между X 6 Y и Y < X?

5.4.9.

Докажите, что если X —

счетно, то и множество всех кортежей

X∞ также счетно.

5.4.10.

Студент Гениалькис предложил определить конечное множество

как множество, представимое в виде {x1, . . . ,

xn}. Что Вы ска-

жете по этому поводу?

5.4.11.

При обсуждении предыдущего определения студент Интеллек-

туалов выдвинул свое:

транзитивное замыкание

Класс конечных множеств —

класса, содержащего и все множества вида {x} (чтобы

снять все замечания, он определил их как множества,

удовлетворяющие следующему условию:

x(x X & y(y X x = y)) )

относительно операции объединения двух множеств.

Что Вы скажете по поводу этого определения?

5.4.12.

Студент Рессель заявил, что на самом деле лучшее определение

конечных множеств следующее:

Конечное множество —

множество X, неравномощное

никакому

Y X & Y 6= X.

А Вы что здесь скажете?

5.4.13. Студентка Программистская заявила, что все предыдущие опре-

деления никуда не годятся, поскольку ссылаются на множество

всех множеств, которого нет. Она предложила определить конеч-

ные множества так, как делают все нормальные программисты —

по индукции.

1.

—

конечное множество.

конечное множество.

2.

Если a —

объект, то {a} —

конечное

3.

Если X

и Y —

конечные множества, то X Y —

множество.

116

ГЛАВА 5. БАЗОВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

§ 5.5.

ФАКТОР-МНОЖЕСТВА

В предыдущем параграфе у нас частенько фигурировало слово ‘мощ-

ность’. Но мы стыдливо умалчивали, что это такое. На самом деле хо-

рошего математического определения мощности множества просто нет,

наиболее прозрачной была попытка Кантора определить мощность как

множество всех равномощных друг другу множеств, но из-за парадокса

Кантора и несуществования универса таких множеств просто не суще-

ствует (за исключением мощности пустого множества). Кантор в своем

определении следовал сложившейся к концу XIX века математической

традиции, когда уже был хорошо разработан способ перевода отноше-

ний эквивалентности в отношения равенства через посредство фактор-

множества.

Условия, накладываемые на отношение эквивалентности, на самом

деле минимальный вариант выразимых на логическом языке свойств ра-

венства. А именно:

Отношением эквивалентности называется рефлек-

Определение 5.5.1.

сивное, транзитивное и симметричное отношение40.

Таким образом, класс эквивалентности элемента x есть R hxi. Отно-

шение эквивалентности R обладает, в частности, следующими важны-

ми свойствами:

Предложение 5.5.1.

1. x y(R hxi = R hyi R hxi ∩ R hyi = ).

2.

x(x Dom R x R hxi).

5.5. ФАКТОР-МНОЖЕСТВА

117

3.

x y(x Dom R & y Dom R (R hxi = R hyi (x, y)

R)).

Доказательство. Пункт 3. Если образы равны, то по рефлексивности,

y R hyi,

но R hxi = R hyi, значит, (x, y) R. Если, наоборот, (x, y)

R, то из (y, z) R по транзитивности следует (x, z) R, а из (x, z) R

по симметричности и транзитивности следует (y, z) R.

Пункт

1. Пусть имеется такое z, что (x, z) R & (y, z) R. То-

гда, по симметричности, (x, z) R & (z, y) R. По транзитивности

(x, y)

R,

и по

пункту 3 образы равны. Значит, если они пересекаются,

41

.

то они совпадают

Последний пункт очевиден.

Итак, отношение эквивалентности разбивает свою область опреде-

ления на непересекающиеся классы эквивалентности.

Определение 5.5.2.

1. Класс эквивалентности элемента x — его образ

R hxi, то есть

{y | (x, y) R}.

2.

Фактор-множество — множество классов эквивалентности всех

элементов множества X по отношению эквивалентности ≡.

3.

Если f —

функция из множества X с заданным на нем отноше-

нием эквивалентности R1 в множество Y с заданным на нем от-

ношением эквивалентности R2, то f называется

согласованной с

эквивалентностью, если

x y(x X & y X & (x, y) R1 (f(x), f(y)) R2).

Таким образом, функция согласована с эквивалентностью, если

она по эквивалентным аргументам выдает эквивалентные значе-

ния.

сильнее отноше-

4.

Отношение эквивалентности R1 на множестве X

ния эквивалентности R2 на том же множестве, если R1 R2.

118

ГЛАВА 5. БАЗОВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

Класс эквивалентности x относительно R обозначается xˆR и еще

чаще просто xˆ, поскольку обычно одновременно рассматривается лишь

одно отношение эквивалентности.

сильнейшее из от-

Предложение 5.5.2.

1. Отношение равенства —

ношений эквивалентности.

2.

Отношение R = X2 —

слабейшее из отношений эквивалентно-

сти.

3.

Предикат P (x) согласован с эквивалентностью ттт

x y((x, y) R (P (x) P (y))).

Очевидно.

Отношение эквивалентности часто записывают как бинарную опе-

рацию, похожую по внешнему виду на равенство, пользуясь для этого

значками типа '

≡

Полного единообразия здесь быть и не

должно, поскольку на одной и той же структуре часто рассматриваются

,

, =,

, .

несколько отношений эквивалентности.. Если отношение эквивалентно-

сти обозначается бинарной операцией =, то фактор-множество X по от-

.

.

ношению =

обозначается X/=. Класс эквивалентности элемента a по

рассматриваемому в данный момент отношению эквивалентности часто

обозначается aˆ.

.

Если функция согласована с отношением эквивалентности R

(=), то

можно определить функцию из фактор-множества с теми же значения-

ми:

.

4

(5.16)

f/=(ˆx) = f(x).

Обратим Ваше внимание на одну тонкость. Мы определили фактор-фун-

кцию, не прибегая к несколько неаккуратной конструкции, часто ис-

пользуемой в данном случае: не выбирая произвольного элемента из

xˆ, так что ее определение ни от каких сомнительных принципов тео-

рии множеств не зависит. Но, конечно же, отношение, заданное в (5.16),

является функциональным лишь тогда, когда f согласована с эквива-

лентностью.

мно-

Пример 5.5.1. Фактор-множество X по отношению равенства —

жество всех

{{x} | x X}. Таким образом, здесь мы просто рассажи-

5.5. ФАКТОР-МНОЖЕСТВА

119

Пример 5.5.2. Фактор-множество X по отношению X2

состоит из од-

ного всеобъемлющего класса эквивалентности {X}. Здесь вместо зоо-

парка получается загон для всего стада элементов X.

Пример 5.5.3. Кольцо вычетов по модулю n может быть представлено

как фактор-множество множества целых чисел по отношению

Все арифметические операции на кольце получаются при этом из ариф-

метических операций на целых числах простой факторизацией.

Если X —

алгебра с какими-то операциями, то переходить к фак-

тор-алгебре можно лишь тогда, когда операции по всем аргументам со-

гласованы с эквивалентностью.

Фактор-множества теснейшим образом связаны с функциями. А имен-

но, любая функция задает отношение эквивалентности:

С другой стороны, λx. xˆ является функцией, определяющей данное от-

ношение эквивалентности. Множества, на которых функция сохраняет

одно и то же значение, часто называются множествами уровня данной

функции. Таким образом, любое отношение эквивалентности предста-

вляется как совокупность множеств уровня некоторой функции. Отно-

шение эквивалентности,

генерируемое функцией f, обозначается =, а

фактор-множество по = —

f

просто X/f.

f

Пользуясь отношениями эквивалентности, легко установить следу-

ющий фундаментальный результат:

Доказательство. Возьмем Dom f/f. λx. xˆ является сюръекцией на это

множество, а f/= —

инъекцией из этого множества в Val f.

f

120

ГЛАВА 5. БАЗОВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

Упражнения к § 5.5

5.5.1.

Являются ли отношениями эквивалентности объединение и пе-

ресечение двух отношений эквивалентности?

5.5.2.

Постройте фактор-множество R по отношению эквивалентности,

задаваемому функцией, находящей дробную часть числа.

5.5.3. Являются ли отношениями эквивалентности отношения:

1.

Иметь одну и ту же мать.

2.

Иметь одну и ту же сестру.

3.

Различаться на рациональное число (на множестве действи-

тельных чисел).

4.

Различаться по модулю не более чем на 1.

5.

Быть равномощными (для множеств).

6.

Существует изоморфизм G1 на G2 (для групп).

7.

Существует гомоморфизм G1 в G2 (для групп).

5.5.4. Какое из отношений эквивалентности более сильное?

1.

Получить одинаковые оценки на вступительном экзамене по

математике.

2.

Иметь одну и ту же сумму баллов на вступительных экзаме-

нах.

3.

Решить одни и те же задачи на вступительном экзамене по

математике.