Непейвода. Прикладная логика

6.2. ОБ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЯХ

151

x (x T & y (x y A(y)) A(x)) ,

то x (x T A(x)).

Доказательство. Действуем от противного. Предположим, что есть та-

кое a0 T, что ¬A(a0). По шагу индукции, тогда существует a1, такое,

что a0 a1 и ¬A(a1). a1 не может быть листом, поскольку для листьев

A верно по базису индукции; значит, для него в свою очередь можно

найти a2, a1 a2 и ¬A(a2). Продолжая таким образом, получаем бес-

конечный путь в T, чего быть не может.

Важным частным случаем деревьев с конечными путями являются

веера. Дерево имеет конечное ветвление, если из каждой вершины выхо-

дит конечное число дуг. Веер —

дерево с конечными путями и конечным

ветвлением. Следствием bar-индукции является следующий результат,

история которого также необычна. Он сначала был доказан Брауэром в

нетрадиционной математике,

существенно неклассическими методами,

а затем передоказан классическими методами Кёнигом.

152

ГЛАВА 6. ИНДУКЦИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

T1

· · · Tn

Рис. 6.3: Структура веера

Лемма 6.2.1. .[Теорема о веерах] Любой веер конечен.

Доказательство.

Если веер состоит из одного элемента, он конечен. В

противном случае веер представляется как на рисунке 6.3,

где T1, . . . , Tn

—

веера. По предположению индукции, все они конечны, и значит, об-

щее число элементов в веере конечно.

Все вышесказанное не отменяет того, что индуктивное определе-

ние —

достаточно опасный и тонкий прием. В частности,

легко впасть в

парадокс лжеца, индуктивно определив A(x) через ¬A(x). Поэтому на-

стоятельно не рекомендуется использовать отрицания в индуктивных

определениях и нужно следить за отсутствием порочных кругов, когда

ответ, является ли E корректным выражением, зависит от самого себя.

Упражнения к § 6.2

Корректны ли следующие индуктивные определения и, если они

формально некорректны,

как их исправить, если корректны фор-

мально, что они определяют и хороши ли они содержательно?

6.2.1.

Пусть 2 —

хорошее число; 3 — плохое число. Если n —

хорошее,

то n + 5 —

хорошее; если n —

плохое, то n + 7 —

плохое.

6.2.2. Пусть 0 —

нужное число; если n + 1 и n − 1 —

нужные числа, то

n —

нужное число.

6.2.3. Элементарные формулы атомарны; если ¬A —

атомарная форму-

ла, то и A —

атомарна.

6.2.4.

Пусть 0 —

хорошее число; если n — хорошее, то n+1 не является

хорошим числом; если n —

не хорошее число,

то n+1 —

хорошее.

6.3. ТРАНСФИНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ И ОРДИНАЛЫ

153

§ 6.3. ТРАНСФИНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ И ОРДИНАЛЫ

6.3.1.

Построение начального отрезка ординалов

Заметим, что индукция по индуктивному определению напоминает воз-

вратную индукцию. Еще до того, как были осознаны индуктивные опре-

деления, было замечено, что возвратная индукция —

гораздо более об-

щий принцип,

чем математическая, и переносится на многие другие мно-

жества.

Пополним множество натуральных чисел бесконечным

Пример 6.3.1.

числом ω, которое больше всех обычных чисел. На множестве N {ω}

выполнен принцип возвратной индукции и, соответственно, принцип

бесконечного спуска и принцип наименьшего числа.

В самом деле, для n < ω принцип возвратной индукции выполнен,

поскольку они —

натуральные числа. Значит, если выполнен шаг воз-

вратной индукции, то выполнено n(n < ω A(n)). Но тогда по шагу

индукции выполнено и A(ω).

Первым предложил распространить принцип возвратной индукции

на более широкое множество чисел германский математик Г. Кантор

в третьей четверти XIX века. Он назвал пополнение натуральных чи-

сел, при котором сохраняется возвратная индукция, —

трансфинитны-

ми (сверхконечными) или ординальными (порядковыми) числами10, а

принцип индукции для них —

трансфинитной индукцией. Таким обра-

зом, трансфинитная индукция —

обычная возвратная индукция, но для

трансфинитных чисел. Имеет смысл, как это часто делается в матема-

тике, превратить важнейшее для нас свойство в определение.

Определение

6.3.1. Вполне упорядоченное множество —

линейно упо-

рядоченное множество, для которого выполнен принцип возвратной ин-

10 Часто называют их просто трансфинитами или ординалами. В настоящее время

более популярно название ординалы или ординальные числа,

а вот индукцию по-

прежнему называют трансфинитной.

Но вслед за всеми этими

ординалами вида n

ω + k естественно по-

2

. А за ω

2

·

ставить еще больший и назвать его ω

выстраивается ряд, изо-

морфный предыдущему:

6.3. ТРАНСФИНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ И ОРДИНАЛЫ

155

ϕ(i, j) = (k − i) · ω + (s − j).

(6.3)

Чтобы доказать конечность некоторого процесса вычисления, строят функ-

цию со значениями в фундированном множестве, убывающую на ка-

ждом шагу процесса. Для построения сигнализирующих функций ча-

сто удобнее всего использовать ординалы. При анализе практических

программ хватает ординалов до ε0.

6.3.2.

Свойства вполне упорядоченных множеств

что каждое

Исходя из переформулировок возвратной индукции, видим,

непустое подмножество вполне упорядоченного множества имеет наи-

меньший элемент и что каждая убывающая последовательность элемен-

тов конечна. Наименьший элемент вполне упорядоченного множества

X обозначается 0X или просто 0, если X однозначно определяется из

контекста. Далее, если некоторое подмножество X0 вполне упорядочен-

ного множества X ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю

грань, а множество его строгих верхних границ —

наименьший элемент,

являющийся наименьшим элементом, превосходящим все элементы X0.

Этот элемент обозначим lim sup X0

и назовем верхним пределом X0.

Например, ω —

верхний предел множества натуральных чисел.

Предложение

6.3.1. Если X и Y —

два вполне упорядоченных множе-

ства,

то выполнена одна и только одна из альтернатив:

на началь-

a)

Существует монотонно возрастающая инъекция X

ный отрезок Y .

на началь-

b) Существует монотонно возрастающая инъекция Y

ный отрезок X.

c)

X и Y

изоморфны.

Доказательство. Одновременно определим трансфинитной индукци-

ей две функции f : X → Y , g : Y → X. Если уже определено f(α) для

всех α β,

то

f(β) =

µγ ( α(α β & f(α) = γ)) X \ f h{α | α β}i 6=

µγ (γ¬ Y )

X \ f h{α | α β}i =

Аналогично определяем g.

0X , наи-

Обозначим наименьший элемент всего множества X —

меньший элемент Y —

0Y . Обозначим через X0 следующее подмно-

жество X:

4

{x | x = 0X f(x) 6= 0X } .

(6.4)

X0 =

6.3. ТРАНСФИНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ И ОРДИНАЛЫ

157

Аналогично определяем Y0. По построению, если α X0

, f h{β | β α}i

—

начальный отрезок Y . Симметрично для g. Таким образом, множе-

ства X0, Y0 являются начальными отрезками X и Y соответственно.

Докажем, что f и g являются изоморфизмами между

X0 и Y0. В са-

мом деле, на X0 f является инъекцией. Аналогично для g и Y0. Далее,

трансфинитной индукцией установим, что

α(α X0 g(f(α)) = α).

(6.5)

Таким образом, доказан изоморфизм начальных отрезков X и Y .

Теперь покажем, что если X изоморфно начальному отрезку Y , то

этот отрезок определяется однозначно. Итак, пусть имеются два изо-

морфизма f1 и f2 вполне упорядоченного множества X на начальные

отрезки Y1 и Y2

соответственно. По трансфинитной индукции легко до-

казывается, что для всех x X f1(x) = f2(x), а из такого равенства

следует искомая однозначность.

Итак, если

X изоморфно собственному начальному отрезку Y , то

оно уже не может быть изоморфно самому Y , и наша трилемма доказа-

на.

Предложение 6.3.2. Между двумя изоморфными вполне упорядоченны-

ми множествами есть только один изоморфизм.

Доказательство. Рассмотрим два изоморфизма X на Y : ϕ1 и ϕ2. По

трансфинитной индукции докажем их тождество.

Пусть для всех β αвыполнено ϕ1(β) = ϕ2(β). Тогда, поскольку

эти функции —

изоморфизмы,

Доказательство. Докажем, что введенный порядок полный. В самом

деле, возьмем произвольное непустое подмножество прямой суммы Y

i I Xi. Возьмем его проекцию на I. Она непуста, значит, в ней най-

L

α(i0

, α)

Y .

А теперь в Xi0 найдет-

дется наименьшее i0, такое, что

ся наименьшее α0,

такое, что (i0, α0)

Y . По определению порядка,

(i0, α0) —

наименьший элемент Y .

Функции, в которых область определения —

некоторое стандартное

вполне упорядоченное множество (ординал), называются ординальны-

ми последовательностями. Они сохраняют основные свойства обыч-

ных последовательностей, в частности, если множество значений упо-

рядочено, то последовательности можно упорядочить лексикографиче-

ски, поскольку для двух разных последовательностей существует пер-

вый элемент, на котором они различаются.

Определение 6.3.2.

Ординальное произведение ординальной последо-

вательности вполне упорядоченных множеств —

множество ординаль-

6.3. ТРАНСФИНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ И ОРДИНАЛЫ

159

непусто и имеет наименьший элемент α0. Но для α0 a(α0) 6= b(α0). Этот

факт требует отдельного обоснования.

В самом деле, если α0 таково, что

β(β I & β α0 a(β) = b(β)),

(6.7)

Определение 6.3.3. Множество называется транзитивным, если явля-

ется на нем отношением порядка. Ординал —

транзитивное линейно

упорядоченное множество.

Считается, что ординал α меньше β (α β), если α изоморфен соб-

ственному начальному отрезку β.

Из сказанного выше видно, что данное определение ординала явля-

ется всего-навсего определением одного из возможных представлений

ординалов, а опыт вдобавок подсказывает, что такое представление —

одно из наименее удобных для использования в приложениях, да и в

областях математики,

имеющих дело с вычислимостью.

Оно отказыва-

ет и при малейших изменениях аксиоматической системы теории мно-

жеств. А вот сущности, которые стоят за ординалами, —

классы изо-

морфных вполне упорядоченных множеств, которые часто называют ти-

пами вполне упорядочений, применимы гораздо шире, чем любое из их

конкретных представлений.

Имея какое-то представление ординалов, можно доказывать резуль-

таты про них, а из этих результатов получать новые представления орди-

налов, может быть, не всех, но зато более применимые. Это —

обычный

путь разработки понятий для нужд прикладной математики.

Предложение 6.3.5.

1. Если два ординала изоморфны, они равны.

2.

Любой ординал совпадает с множеством всех меньших´

его орди-

налов.

3.

α β α β.

4.

Объединение произвольного множества ординалов является ор-

диналом.

Доказательство. Первый пункт легко доказывается трансфинитной ин-

дукцией.

Докажем второй пункт. Любой элемент ординала является ордина-

лом, и меньшим´

его. В самом деле, он является, по транзитивности, мно-

жеством, линейно упорядоченным отношением . Далее, он определяет

некоторый начальный отрезок данного ординала и, соответственно, не

изоморфен ему,

но вкладывается в него. Теперь докажем, что любой на-

чальный отрезок ординала, не совпадающий с ним, принадлежит орди-

налу. В самом деле, если X —

начальный отрезок ординала α и X 6= α,