Непейвода. Прикладная логика

из истинности аргумента в любой интерпретации следует истинность результата в любой интерпретации8.

Итак мы установили что замкнутая семантическая таблица дока зывает тождественную, истинность, проверяемой формулы Более того- для логики высказываний преобразования при построении. семантиче, ских таблиц оказываются эквивалентными. -

Упражнения к § 9.6

Определить правила исчисления секвенций для всех остальных 9.6.1. связок классической логики.

Перестроить в дерево секвенций семантические таблицы из пре 9.6.2. дыдущих параграфов. -

Сравните число символов в таблице и в дереве секвенций А чи

9.6.3. сло формул? . -

8 Таким образом, данное утверждение имеет логическую форму

m A(m) m B(m).

242 ГЛАВА 9. КЛАССИЧЕСКИЕ СТ

Семантические таблицы для равенства являются частным случаем семантических таблиц для теории Пусть нам надо установить являет ся ли теоремой Тогда построим. вывод секвенции , - ЗдесьA означаетTh. совокупность всех аксиом специфицирован|= Th {=| A}. ных как|=истинныеTh В семантической таблице это означаетTh, возможность- в любой момент выписать. формулу |= B, где B Th. Поскольку аксиом

может быть бесконечно много нецелесообразно требовать обязательно выписывать их все в самом начале,

Правила для логики с равенством. можно проинтерпретировать как применение теории со следующими аксиомами обычная аксиома

x и две схемы аксиом : xx =

x y(y = x&Subst(A, z, x) Subst(A, z, y));

x y(x = y&Subst(A, z, x) Subst(A, z, y));

где произвольная формула не содержащая других свободных пере менныхA – кроме , - И наконец, zрассмотрим. случай когда в сигнатуре теории присут ствуют функции, Здесь действует очень, простой закон Выражения -

.считаются различными если в таблице .не установленоc, fравенство(c), f(f(cкаких)),. . . либо из них но ни одно из них не годится как новое даже если оно еще- никуда не, подставлялось Новой может быть лишь, вспомогательная константа Когда появляется. одна такая константа то в таблице с функциональнымиci. символами она порождает бесконеч, но много выражений которые требуется подставлять там где правило- использует старые объекты, . ,

Упражнения к

Проверить истинность§ 9.7 следующих формул и рассуждений в логи ке с равенством и/или функциональными символами. -

9.7.1.x A(x, f(x)) x A(x, x)

9.7.2.x A(x, f(x))& x y(x = y) x A(x, x)

9.7.3.x y x = y& x(A(x)&¬B(x))& x ¬A(x) x B(x)

9.7.4.x A(x) x ¬A(x) x y(x = y)

9.7.5.x y z(x = z y = z)& x(B(x)&A(x))& x(B(x)&¬A(x))

x B(x)

9.7.6. x y(x = f(y)) & x y z(x = y x = z y = z)x f(f(x)) = x

9.7.7.x y(x = f(y))& x f(f(x)) = x

x y z(x = y x = z y = z)

9.7.8.x f(f(x)) = x x y(x = f(y))

9.7.9.x y(A(x)&A(y) x = y)&¬(a = b) x ¬A(x)

9.7.10.x y(¬x = y A(x) A(y))& x(B(x)&A(x))& x(C(x)

¬A(x))& x(C(x) B(x)) x B(x)

В жизни рассуждения обычно представляют не полностью опус кая очевидные из контекста аксиомы либо факты использован, - ные“в них Такие рассуждения” называются энтимемы, Проанали- зировать и. пополнить следующие энтимемы Корректность. попол- нения установить при помощи семантических. таблиц. -

9.7.11.Лисы умнее кур. Значит, ни одна курица не умнее лисицы.

9.7.12.Все тутси выше пигмеев. Значит, ни один пигмей не тутси.

Ябоюсь зубных врачей Я не желаю быть в одной компании с 9.7.13тем. , кого боюсь. Значит, я.не хочу быть в одной компании с вами.

рои Венгрии. Значит, венгры воинственны, но образованы. Сделать выводы из посылок. Проверить их на таблицах.

Все курицы любят клевать пшено Не все кошки жирные Те кто 9.7.15ест. пшено, жиреет. Жирные не могут. петь по ночам . . . . ,

Все козлята прыгают Только здоровые молодые животные пры 9.7.16гают. Некоторые поросята. не прыгают На свете не более одного-

молодого. существа, не являющегося козленком. . . .

Те кто любит учиться не нуждаются в поощрениях Для тех 9.7.18кто. не, любит учиться поощрение, бесполезно Следовательно. , , . . . . 9

мнительной?

Суворов во время итальянского похода выиграл все битвы и рас 9.7.21строил. все планы противника Если нет предательства то расстро- ить планы противника достаточно. для того чтобы выигрыш, бит- вы гарантировал победу в войне Суворов проиграл, Итальянскую-

кампанию. Значит,. . . .

Н Маккьявелли 11 Чтобы добиться успеха политику необхо 9.7.22димо. ( . выглядеть добродетельным) Кроме добродетельных, и амо- ральных никто не может выглядеть. добродетельным Если бы до- бивались, успеха лишь аморальные политики то никто. не был бы-

добродетельным. Некоторые люди добродетельны, .. . .

§ 9.8. ТЕОРЕМА ПОЛНОТЫ

Теорему полноты есть смысл доказывать не только для логики преди катов но и для любой теории базирующейся на классической логи- ке воспользовавшись, сделанным, в предыдущем параграфе обобщени- ем, семантических таблиц Нам необходимо установить что для каждой- теоремы теории найдется. замкнутая семантическая, таблица Но здесь нужноA было быTh установить общий метод доказательства любой.

теоремы а такового не существует как будет доказано в разделе по священном, теории алгоритмов Поэтому, придется действовать от ,про- тивного доказать что незамкнутая. семантическая таблица удовлетво- ряющая:некоторым, критериям полноты, дает опровергающую, модель-

11 Николо Маккьявелли флорентийский общественный деятель и писатель Он про славился своими книгами— Государь и Республика в которых безжалостно. показы- вал реальную совершенно«аморальную» «и бесчестную»,политику Например один из его- принципов гласит, что пришедшему к власти в результате переворота. правителю, нужно опираться не на тех, кто поддержал его из идеи а на тех кто примкнул к нему ради вы годы поскольку первые, потребуют выполнения, данных,им обещаний Поскольку такой- показ, воспринимался как оправдание существующих гадостей Маккьявелли. сам заслу жил репутацию бесчестного человека а неприличное поведение, политиков до сих пор- называют макиавеллизм Сам Маккьявелли, в жизни был приличным человеком но его вина в ‘том что он ставил’. личность ниже государства что явилось корнем неисчи, слимых бед в истории, , -

Правда стремление.поставить личность выше государства приводило к не меньшим бедам и уж, во всяком случае к уничтожению народа либо цивилизации пошедших по такому, пути. Так что и здесь единственным выходом остается баланс. ,

246 ГЛАВА 9. КЛАССИЧЕСКИЕ СТ

12 В современном теоретическом программировании под верификацией понимается до казательство соответствия конструкции спецификациям заданным при ее построении- здесь это означает истинность всех секвенций. , ;

248 ГЛАВА 9. КЛАССИЧЕСКИЕ СТ

незамкнутом пути не встретится противоречащих друг другу элемен тарных формул и модель определена корректно Далее по постро- ению все элементарные, формулыM удовлетворяют своей. спецификации, - Базис индукции установлен .

Шаг индукции Пусть соответствие. спецификации доказано для всех формул с числом логических. связок меньше Пусть имеет логи ческих связок Разберем случаи соответствующиеn. построениюA nи спе- цификации A.. , -

Если рассматриваемая формула есть то по определе нию полноты на пути найдется либо |= (Bлибо C), По предполо- жению индукции, эти формулыω удовлетворяют|= C, своим=| Bспецификациям. - В каждом из этих,случаев истинно Если она есть . то по полноте на пути встретятся(Bи C).и Поскольку=| (Bони удоC), влетворяют своим спецификациямω |= B, ложно=| C. -

, (B C) .

Если формула имеет вид то по условию полноты табли цы на пути встретится =| xдляA(xкакого), то Значит лож-

но. ω =| A(ci) - ci. , x A(x) -

Если формула есть то по полноте на встретится для любой константы|= x Aпринадлежащей(x), универсуω контрмодели|=

A(cПоi) предположению индукцииci, любая из удовлетворяет сво ейM.спецификации и значит истинна, Но тогда=| Aпо(ciопределению) истин- ности истинно и , x A(x). , . -

Остальные связки разбираются аналогично.

Осталось убедиться что полную таблицу всегда можно построить Для этой цели сформулируем, стратегию корректного разбиения формул. приводящую к такой таблице Стратегия не будет определять однознач, но какая формула должна быть. разбита в данный момент Она лишь- ограничивает, допустимые разбиения. .

Занумеруем все константы из сигнатуры теории нечетными нату ральными числами Все вспомогательные константы занумеруем чет- ными Занумеруем все. аксиомы теории Введем дополнительные специ- фикации. для аксиом теории и многократно. используемых МИ формул- вида и Аксиома может быть разрешена( ) или за держана|= xКаждойA(x) МИ=| формулеx A(x). сопоставим множество констант по- которым.она уже разбивалась- кроме того она может бытьα временно, за прещена Формула временно;запрещается, когда происходит ее разби- ение Корректное. разбиение МИ формулы, может производиться лишь- по константе. ci α, при этом ci- добавляется к α. Корректное разбие-

ние не может производиться по временно запрещенной или задержан ной формуле Секвенция условно финальна если в ней не может быть- произведено .ни одного неизбыточного корректного, разбиения

Стратегия корректного разбиения Вначале задерживаем. все ак сиомы кроме первой и не запрещаем ни одной. МИ формулы Пока фор- мула не, является условно, финальной производятся- лишь корректные. - разбиения причем разбиение МИ формулы, производится по константе имеющей, минимальный номер- среди всех таких констант встреча ющихсяci, в незадержанных формулах секвенции Когда секвенция, оказа- лась условно финальной разрешаем первую из. задержанных аксиом и-

снимаем все временные запрещения, .

Лемма В незавершенной семантической таблице для теории в любой секвенции9.8.2. число формул не являющихся результатами разбиения аксиом, конечно. ,

Доказательство В корне дерева такая формула всего одна Каждый шаг разбиения увеличивает. их количество не более чем на 1. .

Лемма лемма о корректных разбиениях Любая последова тельность9.8.корректных3. ( разбиений над секвенцией )содержащей конеч- ное число разрешенных аксиом за конечное число, шагов приводит к- условно финальной. ,

Доказательство Определим ранг секвенции как количество логиче ских связок в формулах. не являющихся задержанными либо временно- запрещенными В условиях, леммы ранг конечен поскольку число таких формул конечно. . При каждом разбиении ранг уменьшается, на 1.

Следствие На любом бесконечном пути в таблице построенной согласно стратегии. корректных разбиений имеется бесконечно, много условно финальных секвенций ,

Докажем теперь что для каждой. МИ формулы встретившейся в секвенции на незамкнутом, пути на этом- пути встречаютсяA, резуль таты ее разбиения по каждой константеω, встречающейся на Если-

завершается финальной секвенцией тоciлюбое, разбиение избыточω.

ноω и соответственно любое разбиение, по любой константе Aпройдено- в финальной, секвенции, Если же путь бесконечен то в промежуткеci

между той и ой. условно финальнымиω секвенциями, встретив шимисяi-на ω после(i + 1)появления- A и ci, A будет разбито по ci. , -

250 ГЛАВА 9. КЛАССИЧЕСКИЕ СТ

Для любой обычной формулы результаты ее разбиения встретятся на до следующей условно финальной секвенции после того как она появиласьω либо стала разрешена если формула является аксиомой,

Итак любая таблица построенная( в соответствии со стратегией)кор. ректных,разбиений, полна, . -

Таким образом если полная таблица не является выводом в исчисле нии секвенций то ,она дает модель в которой все аксиомы истинны- а проверяемая ,формула ложна Комбинируя, доказанное утверждениеTh , с теоремой корректностиA, получаем.

Теорема Теорема полноты классической логики тогда и только 9тогда.2. ( когда существует вывод секвенции ) Th ` A

, |= Th {=| A}.

Таким образом синтаксическая доказуемость при помощи семан тических таблиц совпадает, с семантическим отношением логическо- го следования Теорема полноты в формулировке связанной с другой- формализацией. логики была первым( фундаментальным, результатом ма тематической логики доказанным) в г великим логиком современ - ности К Г делем , 13 Теорема1930полноты. влечет несколько важ-

ных следствий. e¨ . (K. Godel)¨ . -

Определение синтаксически непротиворечива если не замы кается семантическая9.8.3. Thтаблица ни для какой формулы вида, A&¬A. -

Следствие Теорема существования модели Если синтакси чески непротиворечива1 ( то она имеет модель ) Th - Незапертый путь в ,полной таблице для . дает

искомую модель |= Th {=| A&¬A}

Следствие . Теорема компактности Если то найдется конечная подтеория2 ( такая что ) Th ` A,

В самом деле найдетсяTh0 замкнутаяTh, , семантическаяTh0 ` A. таблица для Но она конечна, и следовательно, , использует лишь конечное число аксиомA.

Th. Следствие Теорема компактности форма Если любая конеч ная подтеория 3 ( непротиворечива то ,непротиворечива2) -

Th , Th .

в г Его работа осталась незамеченной и была заново открыта лишь после доказа тельства1915 . Гёделя. -