Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Непейвода. Прикладная логика

.PDF
Скачиваний:
935
Добавлен:
10.08.2013
Размер:
2.27 Mб
Скачать

9.6. СЕКВЕНЦИИ

241

из истинности аргумента в любой интерпретации следует истинность результата в любой интерпретации8.

В самом деле, возьмем произвольную интерпретацию M сигнатуры се-

квенции {=| xA(x)}. В ней нет интерпретации для cn+1, поэтому

ей соответствует целое семейство (Ma)a

U интерпретаций аргумента,

отличающихся от M лишь тем, что cn+1

имеет значение a U. В ка-

ждой из Ma аргумент истинен по предположению индукции. Если для

некоторого a U противоречит своей спецификации одна из формул ,

то поскольку она не содержит cn+1, она сохранит то же значение и в M,

и результат будет истинен. Если же ни для какого a U ни одной такой

формулы из не найдется, то в любой Ma =| A(cn+1) противоречит

своей спецификации, и, значит, A(cn+1)

истинна при любом значении

cn+1 из U. По определению истинности, тогда в M истинна xA(x), эта

формула противоречит своей спецификации и результат истинен.

Итак мы установили что замкнутая семантическая таблица дока зывает тождественную, истинность, проверяемой формулы Более того- для логики высказываний преобразования при построении. семантиче, ских таблиц оказываются эквивалентными. -

Упражнения к § 9.6

Определить правила исчисления секвенций для всех остальных 9.6.1. связок классической логики.

Перестроить в дерево секвенций семантические таблицы из пре 9.6.2. дыдущих параграфов. -

Сравните число символов в таблице и в дереве секвенций А чи

9.6.3. сло формул? . -

8 Таким образом, данное утверждение имеет логическую форму

m A(m) m B(m).

242 ГЛАВА 9. КЛАССИЧЕСКИЕ СТ

§ 9.7. СЕМАНТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ С РАВЕНСТВОМ И ДЛЯ

ТЕОРИЙ

 

 

Исчисление предикатов с равенством характеризуется наличием выде-

ленного двуместного предиката =,

всегда интерпретируемого как совпа-

дение, т.е. ζ(a = a) = 1; ζ(a = b) = 0 для различающихся a, b. Совпаде-

ние интерпретаций равных объектов гарантирует эквивалентность всех

их свойств, согласно определению равенства, данному Лейбницем. Со-

гласно теореме о замене эквивалентных, это означает, что Subst(A, x, t)

может быть заменено на Subst(A, x, r), если |= t

= r. Анализируя,

где целесообразно проводить такую замену, видим,

что она играет роль

лишь там, где взаимодействуют две формулы, т.е. при выявлении про-

тиворечий, закрывающих подтаблицу. Кроме того,

необходимо учесть,

что t = t всегда истинно. Это выражается следующими дополнитель-

ными правилами закрытия таблиц: если |= t = r либо |= r = t, то

|= Subst(A, x, t) и =| Subst(A, x, r) составляют противоречие. =| t = t

есть противоречие само по себе.

 

 

Пример 9.7.1. Докажем утверждение x y(x = y y = x).

=| x y(x = y y = x)

 

=| y(c = y y = c)

 

=| c = d d = c

 

|= c = d

=| d = c

 

=| d = d

 

Семантические таблицы для равенства являются частным случаем семантических таблиц для теории Пусть нам надо установить являет ся ли теоремой Тогда построим. вывод секвенции , - ЗдесьA означаетTh. совокупность всех аксиом специфицирован|= Th {=| A}. ных как|=истинныеTh В семантической таблице это означаетTh, возможность- в любой момент выписать. формулу |= B, где B Th. Поскольку аксиом

может быть бесконечно много нецелесообразно требовать обязательно выписывать их все в самом начале,

Правила для логики с равенством. можно проинтерпретировать как применение теории со следующими аксиомами обычная аксиома

x и две схемы аксиом : xx =

x y(y = x&Subst(A, z, x) Subst(A, z, y));

x y(x = y&Subst(A, z, x) Subst(A, z, y));

9.7. С РАВЕНСТВОМ

243

где произвольная формула не содержащая других свободных пере менныхA кроме , - И наконец, zрассмотрим. случай когда в сигнатуре теории присут ствуют функции, Здесь действует очень, простой закон Выражения -

.считаются различными если в таблице .не установленоc, fравенство(c), f(f(cкаких)),. . . либо из них но ни одно из них не годится как новое даже если оно еще- никуда не, подставлялось Новой может быть лишь, вспомогательная константа Когда появляется. одна такая константа то в таблице с функциональнымиci. символами она порождает бесконеч, но много выражений которые требуется подставлять там где правило- использует старые объекты, . ,

Упражнения к

Проверить истинность§ 9.7 следующих формул и рассуждений в логи ке с равенством и/или функциональными символами. -

9.7.1.x A(x, f(x)) x A(x, x)

9.7.2.x A(x, f(x))& x y(x = y) x A(x, x)

9.7.3.x y x = y& x(A(x)&¬B(x))& x ¬A(x) x B(x)

9.7.4.x A(x) x ¬A(x) x y(x = y)

9.7.5.x y z(x = z y = z)& x(B(x)&A(x))& x(B(x)&¬A(x))

x B(x)

9.7.6. x y(x = f(y)) & x y z(x = y x = z y = z)x f(f(x)) = x

9.7.7.x y(x = f(y))& x f(f(x)) = x

x y z(x = y x = z y = z)

9.7.8.x f(f(x)) = x x y(x = f(y))

9.7.9.x y(A(x)&A(y) x = y)&¬(a = b) x ¬A(x)

9.7.10.x y(¬x = y A(x) A(y))& x(B(x)&A(x))& x(C(x)

¬A(x))& x(C(x) B(x)) x B(x)

В жизни рассуждения обычно представляют не полностью опус кая очевидные из контекста аксиомы либо факты использован, - ныев них Такие рассужденияназываются энтимемы, Проанали- зировать и. пополнить следующие энтимемы Корректность. попол- нения установить при помощи семантических. таблиц. -

244

ГЛАВА 9. КЛАССИЧЕСКИЕ СТ

9.7.11.Лисы умнее кур. Значит, ни одна курица не умнее лисицы.

9.7.12.Все тутси выше пигмеев. Значит, ни один пигмей не тутси.

Ябоюсь зубных врачей Я не желаю быть в одной компании с 9.7.13тем. , кого боюсь. Значит, я.не хочу быть в одной компании с вами.

9.7.14. Народы, у которых некоторые национальные герои злодеи,

воинственны. Народы, у которых некоторые национальные герои

ученые, образованы. Аттила и фон Нейман

национальные ге-

рои Венгрии. Значит, венгры воинственны, но образованы. Сделать выводы из посылок. Проверить их на таблицах.

Все курицы любят клевать пшено Не все кошки жирные Те кто 9.7.15ест. пшено, жиреет. Жирные не могут. петь по ночам . . . . ,

Все козлята прыгают Только здоровые молодые животные пры 9.7.16гают. Некоторые поросята. не прыгают На свете не более одного-

молодого. существа, не являющегося козленком. . . .

9.7.17. Все павлины гордятся своим хвостом. Если кто-то гордится чем-

то, не представляющим ценности, то он не может сделать ничего

путного. Этот мост сделан павлинами. Все мосты в данной мест-

ности, кроме одного,—

хорошего качества. . .

Те кто любит учиться не нуждаются в поощрениях Для тех 9.7.18кто. не, любит учиться поощрение, бесполезно Следовательно. , , . . . . 9

9.7.19. Армия школа жизни. Если жизнь бестолковая, то такова же и

школа. Российская жизнь в данную пору

бестолковая. Только

толковая армия может выиграть войну. Значит,. . .

9.7.20. Чтобы проиграть войну, нужно проиграть хотя бы одно сраже-

 

ние. Наполеон в кампании 1812 г. выиграл все сражения. Эту кам-

 

панию он вел с Россией. Значит, . . . 10

 

 

вывод явно софистичен. В чем обман?

9

Сделанный

10

Приведенные здесь исторические факты верны. Какая же посылка оказывается со-

мнительной?

9.8. ТЕОРЕМА ПОЛНОТЫ

245

Суворов во время итальянского похода выиграл все битвы и рас 9.7.21строил. все планы противника Если нет предательства то расстро- ить планы противника достаточно. для того чтобы выигрыш, бит- вы гарантировал победу в войне Суворов проиграл, Итальянскую-

кампанию. Значит,. . . .

Н Маккьявелли 11 Чтобы добиться успеха политику необхо 9.7.22димо. ( . выглядеть добродетельным) Кроме добродетельных, и амо- ральных никто не может выглядеть. добродетельным Если бы до- бивались, успеха лишь аморальные политики то никто. не был бы-

добродетельным. Некоторые люди добродетельны, .. . .

§ 9.8. ТЕОРЕМА ПОЛНОТЫ

Теорему полноты есть смысл доказывать не только для логики преди катов но и для любой теории базирующейся на классической логи- ке воспользовавшись, сделанным, в предыдущем параграфе обобщени- ем, семантических таблиц Нам необходимо установить что для каждой- теоремы теории найдется. замкнутая семантическая, таблица Но здесь нужноA было быTh установить общий метод доказательства любой.

теоремы а такового не существует как будет доказано в разделе по священном, теории алгоритмов Поэтому, придется действовать от ,про- тивного доказать что незамкнутая. семантическая таблица удовлетво- ряющая:некоторым, критериям полноты, дает опровергающую, модель-

11 Николо Маккьявелли флорентийский общественный деятель и писатель Он про славился своими книгамиГосударь и Республика в которых безжалостно. показы- вал реальную совершенно«аморальную» «и бесчестную»,политику Например один из его- принципов гласит, что пришедшему к власти в результате переворота. правителю, нужно опираться не на тех, кто поддержал его из идеи а на тех кто примкнул к нему ради вы годы поскольку первые, потребуют выполнения, данных,им обещаний Поскольку такой- показ, воспринимался как оправдание существующих гадостей Маккьявелли. сам заслу жил репутацию бесчестного человека а неприличное поведение, политиков до сих пор- называют макиавеллизм Сам Маккьявелли, в жизни был приличным человеком но его вина в том что он ставил’. личность ниже государства что явилось корнем неисчи, слимых бед в истории, , -

Правда стремление.поставить личность выше государства приводило к не меньшим бедам и уж, во всяком случае к уничтожению народа либо цивилизации пошедших по такому, пути. Так что и здесь единственным выходом остается баланс. ,

246 ГЛАВА 9. КЛАССИЧЕСКИЕ СТ

для A, т.е. модель Th, в которой ложно A. Далее установим, что нача-

тую семантическую таблицу можно продолжить до полной. По контра-

позиции отсюда следует, что полная семантическая таблица для любой

теоремы закроется. Реализация изложенной схемы доказательства тре-

бует введения ряда важных вспомогательных понятий: полная таблица,

незавершенная таблица. . .

 

 

 

дерево,

Определение 9.8.1. Незавершенная семантическая таблица

каждой вершине которого сопоставлена секвенция,

и секвенция в ка-

ждой вершине, не являющейся листом, получается из непосредственно

следующих за ней по одному из правил вывода исчисления секвенций.

Таким образом, в незавершенной таблице снимаются требования ко-

нечности путей и того, что листьями могут быть лишь аксиомы. Содер-

жательно говоря, незавершенная таблица является результатом несколь-

ких разбиений, проделанных над интересующей нас формулой. Неза-

вершенная таблица является одним из простейших примеров важного

и для теории, и для приложений семейства понятий

незавершенных

выводов.

 

 

 

 

Пример 9.8.1. Незавершенная таблица.

 

 

 

` A, ` B, a A&B

 

 

 

 

 

 

(9.17)

` A, a (B A&B)

 

 

 

 

 

 

a A (B A&B)

 

 

 

Определение 9.8.2. Шаг разбиения

добавление правила π и вершин

над листом $ незавершенной таблицы, не являющимся аксиомой, таким

образом, чтобы $ был получен по правилу π из добавленных вершин.

Формула A пройдена в секвенции

, если она присутствует либо в

самой , либо в какой-нибудь секвенции на пути из корня незавершен-

ной семантической таблицы в . Шаг разбиения избыточен,

если хотя

бы в одной из добавленных секвенций все непосредственные резуль-

таты разбиения пройдены в . Секвенция финальна,

если она аксиома

либо каждый шаг разбиения, применимый к ней, избыточен. Путь ω не-

заперт, если он бесконечен либо заканчивается в финальной секвенции,

не являющейся аксиомой.

 

 

 

 

Семантическая таблица полна, если все листья являются финальны-

ми секвенциями, и для любого незапертого пути ω

в ней выполнены

следующие три (для таблиц в теории

четыре) условия:

 

9.8. ТЕОРЕМА ПОЛНОТЫ

247

1. Если формула является конъюнкцией, импликацией, дизъюнкци-

 

ей либо отрицанием, то в некоторой секвенции на пути встретятся

 

все непосредственные результаты ее разбиения из одного из аргу-

 

ментов соответствующего правила.

 

2.

Для любой встречающейся в некоторой секвенции пути ω форму-

 

лы вида =| x A(x) (|= x A(x)) на ω

встретится формула вида

 

=| A(ci) (|= A(ci)).

 

3.

Для любой константы ci, входящей в некоторую формулу на ω,

 

и для любой встречающейся в некоторой секвенции ω формулы

 

вида |= xA(x) ( =| xA(x)) на ω встретится формула |= A(ci)

 

( =| A(ci)).

 

4. (Для таблиц в теории Th) На ω встречается |= A для любой A

 

Th.

 

Лемма 9.8.1 (О построении контрпримера). В полной таблице по лю-

бому незапертому пути из корня можно построить интерпретацию, в

которой истинны все встречающиеся на нем секвенции.

Доказательство. Доказательство леммы разбивается на две части: по-

строение контрпримера и его верификация12.

универса контрмодели M

Построение контрпримера. В качестве

возьмем множество всех констант, встречающихся в секвенциях пути

ω. Каждая константа означает саму себя. ζ(P (c1, . . . , cn)) есть , если

=| P (c1, . . . , cn) встречается в какой-то секвенции на ω; >, если встре-

чается |= P (c1, . . . , cn). В остальных случаях оно определяется произ-

вольным образом.

 

Верификация построения. То, что все секвенции пути ω истинны,

означает, что все встречающиеся в них формулы удовлетворяют своим

спецификациям. Это утверждение доказывается индукцией по постро-

ению формулы.

 

Прежде всего элементарная формула, встретившаяся в некоторой се-

квенции i на пути ω, будет присутствовать и во всех последующих се-

квенциях, поскольку ни одно правило не может ее разбить. Поэтому на

12 В современном теоретическом программировании под верификацией понимается до казательство соответствия конструкции спецификациям заданным при ее построении- здесь это означает истинность всех секвенций. , ;

248 ГЛАВА 9. КЛАССИЧЕСКИЕ СТ

незамкнутом пути не встретится противоречащих друг другу элемен тарных формул и модель определена корректно Далее по постро- ению все элементарные, формулыM удовлетворяют своей. спецификации, - Базис индукции установлен .

Шаг индукции Пусть соответствие. спецификации доказано для всех формул с числом логических. связок меньше Пусть имеет логи ческих связок Разберем случаи соответствующиеn. построениюA nи спе- цификации A.. , -

Если рассматриваемая формула есть то по определе нию полноты на пути найдется либо |= (Bлибо C), По предполо- жению индукции, эти формулыω удовлетворяют|= C, своим=| Bспецификациям. - В каждом из этих,случаев истинно Если она есть . то по полноте на пути встретятся(Bи C).и Поскольку=| (Bони удоC), влетворяют своим спецификациямω |= B, ложно=| C. -

, (B C) .

Если формула имеет вид то по условию полноты табли цы на пути встретится =| xдляA(xкакого), то Значит лож-

но. ω =| A(ci) - ci. , x A(x) -

Если формула есть то по полноте на встретится для любой константы|= x Aпринадлежащей(x), универсуω контрмодели|=

A(cПоi) предположению индукцииci, любая из удовлетворяет сво ейM.спецификации и значит истинна, Но тогда=| Aпо(ciопределению) истин- ности истинно и , x A(x). , . -

Остальные связки разбираются аналогично.

Осталось убедиться что полную таблицу всегда можно построить Для этой цели сформулируем, стратегию корректного разбиения формул. приводящую к такой таблице Стратегия не будет определять однознач, но какая формула должна быть. разбита в данный момент Она лишь- ограничивает, допустимые разбиения. .

Занумеруем все константы из сигнатуры теории нечетными нату ральными числами Все вспомогательные константы занумеруем чет- ными Занумеруем все. аксиомы теории Введем дополнительные специ- фикации. для аксиом теории и многократно. используемых МИ формул- вида и Аксиома может быть разрешена( ) или за держана|= xКаждойA(x) МИ=| формулеx A(x). сопоставим множество констант по- которым.она уже разбивалась- кроме того она может бытьα временно, за прещена Формула временно;запрещается, когда происходит ее разби- ение Корректное. разбиение МИ формулы, может производиться лишь- по константе. ci α, при этом ci- добавляется к α. Корректное разбие-

9.8. ТЕОРЕМА ПОЛНОТЫ

249

ние не может производиться по временно запрещенной или задержан ной формуле Секвенция условно финальна если в ней не может быть- произведено .ни одного неизбыточного корректного, разбиения

Стратегия корректного разбиения Вначале задерживаем. все ак сиомы кроме первой и не запрещаем ни одной. МИ формулы Пока фор- мула не, является условно, финальной производятся- лишь корректные. - разбиения причем разбиение МИ формулы, производится по константе имеющей, минимальный номер- среди всех таких констант встреча ющихсяci, в незадержанных формулах секвенции Когда секвенция, оказа- лась условно финальной разрешаем первую из. задержанных аксиом и-

снимаем все временные запрещения, .

Лемма В незавершенной семантической таблице для теории в любой секвенции9.8.2. число формул не являющихся результатами разбиения аксиом, конечно. ,

Доказательство В корне дерева такая формула всего одна Каждый шаг разбиения увеличивает. их количество не более чем на 1. .

Лемма лемма о корректных разбиениях Любая последова тельность9.8.корректных3. ( разбиений над секвенцией )содержащей конеч- ное число разрешенных аксиом за конечное число, шагов приводит к- условно финальной. ,

Доказательство Определим ранг секвенции как количество логиче ских связок в формулах. не являющихся задержанными либо временно- запрещенными В условиях, леммы ранг конечен поскольку число таких формул конечно. . При каждом разбиении ранг уменьшается, на 1.

Следствие На любом бесконечном пути в таблице построенной согласно стратегии. корректных разбиений имеется бесконечно, много условно финальных секвенций ,

Докажем теперь что для каждой. МИ формулы встретившейся в секвенции на незамкнутом, пути на этом- пути встречаютсяA, резуль таты ее разбиения по каждой константеω, встречающейся на Если-

завершается финальной секвенцией тоciлюбое, разбиение избыточω.

ноω и соответственно любое разбиение, по любой константе Aпройдено- в финальной, секвенции, Если же путь бесконечен то в промежуткеci

между той и ой. условно финальнымиω секвенциями, встретив шимисяi-на ω после(i + 1)появления- A и ci, A будет разбито по ci. , -

250 ГЛАВА 9. КЛАССИЧЕСКИЕ СТ

Для любой обычной формулы результаты ее разбиения встретятся на до следующей условно финальной секвенции после того как она появиласьω либо стала разрешена если формула является аксиомой,

Итак любая таблица построенная( в соответствии со стратегией)кор. ректных,разбиений, полна, . -

Таким образом если полная таблица не является выводом в исчисле нии секвенций то ,она дает модель в которой все аксиомы истинны- а проверяемая ,формула ложна Комбинируя, доказанное утверждениеTh , с теоремой корректностиA, получаем.

Теорема Теорема полноты классической логики тогда и только 9тогда.2. ( когда существует вывод секвенции ) Th ` A

, |= Th {=| A}.

Таким образом синтаксическая доказуемость при помощи семан тических таблиц совпадает, с семантическим отношением логическо- го следования Теорема полноты в формулировке связанной с другой- формализацией. логики была первым( фундаментальным, результатом ма тематической логики доказанным) в г великим логиком современ - ности К Г делем , 13 Теорема1930полноты. влечет несколько важ-

ных следствий. e¨ . (K. Godel)¨ . -

Определение синтаксически непротиворечива если не замы кается семантическая9.8.3. Thтаблица ни для какой формулы вида, A&¬A. -

Следствие Теорема существования модели Если синтакси чески непротиворечива1 ( то она имеет модель ) Th - Незапертый путь в ,полной таблице для . дает

искомую модель |= Th {=| A&¬A}

Следствие . Теорема компактности Если то найдется конечная подтеория2 ( такая что ) Th ` A,

В самом деле найдетсяTh0 замкнутаяTh, , семантическаяTh0 ` A. таблица для Но она конечна, и следовательно, , использует лишь конечное число аксиомA.

Th. Следствие Теорема компактности форма Если любая конеч ная подтеория 3 ( непротиворечива то ,непротиворечива2) -

Th , Th .

13 На самом деле теорему полноты (в форме теоремы существования модели) предвос-

хитил, но не сумел понятно сформулировать и доказать Лёвенгейм (L. Lowenheim)¨

еще

в г Его работа осталась незамеченной и была заново открыта лишь после доказа тельства1915 . Гёделя. -