Непейвода. Прикладная логика

Заметим что эти правила точно так же могут использоваться и нао борот для, вноса кванторов внутрь формулы Поэтому появляются две- стандартные, формы в классической логике предваренная. где кванторы вынесены наружу и водворенная где они внесены: внутрь, Рассмотрим пример. , , .

x( y( z B(z) u D(u, y)) v( w E(v, w) & q H(x, q))). (11.5)

Предваренной формой этой формулы будет, в частности,

x y z u v w q((B(z) D(u, y)) (E(v, w) & H(x, q))),

а также скажем при другом порядке выноса независимых друг от (11друга.6) кванторов, ), (

x v q w y u z((B(z) D(u, y)) (E(v, w) & H(x, q))).

Водворенной формой будет, в частности, (11.7)

7 Как часто было в логике, история данного открытия явилась несколько трагичной.

324 ГЛАВА 11. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ВЫВОД

Такое преобразование называется сколемизацией а сами функции сколемовскими функциями 8 Теперь возьмем константу, если у нас— вообще не было нульместных. функций и построим универсc0, из термов образующихся применением сколемовских, функций к имеющимся у нас, константам Этот универс ввел в рассмотрение Эрбран и поэтому его называют эрбрановским. универсом. ,

является противоречием в исчислении высказываний.

Доказательство Строим семантическую таблицу для формулы Движением по дереву. секвенций от корня к листьям сопоставим каждой|=(11.9). встретившейся в ней вспомогательной константе терм эрбрановского

Эрбран блестяще защитил диссертацию одним из главных результатов которой явля лась данная теорема Но данное им доказательство, было длинным и непонятным Уже в- х гг появились другие. доказательства а в начале х в диссертации Эрбрана. была найдена50- . ошибка Заметим что саму теорему, никто под60- сомнение не брал но пользо ваться ею стали .лишь после, появления понятных доказательств А Эрбран, вскоре по- сле защиты диссертации трагически погиб и не успел изведать позора. либо поправить-

ошибку сам. . .

8 Поскольку впервые такие функции для замены кванторов стал систематически ис пользовать Т. Сколем. -

При инверсной сколемизации точно так же появляется эрбрановский универс и имеет место следующая

является тавтологией в исчислении высказываний.

Доказательство данной теоремы аналогично предыдущей Именно вторая форма теоремы Эрбрана была использована создателем. метода резолюций Дж Робинсон для разработки машинного алгоритма

Но предварительно. был проделан еще один шаг в приведении. фор мул к стандартному виду. В исчислении высказываний еще с XIX века-

326 ГЛАВА 11. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ВЫВОД

и определятся индуктивно так же как в определении подстановки для выражений. , ,

1.xσ = t, если (x, t) σ.

2.xσ = x, если нет пары (x, t) σ.

3.cσ = c, c — константа.

4.f(t1, . . . , tn)σ = f(t1σ, . . . , tnσ).

9 Можно было бы сказать что подстановка частичная функция из переменных в термы но мы уже сталкивались, и еще столкнемся— с коварством различных смыслов таких понятий, . Поэтому сформулируем чуть длиннее и скучнее. но однозначно.

Композиция подстановок σ, $ определяется следующим образом:

σ$ = {(x, $t) | (x, t) σ}.

читается накрывает Если каждая из двух подстановокσ ≥ ϑ $накрываетсяϑ = σ$ ( другой: σто они эквивалентныϑ). Подстановка унифицирует последовательности, термов и . если

дляσ всех i t σ = r σ. t1, . . . , tn r1, . . . , rn,

Легко доказатьi i что отношение эквивалентности подстановок дей ствительно является, эквивалентностью и что отношение накрытия - предпорядок, согласованный с нею. , —

Теорема Теорема об унификации Для каждых двух унифициру емых последовательностей11.5. ( термов существует) унифицирующая под- становка, накрывающая любую другую такую подстановку. -

Доказательство Проведем построение которое за конечное число ша гов даст такую подстановку. либо выяснит, что ее нет -

Шаг Вначале положимσподстановку пустым, множеством.

Шаг Ищем0. в последовательностях пару термов каждый из которых. начинается1. с функционального символа Если соответствующие, функ циональные символы различны то две последовательности. неунифици- руемы если же они совпадают заменяем, члены и - на последовательности, , и соответственноf(s1, . . . , sk) g(q1, . . . , qk)

После этого шага воsвсех1, . . .парах, sk соответствующихq1, . . . , qk, друг другу. термов хотя бы один член является переменной либо константой Шаг Удаляем из последовательностей все одинаковые. члены нахо

дящиеся2. на одинаковых местах Если после этого хотя бы в одном, ме- сте встретятся две соответствующие. друг другу различные константы- унификация невозможна ( ) , Теперь в каждой из пар. термов хотя бы один является переменной

Шаг Если первой парой является пара то если содержит . заключаем3. что унификация невозможна а(еслиx, t), не содержитt то доx, бавляем к , пару выбрасываем первые, членыt из двух последоваx, - тельностейσи заменяем(x, t), остальные на Если после этого по- явились пары оба компонента которыхr rне{(x,являютсяt)}. переменными то- возвращаемся, к шагу Симметрично действуем в случае когда пере, менной является второй1. компонент пары , - Шаг Если длина обеих последовательностей. дошла до унифициру ющая4.подстановка найдена. 0, -

328 ГЛАВА 11. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ВЫВОД

знахарь Решение. этих же авторов Переведем посылки и заключения на

формальный язык( : .)

F1 x(P (x) & y(D(y) L(x, y))),

F2 x(P (x) y(Q(y) ¬ L(x, y))),

G x(D(x) ¬ Q(x)).

Поскольку проверяемое утверждение имеет вид F1 & F2 G, после

отрицания оно переходит в При приведении к предва ренной форме ни один кванторF1 &неF2попадает& ¬ G. после так что ни одной-

,

Методом резолюций получается следующий вывод пустого дизъюнкта:

Конец решения.

Упражнения к § 11.7

11.7.1. Найдите ошибку в решении примера 11.7.1.10

ОКОЛЬНЫЕ ПУТИ КАК СРЕДСТВО § 11.8. СОКРАЩЕНИЯ ВЫВОДА

Мы рассмотрим теперь вопрос о недостатках метода резолюций кото рые он обладая огромными достоинствами обязан иметь Одним,из не- достатков, является необходимость предварительного, приведения. фор- мул к стандартной форме после чего содержательный смысл порою те- ряется а длина формул может, резко возрасти Он неразрывно связан- с другим, неустранимым недостатком Именно. из за этого недостатка глубоко спрятанного, и в методе резолюций. и в методе- семантических, таблиц математическое доказательство оказалось, ближе всего по струк туре к естественному, выводу -

Покажем что естественный. вывод может быть невообразимо короче резолюционного, Мы базируемся здесь на примере петербургского ло гика В.П. Оревкова. , приведенном, в частности, в дополнении к переводу-

10 Для нахождения этой ошибки не обязательно разбираться в методе резолюций.

330 ГЛАВА 11. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ВЫВОД

Для этого достаточно определить всего лишь y при помощи предика та истинного когда y “ А наши” x можно было бы затем- определитьP (x, y, z)при, помощи, последовательностиx = z. кванторовan существования

Умножением и сложением натуральных чисел здесь не воспользуешь ся поскольку описывающие их формулы дадут соответствующие ско- лемовские, функции но можно пройти окольным путем Воспользуемся- тем, что функция , .

Для того чтобы определить формулу выражающую существование введем сокращения: , an,