Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Непейвода. Прикладная логика

.PDF
Скачиваний:
566
Добавлен:
10.08.2013
Размер:
2.27 Mб
Скачать

16.4. ПЕРВЫЕ МОДЕЛИ

441

16.3.4.(A B) & (A C) A (B & C).

16.3.5.A ¬ ¬ A.

16.3.6.¬ A B (A B).

16.3.7.(A B) ¬ A B.

§ 16.4. ПЕРВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИНТУИЦИОНИСТ-

СКОЙ ЛОГИКИ

 

 

Первой математической моделью интуиционистской логики был ее пе-

ревод на алгебраический язык. Поскольку свойство замены эквивалент-

ных сохраняется, остается без изменения и определение алгебры Лин-

денбаума-Тарского на стр. 206. Она теперь уже не обязательно будет

булевой алгеброй, и приходится устанавливать ее характеристические

свойства.

 

 

Прежде всего, поскольку отношение ` A B транзитивно, рефлек-

сивно и почти антисимметрично, оно является отношением частично-

го порядка на элементах алгебры Линденбаума-Тарского. Далее, & и

являются нижней и верхней гранью двух элементов согласно данному

отношению. Для обоснования этого достаточно доказать (для &, для

аналогично):

 

 

A & B A,

A & B B,

(16.14)

(C A) & (C B) (C A & B).

 

Таким образом, алгебра Линденбаума-Тарского интуиционистской те-

ории является решеткой. Более того, данная решетка дистрибутивна,

поскольку выполнены законы дистрибутивности. Но в данной решетке

есть и операция импликации, которую теперь необходимо охарактери-

зовать в терминах частично-упорядоченных множеств.

 

Рассмотрим характеристическое свойство импликации. Если A и A

B, то B. Для корректности вывода при оценках формул элементами ча-

стично-упорядоченного множества необходимо, чтобы ни один шаг вы-

вода не понижал оценки формул. Поэтому приходим к характеристиче-

скому свойству импликации.

 

a ∩ (a b) 4 b.

(16.15)

442 ГЛАВА 16. ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА

А для того, чтобы обеспечить (хотя бы косвенно) свойства, связанные

с правилом дедукции, нужно, чтобы импликация была максимальным

элементом, для которого выполнено такое свойство. И тогда a 4 b

(a b) = 1.

 

Теперь рассмотрим частный случай, когда b = 0. В этом случае

импликация a 0 несовместима с a: a ∩ (a 0) = 0, и, более то-

го, является максимальным из элементов, несовместимых с a. Поэтому

a 0

естественно называть псевдодополнением a, и по аналогии в ал-

гебре

(a b)называют относительным псевдодополнением a относи-

тельно b.

 

Определение 16.4.1. Дистрибутивная решетка с относительными псев-

додополнениями называется гейтинговой или псевдобулевой алгеброй.

ем По аналогии с булевозначными моделями классических теори й, име-

Предложение 16.4.1. Каждая интуиционистская теория имеет точ-

ную гейтинговозначную модель.

Доказательство. Такой моделью является алгебра Линденбаума-Тар-

ского рассматриваемой теории.

Первоначально понятие псевдобулевых алгебр могло показаться спе-

циально придуманным для интуиционистской логики и поэтому не очень

интересным. Но уже в 30-х гг. Тарский и Куратовский показали, что

решетки открытых множеств топологического пространства являются

псевдобулевыми алгебрами и поэтому в качестве логических значений

формул интуиционистской логики можно брать открытые множества

некоторого пространства (например, отрезка действительных чисел [0, 1]).

Формула считается истинной, если ее значением является все простран-

ство, ложной

если ее значение есть .

Значением

¬ A нельзя брать дополнение значения A, поскольку до-

полнение открытого множества замкнуто, и, соотвесттвенно, почти ни-

когда не является открытым. Но можно взять внутренность дополнения

¯

 

 

A: Int A. Одна из эквивалентных формулировок определения внутрен-

ности множества

наибольшее открытое подмножество, в нем содер-

жащееся, что в точности соответствует псевдодополнению.

Соотвественно, значение импликации определяется «почти» как в

 

 

¯

булевой алгебре: (A B) = Int(B∩A). Еще одно место, где приходится

брать внутренность

значение всеобщности, поскольку пересечение

бесконечного семейства открытых множеств не всегда открыто.

16.5. МОДЕЛИ КРИПКЕ

443

Упражнения к § 16.4

Покажите что в определении псевдобулевой алгебры дистрибу 16.4.1тивность. выводится, из существования и единственности относи- тельного псевдодополнения. - Постройте топологическую модель на которой опровергаются

16.4.2.следующие формулы: ,

 

1.

A ¬ A;

 

 

2.

¬ ¬ A A;

 

 

3.

¬ ¬ A ¬ A;

 

 

4.

¬ ¬ A (¬ ¬ A A).

 

Наглядней данные модели получатся, если в качестве простран-

ства взять единичный круг, а не отрезок.

 

§ 16.5.

МОДЕЛИ КРИПКЕ

 

Следующий класс моделей интуиционистской логики связан с давней

проблемой, наиболее остро прозвучавшей в знаменитом вопросе Авер-

роэса. Если даже Бог может подчиняться законам логики, значит, она

описывает не только наш мир, но и другие возможные миры. Поэтому

возникает идея рассмотреть модели, основанные на множестве миров.

Еще Брауэр заметил, что содержательно интуиционистская логика

предполагает накопление знаний, а не их видоизменение, и это замеча-

ние было положено в основу моделей возможных миров, обычно назы-

ваемых моделями Крипке.22

алгебраи-

Определение 16.5.1. Модель Крипке K для сигнатуры σ

ческая система некоторой одноосновной сигнатуры называемой сиг натурой отношений на мирах элементами универса$, которой ча- сто обозначаемого WK или просто, W ) служат алгебраические системыUK ( -

22 История создания данного понятия как всегда более сложная Этот класс моде лей неявно содержался еще в алгебраических, моделях, см замечание. ниже Явно он- был использован П Дж Коэном для доказательства независимости( . аксиомы).выбора и континуум гипотезы. от.стандартной теории множеств С Крипке первым показал при менимость-данной конструкции к широкому классу логик. . и ее гибкость. -

444 ГЛАВА 16. ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА

сигнатуры σ. Элементы универса назыываются (возможными) мирами.

Универс мира p W

обозначается Up.

 

 

Для случая интуиционистской логики рассматривается конкретный

вид моделей Крипке

интуиционистские модели Крипке. Сигнатура

отношений $ состоит из одного двуместного отношения 4. Оно явля-

ется отношением частичного порядка.

Миры согласованы с данным от-

ношением следующим образом.

 

 

 

1.

p 4 q Up Uq,

 

 

 

 

2.

p 4 q & Up

|= P (a1, . . . , an) Uq |= P (a1, . . . , an).

Таким образом, при подъеме по мирам универсы могу лишь расширять-

ся, и истинность элементарных формул не может перети в ложность.

Вспоминая определение из гл. 1, получаем, что при p 4 q q является

надструктурой p.

 

 

 

 

 

 

Истинность в модели Крипке интуиционистской логики определя-

ется следующим образом.

 

 

Определение 16.5.2.

Индуктивно определяем отношение p |= A, где p

мир, A

формула.

 

 

 

 

1. p = P (a1, . . . , an) означает истинность P (a1, . . . , an) в классиче-

 

 

|

 

 

 

 

 

23

.

 

 

ской алгебраической системе p

 

 

2.

p |= A & B

означает, что p |= A и p |= B.

 

3.

p |= A B

означает, что p |= A или p |= B.

 

4.

p |= A B означает, что для всех миров q, таких, что p 4 q, если

 

 

q |= A, то q |= B.

что для всех миров q, таких, что p 4 q, неверно,

 

5.

p |= ¬ A означает,

 

 

что q |= A.

 

 

 

 

 

 

6.

p |= x A(x) означает, что найдется такое a Up, что p |= A(a).

 

истинность элементарных формул в алгебраической системе задается не-

23 Поскольку

посредственно интерпретацией предикатов можно было в данном случае обойтись без представления мира как алгебраической системы, задав его просто как множество зна чений истинности элементарных формул Такое,представление намного удобнее для- пропозициональных формул поэтому мы. широко пользуемся им в примерах Но об щее определение не сложнее, зато намного гибче . -

, .

16.5. МОДЕЛИ КРИПКЕ

445

7. дляp |=всехx A(x) означает, что для всех миров q, таких, что p 4 q, и a Uq q |= A(a).

Пример 16.5.1. Рассмотрим следующую модель Крипке.

· A

·

 

(16.16)

 

·

В ней не истинно поскольку в начальной точке у нас не из вестно ни то ни другоеA ¬нетA, но нельзя утверждать и поскольку- выше A может, появиться( .) A, ¬ A,

Пример Покажем что интуиционистская логика не задается ни какой конечной16.5.2. системой, истинностных значений В самом деле если- бы это было так то имелось бы не более логических. значений, фор мул и значит в ,любой интерпретации в любойn совокупности из - формулы, , две обязательно, были бы эквивалентны24 Значит была быn +то1 ждественно истинна формула . . -

(A1 A2) · · · (An An+1),

где через дизъюнкцию соединены все возможные попарные эквивалент ности разных формул Но следующая модель Крипке опровергает дан- ную дизъюнкцию поскольку. ни одна из эквивалентностей не истинна в- нижней точке. ,

· A1

· · ·

·An ·An+1

 

 

(16.17)

 

 

·

И наконец рассмотрим пример модели Крипке для логики преди катов, , -

.

24 Здесь мы принимаем естественную гипотезу что эквивалентность означает совпа дение истинностных значений. , -

446

ГЛАВА 16. ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА

Пример 16.5.3.

·· ·

·

 

{0, 1, 2}·

 

A(0), A(1)

(16.18)

 

 

 

 

 

{0, 1}

 

 

 

 

 

 

· A(0)

 

 

 

{0}

 

 

 

 

 

 

·

 

 

В данной модели в любом из миров есть такое n, что не истинно A(n)

¬ A(n). Значит ни в каком из миров не истинно x(A(x) ¬ A(x)). А

тогда, по определению истинности отрицания, в любой ее точке истинно

 

¬ x(A(x) ¬ A(x))

(16.19)

Итак, с интуиционистской логикой могут быть совместимы и фор-

мулы, противоречащие классической.

 

 

Упражнения к § 16.5

 

 

 

но не выполнено, что

16.5.1.

Постройте модель, в которой ¬ x A(x),

x A(x).

 

 

 

 

 

16.5.2.

Постройте модель, где опровергается (A B) (B A).

Может ли такая модель не иметь ветвлений?

 

§ 16.6.

СЕМАНТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ ДЛЯ ИНТУИЦИОНИСТ-

 

СКОЙ ЛОГИКИ

 

 

 

 

 

Как уже говорилось, конструкция семантических таблиц переносится

на неклассические логики. Здесь мы рассмотрим ее для интуиционист-

ской логики.

 

 

 

 

 

Правила разбиения остаются такими же, как и в классических табли-

цах, но добавляются новые спецификации и уточняется в соответствии

с ними понятие противоречия.

 

 

 

 

 

Определение 16.6.1. Интуиционистская спецификация фигура αΞ,

где Ξ

спецификация истинностного значения

|= или =|, а α

ин-

туиционистский префикс описывающий множество миров в которых должно иметь место данное, значение формулы. ,

16.6. ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ТАБЛИЦЫ

447

Интуиционистский префикс кортеж, членами которого являют-

ся натуральные числа и символы ?. Если префикс не содержит ?, то он

описывает единственный мир, именем которого служит данный кортеж.

Если префикс содержит

?, то он описывает все кортежи натуральных чи-

сел, образующиеся замещением символов ? произвольными кортежами

натуральных чисел25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Два префикса совместимы, если их множества миров пересекаются.

Исходная формула помечается как [] =| A.

 

Перепишем все правила классических семантических таблиц, ука-

зывая, как видоизменяются префиксы.

 

 

 

 

 

 

 

 

α |= A&B

 

 

 

 

 

α =| A&B

 

 

 

 

α |= A α |= B

 

 

 

α =| A | α =| B

 

 

 

 

α |= A B

 

 

 

 

α =| A B

 

 

 

α |= A | α |= B

 

 

 

 

α =| A α =| B

 

 

 

 

α |= A B

 

 

 

 

α =| A B

 

 

α =| A | α |= B

 

α [n] [?] |= A

α [n] =| B

(16.20)

 

 

 

α |= ¬A

 

 

 

 

α =| ¬A

 

 

 

 

 

α =| A

 

 

 

α [n] [?] |= A

 

 

 

 

α |= x A

 

 

 

 

α =| x A

 

 

 

 

 

α |= A(ci)

 

 

α [n] =| A(cn+1)

 

 

 

 

α |= x A

 

 

 

 

 

α =| x A

 

 

 

 

α |= A(cn+1)

 

 

 

 

α =| A(ci)

 

Индексы видоизменяются лишь в правилах

=| , =| ¬, =| . Появивши-

еся в них формулы будут отвергаться либо утверждаться не в мире в котором отвергалась исходная формула а в новом мире вида αне, посредственно следующем за ним в каждом, из таких правилα выбира[n], - ется новым Противоречием считается. n лишь такая пара формул -

в которой. и совместимы α |= A, β =|ЗаметимA, что формулаα β которая стала. истинной не может в дальней шем оказаться, ложной поскольку, все правила вводящие, помеща- ют звездочку в конец кортежа, . , |= A, -

25 В том числе и пустым кортежом так что кортеж образующийся выбрасыванием всех из некоторого префикса описывается, им ,

? Символы играют здесь, ту же роль что.и в шаблонах для задания строк либо имен файлов в программировании? поэтому,мы их использовали несмотря на некоторое не удобство (они лишь жирностью, отличаются от операции соединения, кортежей.) -

448 ГЛАВА 16. ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА

Пример 16.6.1. Рассмотрим семантическую таблицу для закона исключен-

ного третьего.

 

[] =| A ¬ A

(16.21)

[] =| A [] =| ¬ A

[1, ?] |= A

 

Противоречия нет, потому что A отвергается на более раннем уровне,

чем утверждается. Из данной таблицы получается следующая модель

Крипке:

 

 

 

[1]·

|= A

· A

 

 

 

(16.22)

[]·

=| A

 

 

·

Слева модель Крипке записана со всей информацией, которую можно

извлечь из семантической таблицы, а справа

так, как это принято де-

лать, оставив лишь минимальную информацию, полностью ее опреде-

ляющую26.

 

Заметим, что у нас получилась несколько другая модель, чем (16.21),

чуть проще, но чуть менее наглядная. Действительно, A нет сейчас, ¬ A,

правда, тоже нет, но никогда и не будет. Так что на самом деле в дан-

ной модели истинно ¬ ¬ A, но опровергается A,

и она более сильна, чем

нужно для опровержения A ¬ A.

 

Пример 16.6.2. Рассмотрим теперь следующую семантическую табли-

цу.

 

[] =| ¬ ¬ A A

 

[1, ?] |= ¬ ¬ A [1] =| A

(16.23)

[1, 2] =| ¬ A

 

[1, 2] |= A

 

Получившаяся модель отличается от (16.22) добавлением совершенно

26 Заметим что в моделях Крипке интуиционистской логики да зачастую и других логик не принято, выписывать отвергаемые в данной точке утверждения( поскольку формально) достаточно принять положение о том что все не истинное отвергается, Но семантическая таблица ставит отвержение лишь ,там где истинность данной формулы.

недопустима для опровержения цели Поэтому на самом, деле мы теряем часть инфор мации, особенно ценную для преобразования. моделей. -

16.6. ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ТАБЛИЦЫ

449

избыточного промежуточного мира:

 

· A

 

·

(16.24)

·

 

Конечно же полностью устранить избыточность построений поставля емых семантическими, таблицами очень трудно но данный конкретный, - случай диагностируется просто: , ,

Если на данном уровне отвергаемая формула требующая подъема на новый уровень единственна то новый, уровень можно не вводить. , ,

Строгое обоснование данного сокращающего правила следует ниже.

Рассмотрим теперь семантическую таблицу для достаточно слож ной формулы (формулы Крипке).27 -

[] =| ((((A B) A) A) B) B [?] |= (((A B) A) A) B

[] =| B

 

 

[?] =| ((A B) A) A)

 

[?] |= B

 

 

 

 

[?, 1, ?] |= (A B) A

 

 

 

 

 

(16.25)

 

 

[?, 1] =| A

 

 

 

 

 

[?, 1, ?] =| A B

 

[?, 1] |= A

 

 

 

 

 

 

[?, 1, ?, 2] =| B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[?, 1, ?, 2, ?] |= A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27 Замечание для профессионалов Данная формула была изобретена С Крипке для иллюстрации того что в интуиционистском. выводе и в интуиционистских. таблицах нужно в отличие от, классических иногда по два раза разбивать одну и ту же пропо зициональную, формулу У нас оказалось, достаточно одного раза из за механизма ото- ждествлений префиксов.. - -

450

ГЛАВА 16. ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА

И, наконец, построим таблицу для формулы логики предикатов.

[] =| ¬ ¬ x(A(x) ¬ A(x))

 

[?] |= ¬ x(A(x) ¬ A(x))

 

[?] =| x(A(x) ¬ A(x))

 

[?, 1] =| A(c0) ¬ A(c0)

(16.26)

[?, 1] =| A(c0)

[?, 1] =| ¬ A(c0))

 

[?, 1, 2, ?] |= A(c0)

 

[?, 1, 2] =| A(c1) ¬ A(c1)

 

· · ·

 

Таким образом, в интуиционистской логике правило =| тоже может

оказаться многократно применяемым. Если префикс данного правила

содержит ?, то в каждом совместимом с данным префиксом мире долж-

на порождаться новая константа, если только применение правила не

стало избыточным.

 

Упражнения к § 16.6

 

16.6.1.

Разработайте быстрый алгоритм для проверки совместимость

префиксов.

 

16.6.2. (A B C) (A B) (A C).

16.6.3. ¬ ¬(A ¬ A).

 

16.6.4. ¬(A & B) ¬ A ¬ B.

 

16.6.5. ¬ ¬ x(A(x) ¬ A(x))

 

§ 16.7.

ПОЛНОТА СЕМАНТИЧЕСКИХ ТАБЛИЦ

Как было замечено при доказательстве теоремы полноты классической

логики, полнота и корректность

первое, что необходимо доказывать

для нового формализма.

 

Те достаточно общие способы доказательства которые были при менены для классической логики также переносятся, на доказательство- полноты многих систем семантических, таблиц для неклассических ло гик Интуиционистская логика показательна здесь типичностью приме- няемых. для нее модификаций, поэтому доказательство придется вновь-