Непейвода. Прикладная логика

§ 17.1.

ОБЩАЯ ИДЕЯ

Еще Аристотель, создавая логику, рассматривал тот ее фрагмент, кото-

рый позже лег в основу классической логики, как частный случай. Он

осознавал, что понятие истинности слишком часто привязано к случай-

ным обстоятельствам, в которых мы оказались.

Поэтому статус истин-

ных предложений

2 × 2

= 4

(17.1)

Аристотель родился в Стагире

(17.2)

совершенно разный. Первое из них необходимо, оно не зависит от на-

шего конкретного мира, а второе просто (или даже случайно) истинно

именно в нашем конкретном мире. А вот предложение

Аристотель родился в Афинах

(17.3)

17.1. ОБЩАЯ ИДЕЯ

463

миров.Возможное — то, что истинно в одном из миров.

(17.4)

Необходимое —

случайном мире, но и во всех возможных мирах.

(17.5)

На самом деле это же истолкование нужно и для других модальностей.

Например, рассмотрим предложение

Завтра будет морское сражение,

(17.6)

Это предложение сам Аристотель приводил в качестве примера выска-

зывания, к которому не применим сильный закон исключенного третье-

го. Оно относится к миру, который будет завтра, а не к нынешнему его

состоянию. Поэтому и в логиках, изучающих временные соотношения,

модель возможных миров хорошо себя показала. Но здесь каждый мир

модели —

фиксированное состояние одного и того же Мира.2

А теперь рассмотрим еще один класс модальных высказываний, ко-

торый начал изучать также Аристотель —

ассерторические модально-

сти. Пусть некто говорит:

Я знаю, что A.

(17.7)

Чтобы проанализировать и проинтерпретировать данное квазивысказы-

вание, нам необходимо перейти из нашего мира в мир внутренних пред-

ставлений и знаний говорящего. Таким образом, и здесь возникает се-

мантика возможных миров.

И, наконец, даже в описании логик программ естественна та же кон-

струкция, поскольку каждый оператор программы изменяет ее область

памяти,

и, так сказать, переносит нас из одной модели в другую с той

17.2. МОДАЛЬНЫЕ ЛОГИКИ И ИХ МОДЕЛИ КРИПКЕ

Итак, в случае модальных логик семантическая таблица часто по-

могает найти словия на отношение достижимости, при котором данная

формула будет истинна.

Заметим полную аналогию между правилами раскрытия модально-

стей и правилами раскрытия кванторов в обычной семантической та-

блице. Необходимость ведет себя как всеобщность, а возможность —

как существование (это видно и из определения их семантики).

Абсолютная модальная логика (без ограничений на отношение до-

стижимост) практически никогда не рассматривается, поскольку она не-

интересна. Обычно рассматриваются логики, в которых на структуру

миров наложены некоторое естественные ограничения. В частности, в

логике S5 предполагается, что отношение достижимости является от-

ношением эквивалентности, а в логике S4 —

что оно рефлексивно и

§ 18.1. ТРИ СТОРОНЫ КЛАССИЧЕСКОГО ОТРИЦАНИЯ И ЧЕ-

ТВЕРТАЯ — СОДЕРЖАТЕЛЬНОГО

Отрицание — та связка, которая доставляла наибольшие неприятности

в неклассических логиках. Дело в том, что в классическом отрицании

соединены три стороны, гармонически сочетающиеся в классической

логике, но сразу расходящиеся при отступлении от нее.

Первая сторона отрицания состоит в алгоритме формулировки от-

рицаний (§4.6.) Такой способ отрицания назовем прямым отрицанием.

В самом деле, эти правила настолько просты и естественны, что в инту-

иционистской логике жаль их исчезновения. Сформулируем эти прави-

ла в виде законов, обобщающих законы де Моргана. Соответствующий

вариант отрицания естественно обозначать −.

−(A & B) = −A −B

−(A B) = −A & −B

(18.1)

− −A = A

−(A B) = A & −B

(18.2)

− x A = x −A

− x A = x −A

(18.3)

Сохранение этих правил является одним из критериев того, что отри-

цание в неклассической логике сформулировано хорошо, но,

как уже

видно на примере интуиционистской, цепляться за них нельзя.

Вторая сторона отрицания состоит в выведении из данного пред-

положения явно неприемлемых следствий (редукционное, или дедуктив-

ное, отрицание). На нее было обращено большое внимание Карри и

Марковым. Здесь определение отрицания просто:

из A следует неприемлемое утверждение F .

(18.4)

ПРОБЛЕМА ОТРИЦАНИЯ

ad absurdum:

A F

(18.5)

¬ A

где F — какое-либо неприемлемое утверждение. Карри ввел даже мно-

жество контраксиом, каждая из которых служит основанием для отри-

цания.

М. Крейнович [19] применил данный вид отрицания

Пример 18.1.1.

для того, чтобы показать конструктивную неприемлемость многих ма-

тематических утверждений. Он вывел из них закон исключенного тре-

тьего. Закон исключенного третьего имеет максмальную степень интуи-

ционистской неприемлемости среди классически истинных формул ло-

гики предикатов. Поэтому рассуждение Крейновича показало, в част-

ности, что утверждение о существовании верхней грани у любого огра-

ниченного можества действительных чисел конструктивно абсолютно

неприемлемо, а вот лемму Гейне-Бореля о возможности выбрать конеч-

ное подпокрытие из любого открытого покрытия отрезка можно рас-

сматривать как возможный вариант, приемлемый в некоторых системах

конструктивного анализа.

что ¬

Третья сторона отрицания состоит в том

,

1

A означает, что A

не может быть никогда (тривиализирующее отрицание).

Ее отражает

правило ex falso quodlibet (из лжи следует все):