Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Непейвода. Прикладная логика

.PDF
Скачиваний:
566
Добавлен:
10.08.2013
Размер:
2.27 Mб
Скачать

Глава Семантики Крипке и базирующиеся17. на них логики

Семантики Крипке стали ныне одним из наиболее распространенных орудий в современной неклассической логике в философии и в когни тивной науке Общая их идея соответствует тому, что мы видели в ин- туиционистской. логике Модели представляется как, множество возмож- ных миров Эти миры связаны. некоторыми отношениями и некоторые- логические. связки заставляют переходить от данного мира к другим свя занным с ним мирам. Рассмотрим эту конструкцию на примерах. -

§ 17.1.

ОБЩАЯ ИДЕЯ

 

 

Еще Аристотель, создавая логику, рассматривал тот ее фрагмент, кото-

рый позже лег в основу классической логики, как частный случай. Он

осознавал, что понятие истинности слишком часто привязано к случай-

ным обстоятельствам, в которых мы оказались.

Поэтому статус истин-

ных предложений

 

 

 

2 × 2

= 4

(17.1)

 

Аристотель родился в Стагире

(17.2)

совершенно разный. Первое из них необходимо, оно не зависит от на-

шего конкретного мира, а второе просто (или даже случайно) истинно

именно в нашем конкретном мире. А вот предложение

 

Аристотель родился в Афинах

(17.3)

в нашем конкретном мире ложно но оно является возможным вполне могло быть стечение обстоятельств, при которых он бы родился:именно там. ,

462

 

 

 

ГЛАВА 17. СЕМАНТИКИ КРИПКЕ

 

Значительная часть Логики Аристотеля была посвящена модальным

утверждениям,

содержащим модальности, прежде всего, возможность

и необходимость. Но в средние века эта часть его теории практически

игнорировалась. В большинстве университетов Аристотеля разрешалось

изучать лишь до модальностей. Обоснованием этого являлось опасение,

что, узнав про модальности, студенты засомневаются, что Бог сотво-

рил лучший из возможных миров, и даже могут перейти к гностически-

буддийской ереси, что миров очень много1.

Таким образом, истолкование модальностей возможнои необхо-

димотребует перехода от одного мира к целому множеству возможных

 

секты времен раннего христианства. Некоторые из них признавали Хри-

1 Гностики

ста, а некоторые

были скорее просвещенными язычниками. Общим был у них взгляд

на мир, который они рассматривали как изначально злой, порожденный слабым послан-

цем Бога

Демиургом (творцом, ремесленником с оттенком халтурщик.") Души то-

мятся в этой юдоли зла, и даже смерть неспособна вырвать их из нее, поскольку они

перевоплощаются.

 

 

 

 

Буддизм сходен с гностицизмом в изначально пессимистическом взгляде на мир и в

общей задаче

освобождения душ от зла мира. Но он даже несколько более атеисти-

чен по исходной природе, поскольку для него мир

не творение, а самоорганизующа-

яся система духовных атомов

дхарм. Зато роль человека в мире для буддистов ис-

ключительно велика даже по сравнению с христианством, а не то что с гностицизмом.

Лишь люди могут достичь высших степеней духовного совершенства, чтобы освобо-

диться самим и, возможно, (в разных толках буддизма это трактуется по-разному) по-

мочь освободиться и другим. Поэтому христиане упрекают гностиков в богохульстве,

а буддистов

в гордыне.

 

 

 

И то, и другое учение склонно к признанию существования множества миров. Джай-

ны вообще включили множественность миров в свою догматику.

Стоит различать множественность обитаемых миров в нашем Мире, во Вселенной,

и множественность Миров с разными законами. Первое даже в средние века не счи-

талось противоречащим совершенству Божию. В частности, кардинал Николай Кузан-

ский интенсивно развивал идею множественности обитаемых миров, отвергая геоцен-

трический взгляд. И самого Джордано Бруно сожгли вовсе не за его натурфилософские

взгляды, в частности, за проповедь множества обитаемых миров (что даже в те време-

на являлось максимум подозрительным с точки зрения ереси,) а за его богословские

рассуждения, которые были безусловно еретическими.

Современный католицизм считает, что миров может быть много, поскольку, хотя Бог

и мог сотворить лишь лучший из возможных миров,

но такой лучший мог определяться

неоднозначно (порядок является лишь частичным.)

А что касается нашей Вселенной,

католики давно уже считают проявлением людской гордыни убеждение что разумная жизнь может существовать лишь на Земле Повсюду где есть условия для, появления разумных существ они должны появляться. дабы славить, Творца

Православные богословы, здесь занимают, менее определенную.позицию предпочи тая не отвечать на такие провокационные и вводящие в соблазн вопросы. , -

17.1. ОБЩАЯ ИДЕЯ

 

 

463

миров.Возможное то, что истинно в одном из миров.

(17.4)

Необходимое

то, что истинно не только в нашем

 

случайном мире, но и во всех возможных мирах.

(17.5)

На самом деле это же истолкование нужно и для других модальностей.

Например, рассмотрим предложение

 

 

Завтра будет морское сражение,

 

(17.6)

Это предложение сам Аристотель приводил в качестве примера выска-

зывания, к которому не применим сильный закон исключенного третье-

го. Оно относится к миру, который будет завтра, а не к нынешнему его

состоянию. Поэтому и в логиках, изучающих временные соотношения,

модель возможных миров хорошо себя показала. Но здесь каждый мир

модели

фиксированное состояние одного и того же Мира.2

 

А теперь рассмотрим еще один класс модальных высказываний, ко-

торый начал изучать также Аристотель

ассерторические модально-

сти. Пусть некто говорит:

 

 

Я знаю, что A.

 

 

(17.7)

Чтобы проанализировать и проинтерпретировать данное квазивысказы-

вание, нам необходимо перейти из нашего мира в мир внутренних пред-

ставлений и знаний говорящего. Таким образом, и здесь возникает се-

мантика возможных миров.

 

 

И, наконец, даже в описании логик программ естественна та же кон-

струкция, поскольку каждый оператор программы изменяет ее область

памяти,

и, так сказать, переносит нас из одной модели в другую с той

же сигнатурой А уж если говорить об объектно ориентированном про граммировании. здесь аналогия с моделями еще-более прямая посколь- ку изменяются не, только значения констант но и алгоритмы,функций- , .

2 Вспомните что классическая логика описывает данное конкретное состояние кон кретных высказываний, и поэтому уже не подходит для изменяющегося мира Но дан- ный вывод подходит лишь, к логике в чистом виде а не к базирующимся на ней .теориям- и поэтому теория основанная на классической логике, вполне может описывать изме, няющийся мир В, частности таковы многие модели основанные, на дифференциаль- ных уравнениях. да и само исчисление, бесконечно малых, создавалось с целью изучать- изменения, процессы, , протекающие в мире.

464 ГЛАВА 17. СЕМАНТИКИ КРИПКЕ

§ 17.2. МОДАЛЬНЫЕ ЛОГИКИ И ИХ МОДЕЛИ КРИПКЕ

 

Начнем с простейшего случая, для которого впервые была осознана об-

щая идея моделей Крипке.

 

17.2.1.

Язык и общая конструкция модели

 

Чуть-чуть обобщим определение моделей Крипке 16.5.1.

 

Определение 17.2.1. Пусть задан некоторый класс моделей Ξ сигнату-

ры σ (например, алгебраические модели, или классические модели, или

реализационные).

 

Общая модель Крипке K для сигнатуры σ над классом моделей Ξ

алгебраическая система K некоторой одноосновной сигнатуры $, на-

зываемой сигнатурой отношений на мирах, элементам p универса ко-

торой WK сопоставлены модели Mp Ξ. Элементы универса WK назы-

ваются

(возможными) интерпретациями либо (возможными)

мирами.

В обозначении WK обычно будем опускать K. Если в моделях определе-

но понятие универса, то универс мира p W обозначается Up.

 

Простейший и наиболее часто рассматриваемый вид моделей Крип-

ке реляционные системы с одним бинарным отношением R, обычно

называемым

отношением достижимости. Естественно определяются

две новые логические связки в таких моделях. A читается необхо-

димо Aи естественно интерпретируется как истинность A во всех воз-

можных мирах, достижимых из нынешнего. ♦A читается возможно A

и естественно интерпретируется как истинность A в некотором возмож-

ном мире, достижимом из нынешнего. Таким образом, имеем следую-

щие определения семантики необходимости и возможности.

 

 

 

p |= A q(p R q q |= A)

(17.8)

 

 

p |= ♦A q(p R q & q |= A)

 

Логики со стандартными классическими и данными двумя дополнитель-

ными связками (традиционными модальностями) называются в насто-

ящее время модальными. Практически всегда семантика модальностей

задается именно так, как мы только что разобрали.

 

Есть одно свойство модальностей, которое всегда выполнено при

такой интерпретации (естественно, если логика, над которой делается

надстройка

классическая):

 

( A ¬ ♦¬ A) & (♦A ¬ ¬ A).

17.2. МОДАЛЬНЫЕ ЛОГИКИ И ИХ МОДЕЛИ КРИПКЕ

465

Таким образом в классической модальной логике достаточно взять одну из модальностей, , вторая определяется через нее.

Свойства отношения достижимости и конкретные ло

17.2.2. гики -

На модальную логику переносится техника семантических таблиц она была перенесена на нее С Крипке одновременно с систематизацией( по нятия модели Крипке Так. же как и в интуиционистской логике спе- цификация снабжается). префиксом, в котором указывается последова, - тельность миров связанных отношением, достижимости и ведущая из- нынешнего мира,в тот в котором рассматривается формула, В этом пре фиксе могут быть знаки, вопроса которые теперь означают. в точности- один мир Например префикс , означает что мы идем из исход ного мира. в мир оттуда, в любой[1,?,2,?,5]из миров связанных, с отношением- достижимости оттуда1, в мир и так далее ,Рассмотрим пример1 семан тической таблицы, . 2, . -

[] =| ♦(A & B) ♦A & ♦B

[] =| ♦A & ♦B

[] |= ♦(A & B)

[1]|= A & B

[1]|= A [1] |= B

[] =| ♦A [] =| ♦B

[?]=| A [?] =| B

Вданном случае семантическая таблица закрылась и таким образом формула оказалась одной из редких модальных формул, , которая явля, ется тавтологией безотносительно к предположениям о ,структуре воз- можных миров. Но рассмотрим еще одну простую формулу. -

[] =| A ♦A

[] |= A [] =| ♦A

[?] =| A

Есть ли здесь противоречие и закрывается ли таблица Только в том слу чае если нынешний мир достижим сам из себя т е ?отношение дости- жимости, рефлексивно Это предположение крайне, . естественно. но уже- не универсально. . ,

466 ГЛАВА 17. СЕМАНТИКИ КРИПКЕ

Итак, в случае модальных логик семантическая таблица часто по-

могает найти словия на отношение достижимости, при котором данная

формула будет истинна.

 

Заметим полную аналогию между правилами раскрытия модально-

стей и правилами раскрытия кванторов в обычной семантической та-

блице. Необходимость ведет себя как всеобщность, а возможность

как существование (это видно и из определения их семантики).

Абсолютная модальная логика (без ограничений на отношение до-

стижимост) практически никогда не рассматривается, поскольку она не-

интересна. Обычно рассматриваются логики, в которых на структуру

миров наложены некоторое естественные ограничения. В частности, в

логике S5 предполагается, что отношение достижимости является от-

ношением эквивалентности, а в логике S4

что оно рефлексивно и

транзитивно Другие логики насчитываются уже сотнями если не ты сячами. . . . , -

Упражнения к § 17.2

Постройте семантические таблицы и если формула не абсолют на постарайтесь охарактеризовать какими, , свойствами должно обла- дать, отношение достижимости, чтобы, она была истинной. -

17.2.1.A ♦A;

17.2.2.♦A & ♦B ♦(A & B);

17.2.3.A A;

17.2.4.A & B (A & B);

17.2.5.A ♦A;

17.2.6.♦A A.

17.2.3.Нешкальные логики

Определение Логика называется шкальной если есть класс систем миров 17.такой2.2. что дляL всякой модели Крипке, с все теоремы истинныL, на, и для любой формулы не выводимойK, K L,в найдется Lмодель с системойK, миров из L на которой, она опровергаетсяL,

, .

17.3. ВАРИАЦИИ НА ТЕМУ МОДАЛЬНОСТЕЙ И КРИПКЕ

467

Итак, шкальные логики можно охарактеризовать классом моделей,

в котором конкретные миры не ограничиваются, ограничивается лишь

структура миров.

 

Не все логики можно задать таким способом. Рассмотрим простей-

ший пример.

 

Принцип

 

 

♦A ♦A

(17.9)

накладывает ограничения не на структуру миров, а на распределение ис-

тинностных значений. Формула, однажды оказавшаяся истинной, долж-

на быть истинной еще во многих других мирах. Формула ♦A & ♦B

♦(A & B) не выводится в данной логике, требует для своего опровер-

жения модель, в которой есть по крайней мере два мира,

возможных от-

носительно нынешнего, а на всякой такой модели можно привести рас-

пределение истинностных значений, при которых (17.9)

не выполнена.

§ 17.3. ВАРИАЦИИ НА ТЕМУ МОДАЛЬНОСТЕЙ И КРИПКЕ

17.3.1.

Временные, динамические и программные логики

Миры понимаются как срезы одного и того же Мира в разные моменты времени Рассматривается модели Крипке с несколькими отношениями моделирующими. отношения на временной оси Например если взять, отношения предшествовать по времени и непосредственно. , предше ствовать по«времени то естественно определяются» « логики с модаль- ностями завтра будет», Когда то было и так далее -

Для работыс динамическимиA”, “ -и программнымиAлогиками. можно за метить что последовательность состояний памяти программы можно- рассматривать, как последовательность возможных миров и соответ ственно программу в динамических логиках или оператор, программы, - в программных, логиках( как преобразующую) эти миры модальность и( далее поступать аналогично) ,

Например условие на композицию. операторов в динамической ло гике записывается, как -

(A αB) & (B βC) (A α; βC)

а в программной

A{S1}B & B{S2}C A{S1; S2}C.

Здесь можно рекомендовать книгу [13].

(17.10)

(17.11)

468

ГЛАВА 17. СЕМАНТИКИ КРИПКЕ

Глава 18. Проблема отрицания

§ 18.1. ТРИ СТОРОНЫ КЛАССИЧЕСКОГО ОТРИЦАНИЯ И ЧЕ-

ТВЕРТАЯ — СОДЕРЖАТЕЛЬНОГО

 

Отрицание та связка, которая доставляла наибольшие неприятности

в неклассических логиках. Дело в том, что в классическом отрицании

соединены три стороны, гармонически сочетающиеся в классической

логике, но сразу расходящиеся при отступлении от нее.

 

Первая сторона отрицания состоит в алгоритме формулировки от-

рицаний (§4.6.) Такой способ отрицания назовем прямым отрицанием.

В самом деле, эти правила настолько просты и естественны, что в инту-

иционистской логике жаль их исчезновения. Сформулируем эти прави-

ла в виде законов, обобщающих законы де Моргана. Соответствующий

вариант отрицания естественно обозначать −.

 

−(A & B) = −A −B

−(A B) = −A & −B

(18.1)

− −A = A

−(A B) = A & −B

(18.2)

− x A = x −A

− x A = x −A

(18.3)

Сохранение этих правил является одним из критериев того, что отри-

цание в неклассической логике сформулировано хорошо, но,

как уже

видно на примере интуиционистской, цепляться за них нельзя.

 

Вторая сторона отрицания состоит в выведении из данного пред-

положения явно неприемлемых следствий (редукционное, или дедуктив-

ное, отрицание). На нее было обращено большое внимание Карри и

Марковым. Здесь определение отрицания просто:

 

из A следует неприемлемое утверждение F .

(18.4)

Правилом, подчеркивающим эту сторону отрицания, является reductio

470

 

ГЛАВА 18.

ПРОБЛЕМА ОТРИЦАНИЯ

ad absurdum:

 

A F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(18.5)

 

 

¬ A

 

 

 

 

где F какое-либо неприемлемое утверждение. Карри ввел даже мно-

жество контраксиом, каждая из которых служит основанием для отри-

цания.

М. Крейнович [19] применил данный вид отрицания

Пример 18.1.1.

для того, чтобы показать конструктивную неприемлемость многих ма-

тематических утверждений. Он вывел из них закон исключенного тре-

тьего. Закон исключенного третьего имеет максмальную степень интуи-

ционистской неприемлемости среди классически истинных формул ло-

гики предикатов. Поэтому рассуждение Крейновича показало, в част-

ности, что утверждение о существовании верхней грани у любого огра-

ниченного можества действительных чисел конструктивно абсолютно

неприемлемо, а вот лемму Гейне-Бореля о возможности выбрать конеч-

ное подпокрытие из любого открытого покрытия отрезка можно рас-

сматривать как возможный вариант, приемлемый в некоторых системах

конструктивного анализа.

 

что ¬

 

 

Третья сторона отрицания состоит в том

,

 

1

 

 

 

 

 

A означает, что A

не может быть никогда (тривиализирующее отрицание).

Ее отражает

правило ex falso quodlibet (из лжи следует все):

 

 

 

A¬ A

B

(18.6)

Карри еще в е годы заметил что подобное правило может оказать ся определением30- противоречивости, для систем без отрицания система- противоречива по Карри если в ней выводимы все формулы Более: то го оно может служить основой, для введения отрицания в безотрица. - тельный, язык. -

Пример Рассмотрим формальную арифметику из которой уда лено отрицание18.1.2. и соответственно аксиома , Если к ней- добавить аксиому, она становится, противоречивойn ¬ n + 1 =по0. Карри До кажем это 0 = 1, . -

Прежде. всего докажем по индукции

Базис. 0 = 0. , n 0 = n.

1 Этого быть не может, потому что этого не может быть никогда!