Непейвода. Прикладная логика

13.6. ФОРМАЛИЗАЦИЯ НЕФОРМАЛИЗУЕМЫХ ПОНЯТИЙ

увлечения любимого (любимой). Из этого определения, вполне почтен-

ного для какого-либо научного трактата, никаких позитивных выводов

не сделаешь. Зато принципы (принадлежащие противоположным куль-

турам любовных отношений):

Если ты —

джигит, зарежь подонка, посягающего на твою

любимую!

383

Принцип 9. Имеется вычислимая функция ϕ, строящая по

каждой паре теорий T hα T hβ, теорию T hϕ(α,β), расши-

ряющую T hα, но несовместимую с T hβ.

Таким образом, каждое расширение теории имеет альтернативу.

Следующий принцип также является сильным предположением, по-

казавшим свою эффективность при описании систем неформализуемых

понятий. Он говорит о том, что никакой из новых результатов, получен-

ных в расширениях данной ипостаси, не может считаться даже относи-

тельно бесспорным (неопровержимым в других расширениях).

Этот принцип сразу же отметает в качестве основы для систем нефор-

мализуемых понятий теории, базирующиеся на многих известных не-

классических логиках.

Теория неформализуемых понятий позволила дать подходы к реше-

нию некоторых задач,

связанных с несоответствием понятий в языках

программирования. Появились и логические следствия. Одно из них мы

приведем здесь.

Определение 13.6.1. Высказывание A называется псевдопроблемой от-

носительно ипостаси T hα, входящей в систему формализаций неформа-

лизуемых понятий, если ни в какой ипостаси, являющейся расширением

T hα, ни A, ни ¬ A не являются теоремами.

псевдо-

Предложение 13.6.1. Метод критики оснований. Если A —

проблема, B не является псевдопроблемой, B неразрешимо в T hα и в

теории T hα доказано

A B, то можно подобрать формулу D, не

являющуюся псевдопроблемой, такую, что D A и A D —

не тео-

ремы T hα, а D B —

ее теорема.

Доказательство. Пусть для определенности B доказывается в некото-

рых формализациях. Тогда имеется теория T hβ, расширяющая T hα, в

которой доказывается B. Но тогда есть конечный список D1 аксиом

T hβ, из которого выводится B в T hα. Значит, D1 B является тео-

ремой T hα. Поскольку T hβ имеет альтернативу T hϕ(α,β), усилим D1 до

списка аксиом D, опровергаемого в данной альтернативе. Поскольку A

—

псевдопроблема, то ни она, ни ее отрицание не выводимы ни в T hβ,

384

ГЛАВА 13.

ни в T hϕ(α,β). Отсюда получаем, что четыре импликации

D A

D ¬ A

¬ D A

¬ D ¬ A

невыводимы в T hα, и соответственно, D — искомое независимое от A

основание.

Содержательно данный результат означает, что основание, являю-

щееся псевдопроблемой, ничего не может дать для доказательства со-

держательных утверждений. Если мы вывели имеющее смысл в данной

системе теорий утверждение из псевдопроблемы, то можно подобрать

другую, уже нетривиальную гипотезу, из которой оно получается.

Понятие псевдопроблемы появилось в работах Венской школы по-

зитивизма в 20-х годах. Псевдопроблемами называли пышно звучащие

философские вопросы типа

—

Что первично: материя или сознание?—

теряющие смысл при переводе на научный язык. Мы идем дальше, и

внутрь формализаций псевдопроблемы могут проникнуть, но опора на

них является порочным методом.

С другой стороны, данный результат имеет отношение к давно из-

вестному в логике примеру логической ошибки. В жизни слишком часто

мы считаем, что отвергли выводы человека, если сумели опровергнуть

посылки, на которых он базируется. Например, отвергнув посылку об

изначальном равенстве способностей всех людей, мы отвергаем целесо-

образность равенства их прав. Это еще со времен Аристотеля квалифи-

цировалось как логическая ошибка: единственный способ опровергнуть

предложение —

временно принять его. Критика оснований может лишь

13.6. ФОРМАЛИЗАЦИЯ НЕФОРМАЛИЗУЕМЫХ ПОНЯТИЙ

Системы формализаций неформализуемых понятий позволяют вы-

разить и еще одну важнейшую сторону знания, впервые затронутую в

неклассических логиках. Поскольку незнание всеобъемлюще и неис-

требимо, порою один из самых мощных видов знания —

знание о не-

знании. Конкретные классические теории не позволяют этого исполь-

зовать, а вот в их системах постулирование и использование незнания

вполне возможно.

И наконец, можно заметить, что соотношения между неформали-

зуемыми понятиями, выраженные в данной теории, относятся лишь к

данным их ипостасям. Чтобы выразить более глобальные утверждения

(например, что A содержательно следует из B в том смысле, что при-

няв при формализации A, мы вынуждены принимать и B во избежание

распада системы понятий), необходимо рассматривать целые системы

теорий, а тут уже вступает в права неклассическая логика.

Подытожим:

§ 14.1.

ОСНОВЫ λ-ЯЗЫКА

В математике укоренились некоторые т.н. “ вольности речи”, часто при-

водящие к двусмысленностям и затруднениям, практически ничего не

облегчая взамен. Одна из таких традиционных неаккуратностей —

сме-

шение значения выражения с функцией, вычисляющей это выражение.

Например, в уравнении x2 = 1 x2 есть выражение, в тождестве

d

x2 = 2x

(14.1)

dx

x2 есть функция, а относительно 2x этот вопрос может быть решен лишь

из контекста (а порою и из него возникают лишь двусмысленности). Для

обозначения функций используются записи типа x → x2, и этого хвата-

ет для случая, когда функции не являются аргументами преобразований.

Но уже запись

d

x → x2

dx

неудобна, а далее непоследовательность такой формы обозначений при-

чиняет все больше и больше неприятностей.

Американский логик Черч

(A. Church) предложил обозначения, по-

зволяющие трактовать функциональные и смешанные выражения столь

же последовательно, как и обычные математические. Квантор функци-

ональности λx. t(x), где t(x) —

терм, образует выражение, интерпрети-