Непейвода. Прикладная логика

Противоречия последних двух типов будем называть перекрестными.

В перекрестных противоречиях формула A принадлежит сигнатуре σ.

Если противоречие принадлежит п. 3, то интерполянтом C будет A, а

если п. 4, то ¬A. В случае 3 выводом секвенций , =| C и

, |= C стро-

ятся легко: будет само исходное противоречие, а в случае 4 —

результат

разбиения формулы ¬A.

В случае противоречия вида 1 в качестве C берем , а в случае 2 —

>. Один из выводов обеспечивается исходным противоречием, а другой

—

добавленной логической константой с несоответствующей ей специ-

фикацией.

Шаг рекурсии. Пусть индуктивное утверждение обосновано для лю-

бых выводов с числом применений правил 6 n. Докажем его для вывода

с n + 1 правилом. Рассмотрим различные применения правил и пере-

строим для них интерполянт.

Если правило однопосылочное и не вводит вспомогательную кон-

станту, то интерполянт не изменяется. В том из выводов Σi, где фор-

мула, к которой применяется правило, принадлежит оставляемой части

исходной секвенции, оставляем то же правило, примененное к той же

формуле, а в другом из выводов применение данного правила просто

удаляем, поскольку оно имеет дело с исчезнувшей формулой.

Если правило —

двухпосылочное, то для каждой из его посылок мы,

по предположению индукции, сопоставили интерполянты

C1, C2. Со-

12.4. ТЕОРЕМА БЕТА

343

Теорема 12.2.

(Теорема Бета об определимости) (Beth, 1952) P опре-

делим через σ

тогда и только тогда, когда в любых двух моделях M1,

M2 теории Th с одинаковыми универсами и одинаковыми значениями

понятий из σ значения P совпадают.

344

ГЛАВА 12. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛЕНИЙ

входящие в σ, двойник каждого предиката обозначим Q, двойник кон-

¯

станты — c¯. Двойником формулы назовем результат замены всех по-

нятий, не входящих в σ, на их двойники. Теперь заменим все аксиомы

теории Th, содержащие понятия, не входящие в σ, на их двойники. По-

лучившуюся теорию обозначим

. Очевидно, что всякую модель Th

Th

можно изоморфно преобразовать в модель Th и что двойник формулы

выводим в Th ттт формула выводима в Th. Последнее легче усмотреть

даже не из теоретико-модельных соображений, а непосредственно по-

строив преобразование вывода.

Далее, если теория Th непротиворечива, то непротиворечива и те-

ория Th Th. Ее модель получается просто удвоением интерпретаций

понятий, не входящих в σ, в модели исходной теории. Теперь выведем

важное следствие из предположения теоремы:

¯

Th Th ` ~x(P (~x) P (~x)).

12.4. ТЕОРЕМА БЕТА

345

346

ГЛАВА 13. НЕПОЛНОТА И НЕФОРМАЛИЗУЕМОСТЬ

Тщетность надежд на полноту традиционных математических тео-

рий доказал в 1931

г. австрийский математик Курт Гёдель, тот самый,

который доказал до этого полноту классической логики. Доказательство

Гёделя было весьма трудным технически, но к нынешнему времени по-

явилась возможность дать более прозрачное его изложение. Мы начнем

с результата, доказанного польским логиком А. Тарским в 1928 г., кото-

рый может считаться идейной основой результата Гёделя.4

Как известно, определение истинности формул логического языка

дается индуктивно. Пусть у нас зафиксировано некоторое кодирование

формул логического языка термами нашего языка (в частности, такое ко-

дирование может иметься в языках, содержащих натуральные числа, по-

скольку слова в данном конечном алфавите естественно кодируются как

натуральные числа в соответствующей системе счисления: см. стр. 136.)

Пусть, далее, кодирование настолько удобное, что мы можем выразить

подстановку, т.е. построить формулу Subst(x, y, z), такую, что

x y 1z Subst(x, y, z)

для любого кода a формулы A(x) с одной свободной переменной x и для

любого объекта b объект ιzA(a, b, z) является кодом A(b). Тогда, соглас-

но результату об описательных определениях,

мы можем ввести функ-

цию sub(A, b), вычисляющую по коду формулы A, имеющей свободную

переменную, и по объекту b код формулы, являющейся подстановкой b

вместо x в данную формулу. Код формулы A обозначим dAe.

Определением истинности по Тарскому называется такая формула

Tr, что для любого кода замкнутой формулы A

Tr(dAe) A.

(13.1)

А.А. Марковым и носит название принцип Маркова.

Если алгоритм построен, то доказывать конечность числа его шагов мож-

но и косвенными методами.

Естественно ожидать, что при таком подходе число шагов вычисления может оказать-

ся астрономически большим, что, как было доказано, иногда и происходит. Но обыч-

ная математическая индукция в этом смысле не намного лучше: при доказательстве

конечности с ее помощью число шагов тоже может оказаться невообразимо большим.

Конечно, во втором случае их поменьше, но это —

разница типа разницы ω и ω! в не-

стандартном анализе: одно бесконечно, а другое —

невообразимо бесконечно.

Таким образом, пришли к противоречию.

Конец доказательства.

Далее возникает соблазн заявить, что (хотя бы в случае полной те-

ории) доказуемость является определением истинности по Тарскому и

поэтому если в теории можно определить понятие доказательства, то

она не может быть полна. Но Гёдель уловил важную ловушку, которая

кроется здесь: для того чтобы доказуемость могла считаться определе-

нием истины, необходимо, чтобы можно было доказать в теории

x Proof(x, dAe) A.

(13.2)

Принцип рефлексии:

(13.3)

x Proof(x, d x Proof(x, dAe)e)ттт x Proof(x, dAe).

также следствие резуль-

5 То, что мы делаем такую оговорку о смысле математики —

Содержательно это означает, что доказать доказуемость A то же самое,

что доказать само A.

Заметим, что определения истинности для подмножеств формул впол-

не могут существовать. Более того, было показано, что в арифметике

можно определить истинность для формул, имеющих менее n перемен

кванторов формулой, имеющей n перемен кванторов.

Неопределимость истинности приводит, в частности, к тому, что прин-

цип математической индукции приходится формализовывать не как од-

ну аксиому, а как схему аксиом, утверждающих свойство индукции для

всех формул нашего языка.

Упражнения к § 13.1

13.1.1.

Можно ли внутри теории множеств построить определение ис-

тинности для формул, все кванторы в которых ограничены неко-

торым множеством?

13.1.2.

А произвольным конечным множеством (возможно, своим для

каждого квантора)?

§ 13.2.

АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВЫЧИСЛИМОСТИ