Непейвода. Прикладная логика

20

сел.Чтобы точнее установить опасности, связанные с нестандартными

формулировками, дадим несколько контрпримеров. Контрпримеры бу-

дут использовать те нестандартные объекты, которые ближе всего по по-

строению и свойствам к стандартным —

почти стандартные. Функция

называется почти стандартной, если она представляется в виде λx f(ξ, x),

где ξ —

нестандартное число, f —

стандартная функция. Аналогично,

почти стандартное множество —

сечение стандартного отношения по

нестандартному значению аргумента.

Приведем почти стандартные контрпримеры к двум из доказанных

эквивалентностей.

Пример 10.4.1. Непрерывность. Функция ε·sgn бесконечно мало изме-

няется в окрестности нуля, но разрывна в ней. Наоборот, функция

ω · x

бесконечно изменяется в окрестности нуля, но непрерывна в нуле.

Пример 10.4.2. Нули. Последовательность

an =

1,

n 6= ω

0,

n = ω

10.5.1. Аксиома выбора, некоторые ее следствия

и альтернативы

Поскольку в доказательстве теоремы Лося и, соответственно, в построении не-

стандартной модели существеннейшим образом используется аксиома выбора

(упомянутая ранее на стр. 104), мы начнем с ее обсуждения.

Аксиома выбора имеет внешне весьма привлекательную и простую фор-

мулировку, настолько естественную, что ее применение до начала XX века не

осознавалось явно.

x(x X y(y Y & (x, y) R))

(10.4)

f(f : X → Y & x(x X (x, f(x)) R)).

Таким образом, она утверждает, что для каждого всюду определенного соответ-

ствия существует вложенное в него функциональное с той же областью опреде-

ления. Как говорят, функция f выбирает по элементу

из каждого из множеств

{y | (x, y) R}. Поэтому ее часто называют функцией выбора.

Как и любое важное математическое утверждение, аксиома выбора имеет

много эквивалентных, но внешне совершенно различных формулировок. При-

ведем три самые важные из них.

Первая из формулировок связана с обобщением понятия прямого произве-

дения на бесконечные семейства сомножителей. Прежде всего определим, что

такое семейство. Семейство множеств —

просто другое название для функ-

ции, результатами которой являются множества. Часто семейство обозначается

выражением типа

(Xi)i I

вместо λi X(i). Аналогом n-ки, в которой i-тый элемент принадлежит множе-

ству Xi, для произвольного множества индексов I служит функция с областью

определения I, такая, что f(i) Xi. Таким образом, получаем еще одну фор-

мулировку аксиомы выбора, еще более естественную:

Прямое произведение семейства непустых множеств непусто.

Известны многие утверждения, эквивалентные аксиоме выбора. Перечи-

слим часть из них и докажем их эквивалентность.

Предложение 10.5.1. (Теорема о вполне упорядочении) Каждое множество

можно вполне упорядочить.

Доказательство. Из вполне упорядочения очевидно следует аксиома выбора,

поскольку достаточно вполне упорядочить

i I Xi и сопоставить каждому i

наименьший элемент Xi. Докажем обратное утверждение

.

S

При каждом α множество {f(β) | β α} — линейно упорядоченное подмно-

жество X. Соответственно, оно имеет максимальный элемент, и поскольку он

не наибольший, f(α) будет определено. Итак, мы построили инъекцию класса

ординалов в множество X, чего быть не может. Таким образом, в множестве

X должен быть хотя бы один максимальный элемент.

Осталось вывести аксиому выбора из леммы Цорна. Для этого докажем

теорему о вполне упорядочении. Рассмотрим множество инъекций начальных

отрезков ординалов в множество X. Оно естественно частично упорядочено

вложением, если задано линейно упорядоченное семейство таких отображе-

ний, то его объединение также будет таким отображением. Значит, согласно

лемме Цорна, существует хотя бы одна максимальная инъекция ϕ. Покажем,

что она будет и сюръекцией. Если множество X \ Val ϕ непусто и α —

наи-

меньший ординал, не принадлежащий Dom ϕ, то

ГЛАВА 10. НЕСТАНДАРТНЫЙ АНАЛИЗ

Доказательство.

Определим для семейства непустых множеств (Xi)i I функ-

цию χ :

i I Xi

→ I, сопоставляющую каждой паре (i, x) ее первый ком-

. Эта функция является сюръекцией. Соответствующая ей ретракция и

понент

L

будет функцией выбора. Обратная импликация доказана ранее.

Теперь перейдем к более нетривиально связанным с аксиомой выбора фор-

мулировкам.

Аксиома зависимого выбора. [17]

x(x X y(y X & (x, y) R))

(a(i), a(i + 1)) R)))

.

x(x X a(a : N → X & i(i N

Итак, если отношение всюду определено, то для каждого элемента найдется

бесконечная последовательность элементов, начинающихся с данного и свя-

занных этим отношением.

Эта форма аксиомы выбора использована, в частности, в предложении 5.4.6.

От нее зависит, таким образом,

эквивалентность определения бесконечности

по Расселу и неконечности множества и то, что каждое бесконечное множе-

ство содержит счетное подмножество.

Принцип линейного упорядочивания. Каждый частичный порядок мож-

но продолжить до линейного.

Выведем принцип линейного упорядочения из аксиомы выбора.

Доказательство

Обозначим

22

Вполне упо

.

исходное отношение порядка

0.

-

рядочим исходное множество X . После этого полного упорядочивания мож-

но считать, что элементы X занумерованы ординальными числами, меньшими

некоторого β. Построим теперь ординальную последовательность отношений

порядка

α, где при γ < δ γ δ.

Пусть α не является линейным поряд-

ком. Теперь возьмем элемент a с наименьшим номером, для которого имеются

несравнимые с ним элементы. Среди элементов, несравнимых с a, возьмем эле-

мент b с наименьшим номером. Возьмем отношение

α {(a, b)} (т.е положим

b α 1 a). Возьмем транзитивное замыкание этого отношения и положим

α+1

= ( α {(a, b)})∞.

Если порядок уже линейный,

то положим α+1= α. Для предельных γ поло-

жим

γ=

[

δ .

Для второго игрока определение аналогично. Доказано, что существует мно-

жество X, для которого ни один из игроков не имеет выигрывающей стратегии.

Таким образом, следующее предложение противоречит аксиоме выбора:

Аксиома детерминированности.

В любой детерминированной игре один из игроков

(10.6)

имеет выигрывающую стратегию.

и множества можно предупорядочить по мощности. Но теперь уже имеются

множества несравнимой мощности.

множество X не может быть вполне упо-

В самом деле, пусть некоторое

рядочено. Тогда в нем имеется вполне упорядочиваемое подмножество макси-

мальной мощности. Обозначим его Y . Но множество X1 всех ординалов мощ-

ности множества Y имеет мощность большую, чем само Y . Таким образом,

мощности X и X1 несравнимы.

Упражнения к § 10.5

10.5.1.

Насчет бесконечных прямых произведений мы выяснили, что их су-

ществование эквивалентно аксиоме выбора.

А вот как насчет прямых

сумм?

10.5.2.

Как Вам кажется, что важнее в существовании ненормальных игр без

выигрывающих стратегий: бесконечность числа ходов или же бесконеч-

ность выбора альтернатив на каждом шагу? Можете ли Вы доказать де-

терминированность любой игры при конечности одного из этих мно-

жеств без использования аксиомы выбора?

10.5.3.

В определении (10.5) создается впечатление, что второй игрок (модели-

руемый функцией g) играет без учета ходов первого. Объясните, почему

не нужно усложнять данное определение.

10.5.4.

Д. Гильберт предложил следующую переформулировку классической

логики, чтобы избавиться от логических кванторов. Он рассмотрел кван-

торное выражение εx A(x), означающее такой объект x0, для которого

выполнено A(x0), если существует такой x,

для которого A(x), и про-

извольный объект, если A(x)

тождественно ложно. ε-символ Гильберта

может быть описан следующими аксиомами:

A(t) A(εx A(x)),

(A B) εx A = εx B.

Какое следствие влекут эти аксиомы в теории множеств? Изменится ли

положение, если опустить вторую из них?

10.5.2.

Ультрафильтры и структуры

Прежде всего определим язык конечных типов следующим образом. Исходны-

ми типами являются объектные типы и тип “логический”. Переменные имеют-

ся по каждому из типов, универс логического типа —

{0, 1}, универсы осталь-

U(τ1,...,τn→π)

Func(Uτ1 , . . . , Uτn → Uπ).

Таким образом, каждая функция остается функцией соответствующих аргу-

ментов и с соответствующими значениями,

но уже не все функции предста-

влены в нашей модели. Модели нестандартного анализа мы будем строить по-

лустандартными, и тогда приведенная в 10.3

классификация получает полное,

в том числе и терминологическое, обоснование.

висимо, и для каждого сложного типа применение функций (предикатов) дан-

ного типа определяется отдельно через операцию Appl (применения функции

к аргументам):

ζ(F (X1

, . . . , Xn)) = Appl(ζ(F ), ζ(X1), . . . , ζ(Xn))

Произвольная интерпретация является у нас первым шагом на пути к полу-

стандартной.23

множество формул языка конеч-

Теорема 10.5. (Теорема Лося) Пусть A —

ных типов, такое, что для каждого конечного подмножества B A

мож-

но построить стандартную интерпретацию, где все B B истинны.

Тогда

имеется полустандартная интерпретация,

в которой истинны все A A.

Доказательство.

В качестве основного технического средства мы исполь-

зуем понятия ультрафильтра и ультрапроизведения интерпретаций.

Определение 10.5.1.

Фильтр —

множество F подмножеств некоторого мно-

жества I, такое, что:

1. X F & X Y Y F.

2. X F & Y F X ∩ Y F.

3. / F.

Ультрафильтр —

¯

такой фильтр, что для любого X I X F X F.

большие, более того,

как подавляющее большинство, такое, что пересечение

любого конечного числа таких множеств все равно большое, а их дополнения

—

как маленькие.

произвольной и полустандартной интерпретаций — единственное, что мо-

23 Понятия

Предложение 10.5.4. Любой фильтр можно пополнить до ультрафильтра.

Будем говорить, что множество X

не противоречит фильтру F, если ни для

какого Y F X ∩ Y 6= .

Доказательство.

Начнем с лемм.

Лемма 10.5.5. Если F — фильтр, X I, то либо X, либо X не противоречит

F.

¯

В самом деле, пусть и X, и X противоречат F. Тогда найдутся такие Y, Z

¯

F, что X ∩ Y = , X ∩ Z = . Но тогда найдется одно такое U = Y ∩ Z, что

¯

U F, X ∩ U = и

X ∩ U = . Значит, (X ∩ U) (X ∩ U) = , но тогда по

дистрибутивности

¯

¯

¯

(X X) ∩ U = I ∩ U = .

Но пустое множество в пересечении с универсом может давать лишь пустое

множество, значит, U = , чего не может быть, поскольку / F.

Лемма 10.5.6. Если F — фильтр, X —

множество, не противоречащее F, то

найдется минимальный ультрафильтр,

содержащий X и все элементы F.

Этот ультрафильтр строится элементарно: как множество множеств F

Вполне упорядочим множество 2

.

Теперь трансфинитной индукцией по-

{X ∩ Y | Y F}.

I

24

строим ультрафильтр, расширяющий

F. Пусть F0 = F. На шаге α + 1 берем

первый элемент

X 2I (т.е. первое из подмножеств I), такой, что ни он, ни его дополне-

ние не входят в Fα. Тогда, по лемме

10.5.5, либо он, либо его дополнение не

противоречат Fα.

И по лемме 10.5.6

можно построить минимальный фильтр,

расширяющий Fα

и содержащий либо X, либо X.

Конец доказательства.

¯

Рассмотрим ультрафильтры над множеством натуральных чисел. Постро-

ить пример ультрафильтра очень легко:

возьмем все множества, содержащие

некоторое n0. Фильтр, состоящий из всех множеств, содержащих некоторе x0,

называется главным.

Мы показали, что есть ультрафильтр, расширяющий лю-

бой фильтр, а множество всех конечных множеств является фильтром. Значит,

есть ультрафильтр, содержащий лишь бесконечные множества.25 Но вот по-

строить такой ультрафильтр никак не удается, и в конце концов было доказано,

что:

самый шаг, который делает существование нестандартной модели зависи-

24

Вот тот

мым от конкретной формы теории множеств! Установлено, что избавиться от подобно-

го шага невозможно в принципе, даже если I счетно.

25

Но, конечно, не все:

если и само X, и его дополнение бесконечны, то ультрафильтр

содержит одно и только одно из них.