Непейвода. Прикладная логика

Предложение В теории множеств нет такой формулы чтои такое10.5.7. является неглавным ультрафильтром на A(X),

1X A(X) X N.

Говорят что предикат истинен на большинстве элементов если множе ство истинности, предиката принадлежит ультрафильтру над I, - Ультрафильтры применяются во многих тонких конструкцияхI. современ ной топологии и функционального анализа В логике они в основном использу- ются в ультрапроизведениях Прежде всего. заметим что прямое произведение- моделей теории уже не является. моделью классической, логики Рассмотрим например одноместный предикат Если .то по опреде, лению прямого, произведения естественноP . Pположить(a) = >,P (b) = , Пол- беды что тогда модель получается недвузначной БедаP (вha,томbi)что= h>истинное, i. во- всех перемножаемых, моделях утверждение может. стать неистинным, в произ ведении Оба отмеченных недостатка устраняются следующей факторизацией- Возьмем. произвольный неглавный ультрафильтр над Возьмем семей. ство моделей Ультрапроизведение строитсяA как Xпрямое. произведе- ние Qi X Mi,(факторизованноеMx)x X. по отношению -

{(a, b) | {i | ai = bi} A} .

Таким образом элементарная формула считается истинной на объектах из уль трапроизведения, если она истинна на их компонентах в большинстве перем- ножаемых моделей, - Докажем теперь. что ультрапроизведение моделей теории само являет ся моделью теории , Для этого установим что любая формулаTh а не только-

элементарная истиннаTh. на ультрапроизведении, тогда и только тогда, когда она истинна на большинстве, компонент. ,

Предложение Теорема об ультрапроизведениях Любая формула истинна в ультрапроизведении10.5.8. тогда и только тогда когда. она истинна на большинстве компонент. ,

Доказательство Действуем индукцией по длине формулы Для конъюнкции и дизъюнкции индукционный. шаг следует из замкнутости ультрафильтра. от носительно объединений и пересечений Для отрицания достаточно заметить- что дополнение множества не входящего. в ультрафильтр входит в него так, что отрицание неистинной ,формулы истинно Импликация, выражается через, другие связки и отрицание Остаются кванторы. ложно в ультрапро изведении тогда и только тогда. когда найдется.элементx A(x)ультрапроизведения-

такой что множество таких, что принадлежит уль (трафильтруai)i I, Но, если ложноiна Iбольшинстве, Mi |= Aкомпонент(ai), то найдется- элемент ультрафильтра. x A(x) такой что для каждого найдется, при котором ложно в X ЭтиI, по ,аксиоме выбора и iдаютXискомый элементai, ультрапроизведенияA(ai) (внеMXi. определяемai его значения произвольным образом.)

292 ГЛАВА 10. НЕСТАНДАРТНЫЙ АНАЛИЗ

Теперь для завершения доказательства достаточно заметить что формула ис тинна на большинстве компонент ттт она не является ложной, на большинстве- компонент. Итак если все компоненты ультрапроизведения и даже их большинство являются, моделями некоторой теории то и само ультрапроизведение( является)

ее моделью , Итак одной. из моделей нестандартного анализа действительно является

множество, последовательностей стандартных действительных чисел но эти последовательности отождествляются если они совпадают на большинстве, элементов ,

В частности. бесконечно большие числа представляются бесконечно воз растающими последовательностями, если последовательность принимает лишь- два значения скажем 0 и 1 то она равна, одному из этих чисел какому имен но, зависит от( ультрафильтра, ), ). ( -

Глава Естественный вывод в классической11. логике

О СТРУКТУРЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ § 11.1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВ

Семантические таблицы являются аппаратом проверки утверждений и плохо работают в конкретных теориях Это скорее чисто логическое, средство Математик доказывает утверждение. и даже построение контр примера .для него выглядит как частный случай,доказательства посколь - ку при этом он также опирается на теорию При помощи семантических, - таблиц мы должны были бы заново воспроизвести. модель теории что бы заняться доказательством или тем более контрпримером Конечно, - теорема об устранении сечений могла бы здесь помочь но не.при поис, ке контрпримера , - Рассмотрим типичные. блоки математического доказательства Оно начинается с формулировки доказываемого утверждения которое. ча ще всего имеет вид Все для которых выполнено обладают, свой- ством или что то“ же самоеA, Если объект таковBчто, то для не- го выполненоC”, ,и Далее произносится, “ ритуальнаяA фраза, Bтипа, Возь- мем произвольноеC”. такое что К выбранному применяются“ - ранее доказанные теоремыx (A), либо, строятсяB”. вспомогательныеx объекты к

которым они опять таки применяются, Порою появляются конструкции, типа Докажем следующее- вспомогательное. утверждение Разберем по отдельности: “ все возможные случаи Предположим противное”, “ Полученное противоречие доказывает теорему”, “ Аналогично преды. . .

дущему Очевидно что Очевидно что”,замечания“ Аналогич- но и. .аналогично. ”, “ ему, Очевидно. . . ”. что , чаще всего являются“ ука- заниями. . . ” , на дыру в доказательстве, ” и неистощимым, . . . ” источником прямых- ошибок и неточностей. А вот остальные конструкции необходимо пред-

294 ГЛАВА 11. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ВЫВОД

1 Как и во многих других случаях практически невозможно установить кому же при надлежит данный результат Одни,ссылаются на Филолая другие утверждают, что он- всего лишь разгласил результаты. школы Пифагора скрывавшиеся, от профанов во, избе жание соблазна Но Теэтет во всяком случае дал ясное, и законченное доказательство-

. , , .

2 Многие считают что ее началом была теорема Пифагора но это пожалуй неточно по следующим причинам, Во первых теорема Пифагора имеет, естественную, , и при ятную формулировку которая. -была известна, вавилонянам за тысячу лет до Пифагора- и установлена полуэмпирически, Во вторых неизвестно что за доказательство ей дал сам Пифагор но зато известно насколько. - легко, впасть в самообман, при доказательстве такого приятного, результата и,не заметить дыр Эмпирически же проверить несоизме римость диагонали со стороной невозможно теорема. Теэтета уже чисто теоретический- результат Более того для греков формулировка, этой теоремы была и крайне неесте ственна и. неприятна, так что доказывать ее необходимо было строго и без пробелов- иначе ее, бы не приняли, . ,

Внутри вспомогательного вывода некоторые переменные могут

• быть объявлены произвольными.

296 ГЛАВА 11. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ВЫВОД

§ 11.2. ПРАВИЛА ЕСТЕСТВЕННОГО ВЫВОДА

Прежде чем дать формальное определение естественного вывода про иллюстрируем на примерах то представление в котором он использу, - ется в нашем пособии и в упражнениях После, появления языков про- граммирования такой способ введения сложных. формальных понятий- перестал быть экзотикой Никто не пытается сначала дать полное фор мальное определение языка. а уж затем показывать программы на- этом языке А сложность концепцийC++, логики и языков высокого уровня одна и та же. .

Общая структура 11.2.1. Импликация и конъюнкция.

Правила естественного вывода группируются по логическим связкам которые они рассматривают и делятся на прямые и косвенные Прямое, правило позволяет перейти ,от формул к формулам например .правило применения обычно называемое правилом извлечения, следствий,

или традиционным, латинским именем“ modus ponens, ”

AA B

позволяет перейти от формул и B к формуле Второе из пра вил касающихся импликацииAправилоA Bвведения Bобычно. называе- мое, правилом дедукции косвенное, оно опирается на, целый вспомога- тельный вывод: , , -

A· · ·

B

A B

Вспомогательный вывод или подвывод начинается с допущения отме ченного звездочкой и заканчивается( результатом) Допущение времен, - но принимается в качестве, истины и действует внутри. данного вспомо- гательного вывода Сам вспомогательный вывод может состоять из мно- гих шагов включать. вложенные вспомогательные выводы которые та- ким образом, образуют древовидную или блочную структуру( хорошо, - известную Вам, из языков программирования, На самом, деле, она бы ла заимствована языками программирования из. логики Он помечает- ся вертикальной чертой слева, чтобы отметить, что все)., что записано-

При помощи этих четырех правил можно привести первый пример вывод формулы Построим этот: вывод постепенно(A. B) & (B C) (A C).

Итак, нужно доказать импликацию. Для этого необходимо предпо-

ложить посылку и вывести ее заключение.

И на самом деле вывод пишется с двух сторон поскольку нужно иметь в виду и данные, и цель.3 ,

11.2.2. Дизъюнкция и разбор случаев

Теперь рассмотрим правила для дизъюнкции Задача их корректного опре деления несколько сложнее, хотя основной способ. рассуждений, бази- -

рующийся на дизъюнкции известен еще со времен Аристотеля Это так называемая конструктивная, дилемма. .

Если A B, и из A следует C, а из B следует D, то C D.

300 ГЛАВА 11. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ВЫВОД

Таким образом правило конструктивной дилеммы заменяется не сколькими фиксированными, шагами вывода Такие правила называют- ся выводимыми в исчислении . - Первый из рассмотренных. нами примеров на самом деле показыва ет что и известное правило цепного заключения или правило силлогизма-

также, выводимо: , ,

A B B C

A C

Естественно что правила для которых установлена выводимость мо гут свободно, применяться, в выводе Они не так уж сильно сокращают, - его длину но значительно увеличивают. понятность и упрощают струк туру. , -

Отрицание Приведение к абсурду и 11.2.3. “ от противного. ”. A ¬A