Непейвода. Прикладная логика

7.2. ПОДСТАНОВКА

191

g)

Если

то

A = B, B = C,

A = C.

7.2.5. Произведите замену x на x + y, y на x · z и i на round(x) в выра-

жении

x+c

n

yi ·

a+y

Z xi ·

Z f(x, y, i) dx dy.

X

Таким образом, мы должны определить, во-первых, какие из синтакси-

ческих объектов являются интерпретируемыми и, соответственно, ка-

кие служат лишь для удобства преобразований интерпретируемых объ-

ектов; во-вторых, что является интерпретацией и как “ вычисляется” 1

значение объекта в интерпретации.

Семантика классической логики основывается на жестких эписте-

мологических допущениях:

1.

Значение высказывания зависит лишь от значений его компонент,

но не от их смысла.

2.

Незнанием можно пренебречь либо рассматривать его как разно-

видность знания.

3.

Свойства предметов неизменны, правила не имеют исключений.

4.

Имеются лишь два логических значения — истина и ложь.

Удивительно то, насколько широка оказывается сфера применимо-

сти этих жестоких ограничений и насколько беспомощно выглядят по-

пытки их умеренного ослабления, например, введением промежуточ-

ных истинностных значений2. Нижеследующие определения выражают

перечисленные философские принципы. Для удобства истину мы часто

будем обозначать 1 либо >, а ложь —

0 либо .

обстоит не так гладко,

С семантикой языка высших порядков дело

как с синтаксисом и с семантикой языка первого порядка. Тем не менее

мы можем задать интерпретацию в

“ стандартном случае”, который на

самом деле скрывает немало подводных камней и уже не столь универ-

сален, как синтаксис языка конечных порядков.

§ 8.1. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЯЗЫКА

КОНЕЧНЫХ ТИПОВ

Пусть F(A, B) —

множество функций из A в B.

функция ι, сопо-

Определение 8.1.1. Интерпретация сигнатуры σ —

ставляющая каждому исходному типу τ множество значений Uτ = ι(τ),

каждому сложному типу τ = (τ1, . . . , τn → π) его универс

Uτ = F (Uτ1 × · · · × Uτn , Uπ) ,

каждой константе c C типа τ(c) ее значение из Uτ (c), каждой опера-

ции и квантору —

значение соответствующего типа.

Таким образом, в данной интерпретации задаются лишь значения

исходных символов; значения сложных выражений вычисляются. Но

для вычисления необходимо расширить сигнатуру σ, поскольку у нас

просто может не найтись обозначений для элементов универса.

2 Вернее, тут стоит вспомнить дзэнское (точнее, чаньское) изречение:

Когда я не думал о просветлении, горы были горами и реки были река-

ми. Когда я стал на путь к просветлению, горы перестали бытьь горами,

а реки перестали быть реками. Когда я достиг просветления, горы опять

стали горами, а реки —

реками.

8.1. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЯЗЫКА КОНЕЧНЫХ ТИПОВ

195

196

ГЛАВА 8.

СЕМАНТИКА КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Рассмотрим теперь конкретизацию общего определения интерпре-

тации для сигнатур классической логики.

Определение 8.1.4. (Интерпретация логической сигнатуры σ)

Интерпретация сигнатуры σ —

четверка M = (U, C, P, F),

где:

U — непустое множество (называемое универсом).

C —

функция, сопоставляющая каждой константе c C ее значение из

U.

P функ-

P —

функционал, сопоставляющий каждому предикату P

цию из Un в {, >}, где n –

арность P .

F —

функционал, сопоставляющий каждому функциональному симво-

лу f F функцию F(f) из Un в U, где n —

арность f.

Определение истинности следует таблицам истинности для пропо-

зициональных связок и стандартному пониманию истинности для кван-

торов. Но оно полезно в следующих отношениях:

i)

Точно определяется, как переносится интерпретация символов на

более сложные объекты.

ii)

Устанавливается, что говорить об истинности или ложности мож-

но лишь для замкнутых формул и лишь в заданной интерпрета-

ции.

iii)

Можно оценить количество операций, необходимых для вычисле-

ния логического значения формулы. Вычисление бескванторной

формулы производится за n шагов, где n —

количество логиче-

ских связок. Для бесконечного универса и формул, содержащих

кванторы, прямое вычисление требует бесконечного времени, и

необходимо искать средства косвенной оценки значений формул.

Для конечного универса с n элементами и формул, включающих

k этажей вложенных друг в друга кванторов, оценка числа дей-

ствий есть nk. Таким образом, даже при небольшом n вычисление

сложных формул оказывается слишком трудоемким,

а при боль-

шом n (соответствующем, например, числу элементов в средней

практической базе данных —

порядка миллиона) уже вычисление

формулы, содержащей два квантора x y, может оказаться непо-

мерно долгим.

8.1. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЯЗЫКА КОНЕЧНЫХ ТИПОВ

197

Предложение 8.1.2. В интерпретации M замкнутая формула A имеет

значение Истина

либо Ложь.

При этом до-

Доказательство.

Индукцией по построению формулы.

статочно проверить для каждого пункта определения истинности, что

разобранные в нем случаи исчерпывающие и взаимно исключающие.

Например, для x A(x) либо при всех значениях x из U A(x) ложно,

либо для какого-то из них оно истинно.

Практическая работа

Работа со сложными высказы-

Работа с программой “ Мир Тарского”.

ваниями и их интерпретацией (предложения Вайнера, Монтегю, Поста,

Рассела, Шредера, Цорна).

Упражнения к § 8.1

На интерпретациях из двух предметов, варьируя значение R, про-

верьте, всегда ли истинны следующие формулы:

8.1.1. x y R(x, y) y x R(x, y).

8.1.2. x y R(x, y) x y R(x, y).

8.1.3.

x y R(x, y) x y R(x, y).

8.1.4.

y R(y, y) x y R(x, y).

8.1.5.

x y R(x, y) & y x R(x, y) x y(R(x, y) & R(y, x)).

8.1.6.

Если универс —

множество всех людей, Мать(x, y) означает, что

x является матерью y, то верно ли утверждение y x Мать(x, y)?

8.1.7. Приведите пример формулы в сигнатуре из одного предиката R(, ),

которая не может быть истинна ни на какой интерпретации с ко-

нечным универсом, но истинна при некоторой интерпретации с

бесконечным.

8.1.8.

Пусть an —

последовательность действительных чисел. Когда вер-

на формула ε (ε > 0 n (n N & |an| < ε))?

8.1.9. Пусть ϕ —

функция из R в R. Когда верна формула

198

ГЛАВА 8. СЕМАНТИКА КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

8.1.10. Пусть универс —

множество натуральных чисел, >, + интер-

8.1.15.

Докажите, что M |= (A B) тогда и только тогда, когда A и B

имеют одинаковые значения.

§ 8.2.

ТЕОРИЯ, МОДЕЛЬ, ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДСТВИЕ

Формализация задается не только синтаксисом и семантикой формаль-

ного языка (эти компоненты как раз чаще всего берутся традиционны-

ми, из хорошо известного крайне ограниченного набора), но и множе-

ством утверждений, которые считаются истинными.

Именно эта фор-

мулировка базисных свойств, аксиом, описывающих некоторую пред-

метную область, обычно рассматривается как математическое описание

объектов. Таким образом, практически всегда нас интересуют не все ин-

терпретации данной сигнатуры,

а лишь те из них, на которых выполне-

ны аксиомы.

множество замкнутых формул сигна-

Определение 8.2.1. Теория Th —

туры σ. Если A Th, то A —

аксиома Th. Модель Th —

интерпретация,

в которой истинны все ее аксиомы.

8.2. ТЕОРИЯ, МОДЕЛЬ, ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДСТВИЕ

199

Любое отношение, удовлетворяющее этим аксиомам (например, за-

данное формулой |x − y| < ε), является отношением близости, т. е. ре-

флексивным и симметричным,

и наоборот, любое отношение близости

удовлетворяет этим аксиомам. Заметим, что чаще всего, несмотря на все

старания, достичь такой идеальной ситуации просто невозможно: тео-

рия либо будет описывать не все имевшиеся в виду системы объектов

и отношений, либо не только подразумевавшиеся. В математике стре-

мятся избежать хотя бы первой неприятности. Поэтому для некоторых

теорий принято говорить еще и о стандартных моделях, являющихся

моделями в смысле нашего определения, но не исчерпывающих класса

всех моделей4.

Формула A является теоремой (или след-

Определение 8.2.2 (Теоремы).

ствием) теории Th, если A истинна во всех моделях Th. B —

следствие

A, если B —

теорема {A}. Отношение “ A является теоремой Th” обо-

значается Th ` A. `

называется

отношением логического следования.

Таким образом,

истинность аксиом необходимо влечет истинность

теорем. B —

следствие A, если B истинно во всех моделях, в которых

истинно A.

Так, например, x A(x, x) —

следствие x y A(x, y).

Предложение 8.2.1. (Свойства отношения `)

a) (Рефлексивность) {A} ` A.

b) (Транзитивность) Если для всех B Th1 Th ` B, и Th1 ` A,

то Th ` A.

c) (Монотонность) Если Th ` A, то Th Th1 ` A.

d) (Теорема дедукции) Если Th {A} ` B, то Th ` A B.

Доказательство. Рефлексивность очевидна.

Транзитивность. Пусть M —

модель Th. Если из Th следуют все ак-

сиомы Th1, то любая из них истинна в M. Значит, M является и моделью

Th1. Следовательно, M |= A. Таким образом, A истинна в произвольной

модели Th и является теоремой Th.

Монотонность.

Поскольку любая модель Th Th1 является моде-

лью Th, теорема Th

является и теоремой Th Th1.

200

ГЛАВА 8. СЕМАНТИКА КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Теорема дедукции. Пусть Th {A} ` B. Пусть M —

произволь-

ная модель Th. Тогда в ней либо истинна, либо ложна A.

Разберем оба

случая.

M |= A. Тогда M является моделью Th {A}. Следовательно, в ней

истинно B. А поскольку (> >) = >, в M истинна A B.

M =| A. Тогда, поскольку из лжи следует все, что угодно, M |= A

B. Перечисленные в предложении 8.2.1 важнейшие свойства отноше-

ния следования были впервые систематизированы Тарским в 1930 г. Они

выполнены не только для классической логики, но и для других тра-

диционных логических систем. В самом деле,

при доказательстве всех

свойств, за исключением теоремы дедукции, мы даже не использовали

классического определения истины. Достаточно лишь, чтобы теорема

принимала значение истина во всех моделях теории и чтобы от добавле-

ния новых формул истинность не разрушалась

(для монотонности). По-

этому Тарский счел возможным постулировать рефлексивность, тран-

зитивность и монотонность как общие свойства отношения следования.

Теорема дедукции не включалась в стандартную аксиоматику следова-

ния, но рассматривалась (и рассматривается)

как крайне желательное

свойство, нарушение которого без фундаментальных причин служит по-

казателем ущербности формализма.

В связи с необходимостью формализации сложных и нетрадицион-

ных знаний в последнее время стали рассматриваться логики, наруша-

ющие аксиоматику Тарского.

В частности, если наши ресурсы ограничены, то не всегда удается

сохранить транзитивность (для получения аксиом Th1 может потребо-

ваться столько “ сил”, что на вывод B их уже не хватит).

Несколько другая ситуация с монотонностью. В жизни часто случа-

ется, что новое знание перечеркивает старое. Например, зная, что Маня

вышла замуж за Ваню, мы заключаем, что она замужняя женщина, а

узнав, что Ваня умер, мы заключаем, что она —

не замужняя, а вдова5.