Непейвода. Прикладная логика

5.6. ГРАФЫ

121

5.5.5. По возможности не проводя вычислений, определите, каковы от-

ношения порядка между следующими числами:

1.

Число отношений эквивалентности на n-элементном множе-

стве X.

2.

Число разбиений натурального числа n на сумму натураль-

ных положительных чисел.

3.

Число отношений эквивалентности на n-элементном множе-

стве X, с точностью до изоморфизма.

4.

Число разбиений n-элементного множества X на подмноже-

ства.

5.

Число представлений n в виде суммы положительных целых

чисел, расположенных в порядке неубывания.

6.

Число таких наборов натуральных положительных чисел Y ,

что

i = n.

i Y

X

7.

Число таких множеств натуральных положительных чисел

Y , что

i = n.

i Y

X

§ 5.6.

ГРАФЫ

То, что рассказывается в данном параграфе, может рассматриваться как

пример представления сложных структур.

Графы появились как наглядное представление для системы объек-

тов и связывающих их отношений, но быстро переросли это конкретное

назначение.

четверка hV, R, begin, endi, где V

Определение 5.6.1. Граф G —

—

множество вершин графа G, R —

множество его ребер, begin, end —

функции из V в R. begin r называется началом ребра r R, end r —

его

концом.

Принятая в математике форма определения

означает на самом деле отказ в данный момент от содержательного рас-

крытия определения и замену его перечислением понятий, используе-

мых в дальнейшем.

Смысл такого “ определения” раскрывается в после-

дующих определениях42. Но при этом необходимо помнить, что любой

математический термин нагружен основательным множеством смыслов,

слишком многие из которых обычно лишь подразумеваются. Например,

когда говорится “ множество”, неявно предполагается, что порядок его

элементов безразличен, что среди его элементов нет повторяющихся,

и т.

п.

Итак, в графе есть вершины и ребра. Для каждого ребра есть на-

чало и конец. Обычно на чертежах вершины обозначаются точками, а

ребра —

стрелками. Введем терминологию, касающуюся вершин и ре-

бер.

Петля — ребро, у которого начало и конец совпа-

Определение 5.6.2.

дают. Ребро r выходит из вершины v, если begin r = v. Ребро r входит

в вершину v, если end r = v. Путь —

последовательность ребер, в ко-

торой начало каждого последующего ребра совпадает с концом преды-

дущего. Ко-путь —

последовательность ребер, в которой конец каждо-

го последующего ребра совпадает с началом предыдущего43.

Связь —

последовательность путей и ко-путей, такая, что начало каждого следу-

ющего ее члена совпадает с концом предыдущего44. Цикл — конечный

путь, такой, что его начало и конец совпадают. Кортеж конечного пу-

ти —

кортеж его ребер, взятых в том же порядке. Путь (ко-путь) мак-

симален, если он конечен и его нельзя продолжить. Кратные ребра —

ребра с одними и теми же началом и концом. Начальная вершина —

вер-

шина, в которую не входит ни одно ребро. Конечная вершина —

верши-

на, из которой не выходит ни одного ребра. Изолированная вершина —

вершина, являющаяся одновременно начальной и конечной. Граф свя-

зен, если между каждыми двумя его вершинами есть связь.

Проиллюстрируем введенные понятия на примерах с рис. 5.7.

Пример 5.6.1. В графе 1 нет петель и кратных ребер. В графе 2

есть и те

и другие. В графе 3

все пути, за исключением одного, конечны. В графе

4 есть два минимальных пересекающихся цикла.

5.6. ГРАФЫ

123

·

·

·

·

·

·

Граф 1

Граф 2

Граф 3

· · ·

·

· · ·

·

·

·

·

· Граф 4

·

·

·

·

·

·

Граф 5

·

·

Рис. 5.7: Графы

Граф называется деревом, если у него имеется такая вершина v0

—

корень дерева, что из v0

в любую другую вершину v ведет ровно один

путь.

Доказательство. Только тогда. Пусть G —

дерево. Докажем все усло-

вия.

1) Таких вершин не может быть две, поскольку тогда ни в одну из

них нет пути из корня, а корень один. Если же их нет вообще, то в корень

входит ребро a, и значит, есть вершина w,

из которой можно попасть в

корень.

124

ГЛАВА 5. БАЗОВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

a1

a2

v1 ·

·v2

Рассмотрим пути P1 [a1] и P2 [a2]. Оба они ведут в v из корня. А это

противоречит свойствам дерева.

3)

Докажем его приведением к абсурду. Пусть в графе есть бесконеч-

ный ко-путь a0, a1, . . . an,. . . , проходящий через вершины w0, . . . wn,. . .

Тогда, поскольку корень —

начальная вершина, он на этом пути не ле-

жит. Есть путь из корня в a0. Поскольку этот путь содержит конечное

число вершин, то не все вершины из ко-пути входят в него. Значит, он

имеет вид

P1 = hb0, . . . , bi = aj, . . . , a0i .

Здесь все начала ребер bk

не лежат на бесконечном ко-пути. А вот конец

bi лежит на этом ко-пути,

и концом его является wj+1.

Возьмем теперь wj+2. Имеется путь P2, ведущий из корня в wj+2.

Тогда путь P2 [aj+1, aj, aj−1, . . . , a0] ведет из корня в w0

. Но он содер-

жит вершину wj+2, которой не было на исходном пути. Таким образом,

из корня получаются два пути в одну точку, что противоречит опреде-

лению дерева.

Тогда. Пусть все условия выполнены. Единственную вершину, в ко-

торую ничего не входит, сделаем корнем. Теперь докажем, что есть путь

из корня в любую вершину. Доказательство ведем от противного. Пусть

a0 —

вершина, в которую нет пути из корня. В нее входит ребро, на-

чало этого ребра назовем a−1. Из a−1 есть путь длины 1

в a0. Сделаем

условие

Из a−n есть путь длины n в a0

(5.17)

инвариантом математической индукции45.

5.6. ГРАФЫ

125

Пусть построено a−n. Тогда в него нет пути из корня, поскольку этот

путь дополнялся бы до пути в a0. a

(n+1) построим как начало един-

ственного ребра, входящего в a−n.

−

Таким образом, по вершине, в

которую нет пути, мы строим беско-

Предложение 5.6.2. Последовательность вершин является связью ттт

для любых an и an+1

есть ребро, их связывающее

(т. е.

либо из an в

an+1,либо из an+1 в an).

связный ориентированный граф без ци-

Определение 5.6.3. Сеть —

клов.

Сеть отличается от дерева тем, что в одну вершину может входить

несколько ребер, т. е. однажды полученный объект может использовать-

ся многократно. В частности, граф 5 на рис. 5.7 является сетью.

С понятием графа связано несчитанное множество недоразумений

и недоговоренностей. Прежде всего так и тянет “ упростить” понятие

графа, например, следующим образом:

Определение 5.6.4. (Графы в значительной части элементарных книг

по математике) Граф —

пара hV, Ri, где R (V × V ) \ idV .

Если мы принимаем определение 5.6.4, то графы уже не могут со-

держать ни петель, ни нескольких дуг с одинаковым началом и концом.

Поэтому приходится вводить новые понятия: квазиграф —

граф с пе-

тлями, псевдограф —

граф,

в котором могут быть кратные ребра из a

в b. Ну что же, нам не привыкать, что в элементарной математике “ для

упрощения” многие понятия излишне сужаются и тем самым запутыва-

ются.

Далее, в большинстве книг по математической теории графов за ис-

ходное принимается следующее определение:

пара V, R, где ка-

Определение 5.6.5. (Неориентированный) граф —

ждый из элементов R —

двухэлементный набор вершин из V .

126

ГЛАВА 5. БАЗОВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

Определение 5.6.5 определяет существенно другую структуру. Раз у

нас ребра становятся наборами, то начало и конец ребра более не разли-

чаются, и поэтому такие графы называются неориентированными. Те,

кто принимают в качестве исходного понятия неориентированные гра-

фы, называют наши графы ориентированными, либо сокращенно оргра-

фы. В неориентированных графах даже терминология часто меняется:

вершина называется точкой, ребро —

дугой.

Чаще всего в структурах данных графы ценны не сами по себе, а как

вместилища для другой информации. В этом случае значащая информа-

ция размещается в вершинах графа, а иногда и на его ребрах. Матема-

тически это формулируется следующим образом:

Определение 5.6.6.

Оснащенный граф —

тройка hG, ϕ, ψi, где G —

граф, ϕ —

функция, областью которой служит множество его вершин,

ψ —

функция, областью которой служит множество его ребер. Если v —

ребро графа G, то ϕ(v) называется оснащением вершины v либо инфор-

мацией, приписанной данной вершине. Соответственно и для ребер.

При представлении данных в программах выработалась уже почти

стандартная структура данных для графа с оснащенными вершинами:

type vertex=

record

content: datatype;

arcs:

array[namearcs] of ^vertex;

end;

В данном случае тип дуги явно не вводится, дуги являются ссылками

на вершины,

в которые они ведут.

Упражнения к § 5.6

на рис. 5.7?

5.6.1.

Есть ли бесконечные пути в графе 2

5.6.2.

В книгах можно часто встретить определение:

и

Путь —

последовательность вершин, такая, что an

an+1 соединены ребром.

Для ка-

Для каких классов графов данное определение корректно?

ких —

нет?

5.7. ДИАГРАММЫ

127

5.6.4. Плоским называется граф, который может быть изображен на плос-

кости таким образом, что вершины изображаются точками, ре-

бра —

непрерывными кривыми из начала в конец, причем раз-

личные ребра не пересекаются. Является ли пятиконечная звезда

плоским графом46?

5.6.5. Верно ли, что добавление любого конечного числа кратных ребер

к плоскому графу оставляет его плоским?

§ 5.7.

ДИАГРАММЫ

Здесь мы познакомимся с еще одним диалектом языка современной ма-

тематики —

началами языка коммутативных диаграмм, широко приме-

няемых ныне повсюду, где пользуются теорией категорий. Начнем, как

и обычно,

с примера.

Попытаемся дать характеризацию прямых произведений и прямых

сумм,

не прибегая к теоретико-множественному языку, лишь через их

отображения. На стр. 87 мы содержательно описали, как скомбиниро-

вать из n отображений в члены произведения одно отображение в X1 ×

· · · × Xn и как построить отображение из произведения в другое про-

изведение на базе отображений компонент. Запишем эти свойства при

помощи коммутативных диаграмм (см. рис. 5.8.)

Сплошная стрелка на диаграмме означает заданное отображение.

Пунктирная стрелка —

отображение, однозначно строящееся по задан-

ным. Из алгебры (именно на стыке алгебры с топологией впервые стали

интенсивно использоваться подобные диаграммы) пришел ныне обще-

принятый термин: коммутативная диаграмма, означающий, что если

рассматривать диаграмму как граф и брать композиции отображений по

128

ГЛАВА 5. БАЗОВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

A

A

f

C

f

pr1

pr1

pr1

(f,g)

C

A × B

A × B f×g C × D

g

pr2

pr2

pr2

B

C

D

g

Рис. 5.8: Диаграммы для прямого произведения

A

A

f

C

f

in1

in1

in1

C

f g

A B

A B f g C D

g

in2

in2

in2

B

C

D

g

Рис. 5.9: Диаграммы для прямой суммы

разным путям, ведущим из вершины v1

в вершину v2

, то полученные

отображения будут одинаковы. Ныне в математических работах приня-

то, что если явно не оговорено противное, все приведенные диаграммы

коммутативны.

А теперь построим (см. рис. 5.9) такие же диаграммы для прямой

суммы.

Сравнивая диаграммы рис. 5.8 и рис. 5.9, видим, что в сущности они

отличаются лишь направлением стрелок. Значит,

понятия прямого про-

5.7. ДИАГРАММЫ

129

ность составляет аксиоматику теории категорий. Она зачастую назы-

вается еще теорией стрелок, а порою ее называли абстрактной чепухой.

Определение 5.7.1. Категория —

пара классов: класс объектов Ob и

класс морфизмов Mor, на которых заданы следующие операции:

1.

Унарные операции Dom f и Codom f, сопоставляющие каждому

морфизму два объекта, называемые его областью значений и обла-

стью определения, либо, соответственно, началом и концом, либо

областью и кообластью. Через Mor(a, b) обозначается множество

морфизмов с началом в a и концом в b (морфизмов из a в b). То,

что f является морфизмом из a в b, обозначается f : a → b.

2.

Унарная операция e, сопоставляющая каждому объекту a единич-

ный морфизм ea из a в a.

Итак, предполагается лишь ассоциативность композиции и суще-

ствование единичного морфизма.

Теперь строго зададим понятие коммутативной диаграммы.

Определение 5.7.2. Коммутативная диаграмма —

оснащенный граф,

вершинам которого приписаны объекты категории, а ребрам —

морфиз-

мы из начала ребра в его конец, удовлетворяющий следующему усло-

вию:

на каждом пути из вершины v1 в вершину v2 композиции морфизмов

этого пути равны.

Отметим несколько умолчаний, встречающихся в теории категорий.

Пунктирные стрелки не включены в строгое определение.

Это тесно

связано с тем, что на диаграммах с пунктирными стрелками (а порою и

на других диаграммах) имеется неявная расстановка кванторов. Неко-

торые объекты и морфизмы считаются данными, некоторые —

опреде-

ляющимися через данные (именно их обозначают пунктирными стрел-

ками), а другие —

произвольными, причем определяется это лишь из

контектста, окружающего данную диаграмму. Например, в диаграмме

5.8 даны два объекта a, b, a×b и проекции определяются через них, объ-

ект c и его морфизмы —

произвольные, и, наконец, пунктирная стрелка

однозначно определяется через все остальное.

да и само

Пример 5.7.1. Зададим аксиоматику единичных морфизмов,

понятие композиции вместе с его ассоциативностью, при помощи ком-

мутативных диаграмм.

a·

f

·b

g

d·

h

·c

А кстати, почему здесь нет прямой стрелки от a к d?

Стрелки категории отнюдь не обязательно являются функциями.

Пример 5.7.2. Возьмем произвольное частично-упорядоченное множе-

ство X. Оно может рассматриваться как категория, в которой объектами

служат элементы множества X, множество морфизмов из a в b непусто,

лишь если a 6 b, и в этом случае состоит из единственного морфизма,

называемого морфизмом порядка.

Пример 5.7.3. Полугруппа —

алгебраическая структура с одной ассо-

циативной операцией умножения ◦,

такой, что существует единица:

e ◦ x = x ◦ e = x.

Любая полугруппа становится категорией, в которой единственный объ-

ект —

сама эта полугруппа, а морфизмы —

ее элементы.