Непейвода. Прикладная логика

1.2. ЗАЧЕМ ИЗУЧАТЬ?

11

1.2. ЗАЧЕМ ИЗУЧАТЬ?

13

2. применения функции к аргументу7

f(x).

• Понятие имени вместе с операцией именования понятия и отно-

шением ‘имя N именует объект x’.

• Понятие системы, которое делает осмысленным, в частности, от-

ношение ‘часть —

целое’. Фундаментальное отношение здесь —

отношение связи.

Второе из представлений используется в λ-исчислении, оно стало од-

ним из главных инструментов, в частности,

в современной математи-

ческой теории программирования, последним из них пока что повезло

меньше: логики знают о них, но толком еще использовать не смогли8.

Перед Пеано и его учениками стояла другая задача. В то время Ита-

лия быстро развивалась и требовались новые учебники для вузов. Тра-

диция практически не давила, поскольку итальянских учебников хоро-

шего уровня в области математики долго (после XVII века) просто не

было, образованные люди пользовались французскими и немецкими.

Именно как педагог и подошел Пеано9 к созданию символического язы-

ка, и неудивительно, что его система обозначений оказалась самой удач-

ной. Впоследствии ее лишь подправляли.

В частности, в те времена математики очень не любили нагромо-

ждений скобок (сейчас вычислительные машины к этому уже приучи-

ли). Старшее поколение еще помнит, как внимательно следили учителя,

чтобы скобки первого уровня были круглыми, второго — квадратны-

ми, а третьего —

фигурными. Пеано избежал психологической опасно-

сти, заменяя скобки точками у логических связок: чем сильнее связыва-

ет связка, тем меньше у нее точек, и, соответственно, чем она главнее,

тем их больше.

Он решительно отказался от обозначений операций ‘и’ и

‘или’ как умножения и сложения: раз это —

другие операции, то и знач-

14

ГЛАВА 1. НЕОБХОДИМОСТЬ ТОЧНОГО ЯЗЫКА

16

ГЛАВА 2. ПРОСТЕЙШИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ

13 января

1995 г. в 11.35

на перекрестке улиц

Пушкинской и Советской автомобилем “ Тойота”,

принадлежащим гр. Хасбулатову, находившему-

ся в состоянии опьянения средней степени, был

(2.9)

сбит гр.

Иванов Иван Иванович, который полу-

чил тяжкие телесные повреждения.

Не только Иванов, но и Петров прогулял сего-

дняшнюю лекцию.

(2.10)

По словам Сталина, Троцкий был врагом СССР.

(2.11)

Большинство членов собрания проголосовало за

первый вариант решения.

(2.12)

Все волки —

млекопитающие.

(2.13)

Простых чисел бесконечно много.

(2.14)

Геракл убил немейского льва.

(2.15)

У русалок зеленые волосы.

(2.16)

У нынешнего российского императора красный

нос.

(2.17)

Рим расположен на реке Тибр, основан, согласно

Титу Ливию,

Ромулом и находится под особым по-

(2.18)

кровительством Юпитера.

Некоторые высказывания являются истинными, некоторые —

лож-

ными. Например, (2.1), (2.3), (2.7) —

безусловно истинные высказыва-

ния, (2.2), (2.5) —

безусловно ложные.

Истинность либо ложность высказывания не всегда легко устано-

вить. Например, высказывание (2.7) требует доказательства и называет-

ся теоремой Евклида. Как ни странно,

могут возникнуть сомнения даже

по поводу высказывания (2.4), которое традиционно относится к числу

трюизмов, общеизвестных истин. В самом деле, по принятому в геогра-

фии определению при слиянии двух рек притоком считается та, которая

несет меньше воды,

а годовой сток Волги при слиянии с Камой почти

2.1. ЧТО ТАКОЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ?

17

Далее, порою вопрос об истинности или ложности высказываний

переносится из нашего мира в какой-то другой, т. н. ‘возможный’ мир1.

Например, все признают истинным утверждение о Геракле, но ведь на

самом деле неизвестно, был ли он и что делал. . . Просто для нас неко-

торые возможные миры, например, Библии, сказок, греческих мифов,

имеют почти такую же реальность, как и настоящий2 3.

Иногда высказывание относитcя не столько к сообщаемому акту,

сколько к его оценке.

Например, утверждение (2.11) не зависит от “ ре-

альной” истинности данного факта, но может быть строго доказано ли-

бо опровергнуто анализом исторических документов, касающихся того,

что говорил и делал Сталин.

А в сложном высказывании могут быть перемешаны и реальность,

и возможные миры, и оценки; см., например, (2.18).

В естественном языке можно сделать следующие замечания о вы-

сказываниях.

Атомарными, элементарными высказываниями естественно считать

такие, которые сообщают единичный факт. Атомарные высказывания

могут быть достаточно сложными с точки зрения грамматики, напри-

мер (2.8), а сложные —

достаточно простыми, например, (2.13). Слож-

ные высказывания образуются из атомарных применением трех видов

операций.

• Логические связки применяются к высказываниям и в результате

дают новое высказывание. Например, это “ не только . . . , но и . . . ”,

или просто конструкция сложносочиненного предложения, как в

(2.18).

• Модальности применяются к высказываниям и изменяют наше

отношение к ним. Например, модальностью является “ По словам

Сталина. . . ”

• Кванторные конструкции применяются к совокупности однород-

ных (отличающихся лишь значениями некоторых параметров) вы-

сказываний либо выражений и дают единое высказывание либо

выражение,

не зависящие от упомянутых выше параметров. На-

пример,

таковы “ Большинство. . . ”, “ Все. . . ” Порою кванторные

конструкции подразумеваются, как, например, в (2.16).

К несчастью, во многих естественных языках (особенно в русском)

модальности,

оценки связаны почти с каждым словом. Например, гово-

ря: “ и A, и B”,

мы подчеркиваем равноправие двух утверждений, а “ не

только A, но и B” —

наоборот, предпочтительность одного из них.

Помимо высказываний, в естественном языке имеется множество

предложений такой же грамматической структуры, которые тем не ме-

нее принципиально не могут иметь четкой и однозначной интерпрета-

ции. Их мы назовем квазивысказываниями.

Например, квазивысказываниями являются утверждения о субъек-

тивных чувствах, скажем, “ Саша любит Машу”. Беда даже не в том, что

понятие любви неточно. Оно, прежде всего, неформализуемо, то есть

каждая его формализация немедленно вызывает к жизни контрприме-

ры4. Далее, оно принципиально непроверяемо, поскольку относится к

внутреннему миру человека и понимается разными людьми совершен-

но неодинаково.

Тем не менее методы логики, и даже математической логики, разра-

ботанные для высказываний, интенсивно применяются (прежде всего

в современных философии и “ искусственном интеллекте” 5) к квазивы-

сказываниям.

Да и мы будем интенсивно пользоваться квазивысказыва-

2.1. ЧТО ТАКОЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ?

19

ниями в наших примерах и упражнениях6. Возникает вопрос: почему

же мы, прекрасно осознавая неприменимость, вообще говоря, традици-

онной математической логики к этому классу предложений, применяем

ее? На это есть две причины.

Во-первых, если как следует разобраться, практически любое при-

менение строго доказанного математического результата на практи-

ке есть выход за те границы, в которых он был доказан. Скажем, при-

меняя действительные числа, мы опираемся на предположение о непре-

рывности измеряемой величины, а до сих пор неясно, непрерывно ли

наше пространство. В таких случаях стыдливо говорят, что точные ме-

тоды математики применяются на практике приближенно.

Опыт такого “ приближенного”

применения показал, что на самом

деле наиболее устойчивыми при выходе за рамки своих обоснований

являются преобразования, в особенности эквивалентные, математиче-

ских выражений. В логике мы сможем даже строго обосновать, что мно-

гие из развиваемых в общепринятой, классической, логике преобразо-

ваний высказываний применяются далеко за ее пределами. Поэтому мы

имеем серьезные основания ожидать, что корректно проведенное пре-

образование квазивысказываний не подведет нас.

Во-вторых, квазивысказывания через посредство модальностей за-

вязаны в неразрывный узел с высказываниями. Например, ‘Саша за-

явил, что он любит Машу’ —

уже высказывание, а ‘Мне кажется, что

Волга впадает в Каспийское море’ —

квазивысказывание.

Упражнения к § 2.1

Выделите высказывания и квазивысказывания.

2.1.1. У меня одна рука.

6 Есть еще одна область, где никак не удается обойтись без квазивысказываний. Оце-

ночные утверждения почти всегда на самом деле квазивысказывания. Например, го-

ворят, что данный результат сильный, ценный, красивый. . . Оценочные высказывания

являются таковыми лишь тогда, когда фиксированы легко проверяемые критерии оцен-

ки. Но в таком случае встречающиеся в них понятия превращаются в термины, а смысл

получившегося строгого высказывания может оказаться бесконечно далек от того, что

имелось в виду при содержательной формулировке (например, оценка интеллектуаль-

ности человека по коэффициенту интеллекта IQ, измеряемому стандартной системой

тестов).

По данной причине необходимо четко понимать, что встречающиеся в данной кни-

ге оценочные утверждения —

квазивысказывания, и они не требуют дополнительных

20

ГЛАВА 2. ПРОСТЕЙШИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ

2.1.2.

У меня расстройство желудка.

2.1.3.

У меня повышенное давление.

2.1.4.

У меня болит спина.

2.1.5.

У меня нет денег.

В нижеприведенных предложениях выделите логические связки,

модальности и кванторы.

2.1.6. (ШБ1)

Каждая программа содержит ошибку.

2.1.7. (ШБ2)

Если программа не содержит ошибок, то неверен приме-

ненный метод7 8.

2.1.8.

По словам преподавателя, у студента Канторовича в каждой про-

грамме не менее десяти ошибок.

2.1.9.

Завтра взойдет Солнце, если только не будет светопреставления.

2.1.10.

Как мне сообщила Маша, наш профессор собирается завалить

на экзамене не менее половины группы.

2.1.11.

Большинство избирателей проголосовало за Уткина.

2.1.12.

Мне кажется, что Иванов думает, что я намерен подложить ему

свинью.

2.1.13.

Мне передали, что Иванов думает, что я намерен подложить ему

свинью.

2.1.14.

Почему высказывание (2.9) уже сложное, в отличие от (2.8)?

утверждения известны в русском программистском фольклоре как 1-я и 2-я

7 Эти два

аксиомы Шуры-Буры (М. Р. Шура-Бура —

профессор МГУ и один из основоположни-

ков русской программистской культуры). Третья аксиома звучит следующим образом:

(ШБ3) Если программа на самом деле полностью и абсолютно пра-

вильна, она никому не нужна.

8 (АПБ) М. Р. Шура-Бура, как он сам подтвердил, никогда не употреблял эти три выска-

зывания вместе, пока не услышал их от автора настоящей книги. Более того, он заявил,

что третье высказывание на самом деле —

принадлежащее автору следствие из первых

двух его утверждений.