Непейвода. Прикладная логика

4.4. РАВЕНСТВО

61

Например, поскольку треугольники, имеющие одни и те же верши-

ны, отождествляются,

мы не можем в геометрическиx доказательствах

различать иx тем, что у одного сначала была проведена сторона AB, а

затем AC, а у другого —

наоборот. Способ, которым они были начерче-

ны, роли уже не играет.

Следовательно, имеет место следующий основной закон равенства:

Если A —

произвольная формула языка нашей

формальной теории, то

x, y (x = y (A(x) A(y))) .

Другими словами, свойства равных объектов эквивалентны. Несколько

неточно выражаясь, равные объекты обладают одинаковыми свойства-

ми. Г. Лейбниц превратил это свойство равенства в его содержательное

определение:

Два предмета равны,

если они обладают одинаковыми свойствами.

Но эти два предмета не могут обладать всеми одинаковыми свойствами,

поскольку уже в формулировке Лейбница они различаются. Поэтому на

современном математическом языке формулировку Лейбница записы-

вают в виде формулы, не укладывающейся в наш стандартный язык ло-

гики:

P (P (x) P (y)) x = y.

(4.27)

Здесь P — переменная по предикатам1.

Таким образом, в математическом утверждении можно заменить рав-

ные объекты друг на друга, и мы получим эквивалентное утверждение.

Например, утверждение, говорящее о числе “4”, мы можем заменить

на эквивалентное утверждение, говорящее о выражении “ 2 + 2”.

Но в

обычном языке не всегда так. Можно сказать, что «Вовочка не знал, что

2+2 — это четыре», но нельзя — « Вовочка не знал, что 2+2 —

это 2+2».

Высказывания, выдерживающие замену равных, называются экстенси-

ональными. Иногда свойство экстенсиональности содержательно ком-

ментируют как зависимость высказывания лишь от объема входящих в

него понятий, но не от их содержания. Соответственно, высказывания,

меняющие значение для равных объектов, называются интенсиональ-

ными, зависящими от содержания.

Еще одно свойство равенства:

x(x = x),

(4.28)

т. е. каждый объект равен самому себе.

Из этиx двух свойств равенства выводятся другие законы равенства,

например,

x, y, z (x = y & y = z x = z) ;

(4.29)

x, y (x = y y = x) ;

(4.30)

x, y, z (x = y & x = z y = z) .

(4.31)

Докажем для образца (4.29): если первый предмет равен второму, а

второй —

третьему, то первый предмет равен третьему. В самом деле,

пусть при конкретных произвольных x, y, z, выполнено x = y и y = z.

Тогда, по основному свойству равенства (4.26) в x = y

можно y заме-

нить на z,

и получим x = z, что и требовалось доказать.

Исключительно важную роль в языке математики играет утвержде-

ние о единственности x, удовлетворяющего данному условию A (напри-

мер, часто приходится доказывать, что решение задачи единственно).

На самом деле обычно подразумевается не только то, что решение

задачи единственно, но и то, что она имеет решение, т. е. доказывается

не только единственность, а существование и единственность объекта,

удовлетворяющего свойству A. При аккуратных формулировках это не-

обходимо оговаривать.

Единственность “ в чистом виде” выражается следующим образом:

x, y(A(x) & A(y) x = y).

(4.32)

4.4. РАВЕНСТВО

63

шение задачи единственно. «Рассуждаем от противного2. Пусть есть два

различных x, y, являющихся решениями данной задачи. Тогда. . . Итак,

мы доказали, что x = y, и полученное противоречие доказывает теоре-

му3».

Заметим, что утверждение «x, удовлетворяющее A, единственно»,

вообще говоря, не предполагает, что оно существует, что задача вооб-

ще имеет решение. Чисто формально, по таблицам истинности, (4.32)

истинно и в том случае, когда x, удовлетворяющих A, вообще нет. По-

этому (4.32) точнее читать «есть не более одного x, удовлетворяющего

То

же высказывание можно выразить и многими другими форму-

A(x)».

лами, часть которых приведена в упражнениях. Мы выбрали наиболее

выразительную.

Соответственно, утверждение «Задача имеет единственное решение»,

«существует единственное x, такое, что A(x)» выражается в форме

x A(x) & x, y (A(x) & A(y) x = y) .

(4.33)

Но (4.33) не самая выразительная запись утверждения о единственно-

сти. Гораздо выразительнее

x y(A(y) x = y).

(4.34)

Итак, то, что существует единственное x, удовлетворяющее A(x),

означает, что условие A(x) на самом деле сводится к равенству этому

единственному x.

Сказать, что точка x является центром окружности, описанной око-

ло треугольника ABC, то же, что сказать, что она совпадает с точкой

Q, построенной при доказательстве теоремы о том, что вокруг любого

треугольника можно описать окружность, и притом только одну.

А теперь наступает черед высказываний типа «существует n такиx

x, что A(x)», «существует не менее n такиx x, что A(x)», «есть не более

n такиx x, что B(x)», где n заранее дано.

Общий способ получить утверждение «существует не более n такиx

x, что A(x)»:

x1, . . . , xn ( y (A(y) x1 = y · · · xn = y)) .

(4.35)

Но здесь мы не утверждаем, что этиx различных x ровно n: если x и y

обозначены по-разному, то это отнюдь не означает, что они принимают

различные значения: они имеют право принимать разные значения, но

имеют право принять и одинаковые.

Итак, мы приходим к необходимости уметь формулировать разли-

чие, чего мы пока тщательно избегали в основном тексте.

Если x = y означает равенство, неразличимость, совпадение пред-

метов, то соответственно ¬(x = y), обычно обозначаемое x 6= y, —

иx различие. Итак, сказать, что есть не менее двух различных решений

задачи, очень просто:

x, y (x 6= y & A(x) & A(y)) .

(4.36)

Так же просто сказать и то, что иx ровно два:

x, y (x 6= y & z(A(z) z = x z = y)) .

(4.37)

А для большего числа решений уже начинаются сложности. Сказать, в

частности, что x 6= y & y 6= z —

недостаточно. Ответьте сами, поче-

му? Возникает следующее выражение, которое употребляется при точ-

ных формулировках вместо расплывчатого «x1, . . . , xn различны»: «все

x1, . . . , xn попарно различны», что переводится в виде длинной конъ-

юнкции различий:

x1 6= x2 & x1 6= x3 & . . . & x1 6= xn

& x2 6= x3 & . . . & x2 6= xn

(4.38)

· · ·

& xn−1 6= xn

4.4. РАВЕНСТВО

65

Подытожим:

66

ГЛАВА 4. МЕТОДЫ ПЕРЕВОДА

З(x) — “ x знает тайну”.

4.4.10.

x, y, z (З(x) & З(y) & З(z) & x 6= y & y 6= z & x 6= z) x З(x).

В — Ваня, Д — дружит.

4.4.13.

x, y z(Д(B, z) z = x z = y).

Обозначения те же, что и в 4.4.13.

6= y ¬ Д(В, z))).

4.4.14.

x, y (Д(В, x) & Д(В, y) & z(z 6= x & z

Ч(x) — “ x – человек”, Л — любить.

4.4.15.

x (Ч(x) y (Ч(y) & z (Л(x, z) & Л(z, x) y = z))).

4.4.16.

x, y, z(x 6= y &y 6= z & x 6= z f(x) 6= 0 f(y) 6= 0 f(z) 6= 0).

Обозначение то же, что в 4.4.17.

4.4.18.

x (Ч(x) & y(Ч(y) y = x)).

4.4.19.

x y z(x X & y X & z X x = y y = z x = z).

4.4.20.

Можно ли использовать выражение (4.35) для перевода выска-

зывания “ Может быть не больше n таких x,

что A(x)?” Если нет,

то почему?

4.5. ФОРМУЛИРОВКА ОТРИЦАНИЙ

67

таких строительных блоков n, то достаточно перебрать 2n

их значений4,

чтобы выяснить характер зависимости значения формулы от значений

ее компонент. Систематический перебор всех вариантов значений эле-

ментарных блоков и вычисление для них значений формулы и дает та-

блицу истинности. Рассмотрим пример.

Построим таблицу истинности

для формулы

(A B C) (A B) .

Формула

A

B

C

B C

A B C

A B

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

(4.39)

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

Здесь

видно,

что, перебрав восемь возможных приписываний значе-

ний переменным, мы отыскали то единственное, при котором формула

ложна. Если бы такового не оказалось, то формула могла бы считаться

логически истинной и применяться практически не глядя на интерпрета-

цию5, а уж в обычной математике вообще безусловно. Поэтому в логике

в особенности интересуются формулами, тождественно истинными при

любой интерпретации, и дали им особое название6

—

тавтологии. То,

что формула

A является тавтологией, будем обозначать в данной гла-

ве |= A. Особое место среди тавтологий занимают эквивалентности —

тавтологии вида

A

B.

Установленная

эквивалентность дает возмож-

B друг на друга

7

ность повсюду заменять выражения A и

.

Тавтологии и противоречия важны для логики потому, что они не

зависят от конкретной формализации предметной области. Далее, при-

менение тавтологий дает общие средства вывода следствий и преобра-

зования формул. И, наконец, для проверки тавтологичности в классиче-

2n? Докажите.

4 А почему

5

Лишь бы была применима сама классическая логика.

6

Правда, не очень почтительное.

7

Данное свойство

—

свойство замены эквивалентных — будет подробнее рассмотре-

но далее.

4.6. ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

69

¬(A B) (A & ¬ B)

(4.44)

¬ x A(x) x ¬A(x)

(4.45)

¬ x A(x) x ¬A(x)

(4.46)

¬(A & B) (A ¬B)

(4.47)

¬(A B) (A ¬B)

(4.48)

(A B) (¬B ¬A) (Закон контрапозиции)

(4.49)

(A B) (A & C B & C)

(4.50)

(A B) (A C B C)

(4.51)

(A B) (¬A ¬B)

(4.52)

(A B) ((A C) (B C))

(4.53)

(A B) ((C A) (B A))

(4.54)

x(A B) ( x A x B)

(4.55)

x(A B) ( x A x B)

(4.56)

A & B B & A

(4.57)

A B B A

(4.58)

Итак, при формулировке отрицаний достаточно большие части фор-

мул, происшедшие из посылок импликаций либо переходящие в них,

остаются неизменными. Конечно же, для соблюдения математического

стиля целесообразно порой заменять и элементарные формулы, напри-

мер, взаимно превращая < и >. Но более важно другое замечание, ис-

ходящее из известной неоднозначности переводов между содержатель-

ным и формальным языком. Изучая тавтологии, на которых мы базиру-

емся, можно отметить, что по крайней мере для конъюнкции

& имеют-

ся два различных варианта переводов9. Поэтому у нас имеется другой

вариант формулировки отрицания &: заменить конъюнкцию на дизъ-

юнкцию и сформулировать отрицания обеих частей. В частности, для

предложения «Все ораторы честолюбивы и скучны», переводящегося

x (Оратор(x) Честолюбив(x) & Скучен(x)) ,

лучше вариант формулировки отрицания с .

Формулировка отрицания иногда является также шагом проверки

переводов на формальный язык и выбора из них более приемлемого.

Например, многие студенты замечают, что в утверждении про ящеров

(4.19) отношение пожирания на самом деле антисимметрично и можно

заменить на :

x (Я(x) y (Я(y) & (П(x, y) П(y, x)))) .

(4.59)

В нашем конкретном мире это утверждение практически совпадает по

истинностному значению с исходным, но вот насчет их отрицаний см.

упражнение 4.6.5.

Рассмотрение предложения (4.23) и его перевода (4.24) приводит к

еще одному интересному наблюдению. При переходе к содержательно-

му выражению

Не все племена кочевников воевали друг с другом

(4.60)

контекст изменяется и его перевод не является отрицанием (4.24). Это

просто

( x, y (ПК(x) & ПК(y) & ¬ B(x, y) & ¬ B(y, x)) .

(4.61)