Непейвода. Прикладная логика

Глава 7. Введение в синтаксис

Тот кому приходится рецензировать достаточно много математиче ских работ, знает что чаще всего ошибочный переход в доказательстве- кроется за ,словами, Очевидно либо Данный случай разбирается ана логично предыдущему« Ну насчет» очевидности« все ясно1 а вот с ана- логичностью приходится». долго, разбираться“ ” , -

Тот кому приходится программировать достаточно. сложные с точ ки зрения, логики построения задачи сталкивается с неприятностью( - приходится писать множество)почти одинаковых, процедур для похожих: друг на друга подзадач Порою ситуация выглядит почти что издеватель ски текст мог бы быть.один и тот же но изменяются типы данных и его- приходится: переписывать с другим заголовком, процедуры и под другим именем

Программист. высочайшего класса обладавший вдобавок в лучших русских традициях еще и фундаментальной, математической, ,подготов-

1 На самом деле тут мы сталкиваемся с важным понятием дыры в доказательстве кото рым нам придется заниматься далее Но рецензенту здесь проще Достаточно написать, - скажем: «А мне неочевидно». . . ,

172 ГЛАВА 7. ВВЕДЕНИЕ В СИНТАКСИС

кой Семен Фурман явно сформулировал следующий технологический прием, 2, который мы будем называть обобщение без потерь.

Пиши процедуру в частном хорошо продуманном случае и тщательно но без лишней,оптимизации а затем обобщай, ее на столь общий, случай насколько возможно, без потери эффективности. ,

Скажем появление функционального анализа и топологии позволи ло обобщить, без потерь множество частных теорем Коши в несколь- ко общих утверждений Появление теории категорий позволило превра- тить расплывчатое понятие. алгебраической аналогии в точное и затем- использовать его в частности в теории абстрактных типов данных при званной решить ,ту практическую, трудность которая была обрисована, - выше ,

Мы. проведем такую операцию обобщения для языка классической логики с тем чтобы в частности не говорить расплывчатые слова ана логично, при переходе, к построенным, по такому же принципу языкам“ - неклассических” логик При обобщении мы выделим следующие черты логического языка: .

ли он что-либо по данному поводу.

hKx | E1, . . . , Ek | A1, . . . , Ali ,

Сразу заметим что пункт касающийся строгого разделения по ти пам сплошь и рядом, нарушается, в современных языках программиро- вания, Скажем операция применяется и к целым и к действитель- ным .и к комплексным, числам+ различной точности, Такая перегрузка- операций, вызвала к жизни целую теорию разрешения. возникающих не однозначностей да и мы грешные воспользуемся перегрузкой в не- скольких местах, явно ее оговорив, , -

Пожалуй Вам, самим понятно .насколько коварным средством явля ется перегрузка, но иногда она просто, стучится в двери если имеется- полное совпадение, необходимых нам свойств операций ,над различны ми данными Разница между использованием перегрузки в логике ли-

. -

3Именно разница между ограничениями и подкванторными выражениями приводит

квстречающимся в математическом анализе выражениям вида

Zx

f(x) dx.

0

вень закреплен как фундамент на котором можно постепенно вырастить нужные нам построения то в математической, логике есть построения и преобразования которые, можно опустить на любой подходящий нам фундамент и соответственно, сразу“ получить” целый город

Таким образом, с синтаксической, точки зрения язык классической.

логики можно охарактеризовать, как строго типизированный язык без нижнего уровня с функциональными унарными и бинарными операци ями и кванторами , -

Прежде всего .поскольку выражения у нас делятся на типы нужно определить необходимые, нам конструкции над типами Эти конструк, ции были введены польскими логиками в х годах под.названием син-

таксических категорий Мы изложим их в20форме- принятой в большин- стве современных работ. по теории алгоритмических, и других формаль- ных языков по философии и математической лингвистике -

Пусть задано, некоторое множество исходных типов T ..

Определение Иерархия функциональных типов0 Множество типов T задается7.1.следующим1. ( индуктивным определением)

:

a)Исходные типы τ T0 — типы.

b)Если τ1, . . . , τn, τ — типы, то (τ1, . . . , τn → τ) — тоже тип.

c)Других типов в T нет.

Язык без нижнего уровня определяется относительно словаря или сигнатуры рассматриваемого конкретного приложения в случае логи, ческого языка конкретной теории Дадим наиболее (общее понятие- сигнатуры базирующейся— на иерархии). типов Для этого сначала опре делим, какие, типы из иерархии для каких целейT. подходят. -

Определение 7.1.2. . (Классификация типов)

Тип называется типом функции если все a)исходные(τ1, .типы. . , τ.n → τ) , τi, τ —

Тип называется типом функционала если со b)держит(τ1, . . . , τn → τ) , τ -

→.

Тип называется высшим типом если в нем боль c)ше одной(τ1,→. . .. , τn → τ) , - d) Тип (τ1 → τ) называется типом унарной операции.

e) Тип (τ1, τ2 → τ) называется типом бинарной операции.

Тип где назы f)вается(χ,типомτ1, . .квантора. , τk, (χ .→ π1), . . . , (χ → πl) → τ), l > 0, -

Помимо сигнатуры при определении языка с кванторами исполь зуют переменные. Чаще, всего переменные бывают лишь по объектам-

4 Да и мы прибегли к подобному выражению при описании кванторных конструкций естественного языка.

176 ГЛАВА 7. ВВЕДЕНИЕ В СИНТАКСИС

χ( ) = (o, (o → t) → t) χ( ) = (o, (o → t) → t)

Переменные имеются лишь по типу

Предикат стандартно интерпретируетсяo. как равенство константа кe как единица=группы, a ◦ b как умножение, Inv a как обратный, элемент

a.

Пример Можно несколько видоизменить сигнатуру из предыду щего примера7.1.2. добавив к еще две константы и и удалив опе- рации и , Тип естьe Этот: MultпримерInvпоказывает воз- можность◦ переходаInv. Multмежду одноместными(o, o → o). и двуместными функциями и- операциями.

Пример Фрагменты математического анализа можно описывать в языке со7.следующей1.3. сигнатурой

Имеется три исходных типа : интерпретируемые соответствен но как действительные числа :целыеr, i, t, числа и логические, значения -

, Логические связки остаются, теми же самыми. .

Здесь видно что мы вынуждены вводить кванторы всеобщности и су ществования, по отдельности для каждого типа объектов по которым- имеются переменные Поскольку тип квантора однозначно, определяет ся типом переменной. следующей непосредственно за ним перегрузка- кванторов легко разрешается, и используется практически ,везде в том числе и нами Аналогично перегрузка напрашивается и для общеупо, требительных. предикатов типа или и для операций типа или - Но здесь ситуация намного сложнее= поскольку>, допущение перегрузки+ −. сразу приводит к соблазну перемешивать, выражения разных типов.

Несколько иной тип перегрузки мог бы возникнуть при применении квантора суммирования к выражениям типа Здесь подкванторная пе ременная в любом случае имеет тип и разрешениеi. двусмысленности- зависит от типа подкванторного выраженияi, Это уже похуже и на по добных примерах в теоретическом программировании. выросла, целая- теория

Анализируя. определения и рассматривая примеры можно сделать вывод что мы не рассматриваем операции кванторы и, функции с пе ременным, числом аргументов Это соответствует, и соглашениям боль- шинства языков программирования. а там где переменное число аргу- ментов появляется оно как правило, влечет, неприятности Далее мы не- разрешаем произвольным, , образом пополнять, теорию новыми. констан, тами что также находится в частности в соответствии с традициями-

языков, спецификаций и языка, ПРОЛОГ,. Конечно же, для расширения

178 ГЛАВА 7. ВВЕДЕНИЕ В СИНТАКСИС

возможностей теорий и методов работы с ними мы обязаны предусмо треть средства расширения теорий но это отдельная и достаточно- интересная тема развившаяся в целую, теорию— в традиционной логи ке и приближающаяся, к такому состоянию в математической А чтобы- квалифицированно применять теорию определений мы обязаны. уметь хорошо различать, что же можно выразить исходными, средствами.

Предложение Любое выражение типизированного языка одно значно представляется7.1.1. в виде соответствующем пп определе-

ния 7.1.5. , . 1) – 6) -

Доказательство Предложение опирается на следующие леммы о счете скобок. .

Лемма В любом выражении число открывающих скобок равно числу закрывающих7.1.2. .

Доказательство Индукцией по построению Переменные и константы скобок вообще не. содержат Если выражение . получено как

то поскольку по предположению. индукцииAвсе сбалансированыF (t1, . . . ,поtn), скобкам, в нем также число открывающих равноtiчислу закрывающих Точно так, же для всех пунктов определения выражений. .

Лемма В любом начале выражения открывающих скобок не мень ше, чем7закрывающих.1.3. . -

Доказательство ведем индукцией по построению выражения Определим скобочный. баланс слова как .

число открывающих скобок − число закрывающих.

Переменные и константы скобок вообще не содержат Если получен как то любое его начало имеет одно из следующих. t пред ставленийf(t1, . . .Оно, tn)либо, есть либо имеет вид либо ли- бо . либо есть сам‘f’, Здесь есть последовательность‘f(’, ‘f(Ξ, Ξiвыра’, - жений‘f(ΞразделенныхΞi,’, запятымиt. естьΞ начало выражения По преды- дущей, лемме в выражении открывающих, Ξi скобок столько .же сколько- закрывающих, Значит скобочный баланс есть По предположению, индукции скобочный. ,баланс > СледовательноΞ 0. скобочный баланс начала больше, 0, если оно не Ξявляетсяi 0. f либо не совпадает, с самим t.

Доказательство Все три пункта доказываются одновременной индук цией по построению. выражения - В константу либо переменную. ни скобки ни запятая ни не входят Значит базис индукции состоит из импликаций, с ложной, посылкой| и.

тривиально, верен Если выражение. является функциональным то запятые входя

щие в него либо оказываютсяE разделителями и, либо входят, в- В первом, случае они оказываются на первомEi скобочномEi+1, уровне во второмEi. по предположению индукции они оказываются не менее чем, на

первом, внутри а значит не менее, чем на втором внутри самого Символ обязанEвходитьi, в одно, из и таким образом ни на нулевомE. ни на первом| скобочном уровне не Eпоявляетсяi , , ,

Если выражение является применением. бинарной операции то оно имеет вид E В нем применяя предположение индукции,

(E1 E2). , ,

5 Возможно, пустой.

180 ГЛАВА 7. ВВЕДЕНИЕ В СИНТАКСИС

циональное выражение начинается с переменной либо константы Но в функциональном выражении непосредственно за начальной перемен. -