Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Непейвода. Прикладная логика

.PDF
Скачиваний:
566
Добавлен:
10.08.2013
Размер:
2.27 Mб
Скачать

8.5. ЯЗЫКИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

211

хотелось бы дать синтаксический метод проверки логического следо-

вания,

но доказано,

что полной формализации не может быть уже для

языка второго порядка, включающего лишь переменные по предикатам,

аргументами которых являются объекты. Более того, если теорема пол-

ноты показала, что понятие общезначимости в классической логике пре-

дикатов определяется полностью и однозначно, то здесь появляется глу-

боко скрытая, зато неустранимая, неоднозначность. Уже в логике второ-

го порядка появляются формулы, общезначимость которых зависит от

неразрешимых проблем современной математики и теории множеств.

Подробнее мы вернемся к этому после накопления соответствующего

аппарата, а пока что необходимо сделать предупреждения.

 

 

Имеется один общий принцип,

общезначимость которого не вызы-

вает сомнений: принцип свертки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X(π1,...,πn→t)

 

xπ1

, . . . , xπn (X(x

1

, . . . , xn)

 

A(x

1

, . . . , xn)) ,

 

 

1

n

 

 

 

 

 

 

где A

произвольная формула, не содержащая X свободно8.

 

Опираясь на принцип свертки,

можно обосновывать многие полез-

ные свойства понятий высших порядков. Например, устанавливается

существование булевых операций над предикатами любых типов. Ниже

рассмотрена формула, выражающая существование объединения мно-

жеств объектов. Здесь мы иллюстрируем еще один часто применяемый

способ различения переменных разных типов: переменные для преди-

катов изображаются большими буквами, а их местность

скобками с

соответствующим числом аргументных мест. Таким образом,

все боль-

шие буквы здесь типа o t, где o

тип объектов.

 

 

 

 

 

 

 

P (), Q() R() x(P (x) Q(x) R(x)).

 

(8.1)

 

 

 

 

 

Подытожим:

 

 

 

 

 

 

Общее свойство логик отсутствие конкретных понятий Формально оно выражаетсяправилом подстановки. . Для языка высших порядков семантика определяется не столь однозначно.

8 Данное маленькое ограничение не сковывая свободы избавляет от громадной опас ности произвольных рекурсивных, определений в частности, без него мы могли бы- определить предикат, эквивалентный собственному, отрицанию, .

212 ГЛАВА 8. СЕМАНТИКА КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Под логикой высших порядков традиционно понимают ти пизированный язык с принципом свертки. -

Упражнения к § 8.5

Студент Гениалькис заявил что никакие предикаторы не нужны 8.5.1. поскольку у нас есть квантор, свертки и лучше подставлять просто,

множества. Можете ли Вы ему возразить, ?

Глава Семантические таблицы9. для классической логики

§ 9.1. ОТ ТАБЛИЦ ИСТИННОСТИ

 

 

 

К СЕМАНТИЧЕСКИМ ТАБЛИЦАМ

 

 

Рассмотрим построение таблицы истинности пропозициональной фор-

мулы (A B C) (A B) (см

табл. 9.1). Анализируя таблицу,

можно отметить, что большинство информации в ней избыточно. Та-

блица может быть значительно сокращена, пользуясь следующими пра-

вилами: для истинности дизъюнкции достаточно истинности одного из

членов; для ложности конъюнкции достаточна ложность одного из чле-

нов; истина следует из всего, что угодно; из лжи следует все, что угодно.

Сокращенная таблица истинности показана на табл. 9.2.

При таком сокращении самым тонким местом является проверка то-

го, что ни один случай не упущен. Можно создавать много способов

сокращения таблиц истинности, но в некотором смысле все это будет

изобретением велосипеда,

поскольку,

базируясь на правилах сокраще-

 

A

B

C

B C

A B C A B

Формула

 

 

1

1

1

1

1

1

1

 

1

1

0

1

1

1

1

 

1

0

1

1

1

0

0

 

1

0

0

0

0

0

1

 

0

1

1

1

1

1

1

 

0

1

0

1

1

1

1

 

0

0

1

1

1

1

1

 

0

0

0

0

1

1

1

 

Таблица 9.1: Полная таблица истинности

214

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 9.

КЛАССИЧЕСКИЕ СТ

 

A

 

B

 

C

 

B C

 

A B C

 

A B

 

Формула

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

1

 

1

 

 

 

1

 

1

 

 

1

 

1

 

1

 

1

 

 

 

1

 

0

 

0

 

0

 

0

 

0

 

1

 

 

 

1

 

0

 

1

 

1

 

1

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 9.2: Сокращенная таблица истинности

ния, голландский логик Бет (E.W. Beth) создал в 50-х годах формализм,

гарантирующий полноту разбора и выполняющий все прямые сокраще-

ния. Он основан на необходимых и достаточных условиях истинности

и ложности формул. Начнем с примера для той же формулы.

Ищем все возможные случаи, когда формула ложна. Если таковых не

найдется, то она истинна. Наша формула представляет собой имплика-

цию, импликация ложна, если ее посылка истинна,

а заключение ложно.

Получаем следующее преобразование.

 

=| (A B C) (A B)

(9.1)

|= A B C

=| (A B)

 

После применения аналогичного преобразования к третьей формуле по-

лучаем

 

=| (A B C) (A B)

 

|= A B C

(9.2)

=| (A B)

|= A

 

=| B

 

Теперь приходится рассматривать условия истинности импликации Бет оптимально подобрал два случая исчерпывающих все возможно. сти когда импликация истинна необходимо, и достаточно чтобы бы- ло ложно, либо истинно То что: мы разбираем два независимых, Aслу- чая отражаетсяBразбиением. таблицы, на подтаблицы в которых общее- лишь, то что было получено до разделения После разбиения, имплика ции аналогично, разобьется и дизъюнкция. . -

9.2. ПРАВИЛА РАЗБИЕНИЯ

215

=| (A B C) (A B)

|= A B C

=| (A B)

 

 

 

 

 

|= A

(9.3)

 

 

 

 

 

=| B

 

 

 

 

 

 

=| A

 

 

|= B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь в двух из трех образова

 

|= B

 

|= C

 

вших

ся подтаблиц встретились проти-

воречия; такие подтаблицы называются закрытыми и отмечаются двой-

ной чертой. Оставшаяся подтаблица выдала тот единственный набор

значений, при котором формула ложна: A истинно, B ложно и C истин-

но. Итак, мы получаем следующий метод проверки истинности форму-

лы либо построения контрпримера. Предполагаем, что формула ложна.

Строим семантическую таблицу и, если все ее подтаблицы закрылись,

приводим предположение о ложности формулы к абсурду и делаем вы-

вод, что она истинна. Иначе незакрытая подтаблица дает контрпример.

ПРАВИЛА РАЗБИЕНИЯ ФОРМУЛ § 9.2. В СЕМАНТИЧЕСКИХ ТАБЛИЦАХ

Просуммируем правила разбиения для связок логики высказываний.

|= A&B

|= A |= B |= A B

|= A | |= B |= A B

=| A&B

=| A | =| B

=| A B

=| A =| B =| A B

=| A | |= B |= A =| B

|= ¬A

=| ¬A

=| A

|= A

Если в правиле нижняя часть не разделена результирующие форму лы остаются в той же подтаблице в противном, случае они распределя- ются по двум новым подтаблицам, которые далее развиваются незави- симо Значит подтаблицы семантической, таблицы образуют бинарное- дерево. ,

Теперь. остается заняться практикой и не забывать что в любом до казательстве правильная общая структура значит не меньше, чем пра- вильность отдельных шагов Хорошо и то что любая последователь, -

. , -

216 ГЛАВА 9. КЛАССИЧЕСКИЕ СТ

ность правильных шагов приводит к результату хотя конечно удачный выбор порядка разбиений может сильно сократить, таблицу, . ,

Упражнения к § 9.2

Мы научились проверять на семантических таблицах высказыва 9.2.1. ния на тождественную истинность А как их проверять на тожде- ственную ложность Что в этом случае. даст незакрытая семанти- ческая таблица? ? -

Проверить на семантических таблицах высказывания и рассужде ния. -

9.2.2.(A B C) (A B) (A C)

9.2.3.(A B) (A C) (A B C)

9.2.4.(A&B C) (A C) (B C)

9.2.5.(A C) (B C) (A&B C)

9.2.6.(A&(B C)) (A&C) (B&C)

9.2.7.(A&(B C)) (A&C) (A&B)

9.2.8.(A&B) (A&C) (A&(B C))

9.2.9.((A B) (C D)) (A C)&(D B)

9.2.10.((A B) C) A (B C)

9.2.11.A (B C) ((A B) C)

9.2.12.(A (B&C)) (A B)&(A C)

9.2.13.(A B)&(A C) (A (B&C))

9.2.14.(¬A B)&(A C) B C

9.2.15.B C (¬A B)&(A C)

9.2.16.(A B)&(A C)&(A D) ¬A

9.2.17.(B A)&(C A)&(D A) A

9.2.18.(A B C)&(B ¬A)&(C D)&(D B) (A E)

9.2. ПРАВИЛА РАЗБИЕНИЯ

217

9.2.19. (A&D B C) (A B) (A C) (D B)

9.2.20. (A B C)&(¬A C) B C

 

9.2.21. ((A C) D)&¬D A&¬C

 

9.2.22. (A B)&(B C) (¬A C)

 

9.2.23. Майор Тронин в результате расследования установил, что два

сотрудника организации п/я №13 являются агентами. Медников

агент английский либо американский, а Иванов

английский ли-

бо израильский. С присущей ему проницательностью тов. Тронин

сделал вывод, что п/я №13 находится под контролем Intelligence

Service”. Прав ли он?

 

9.2.24. Если в России пытаются проводить реформы, то начинается смут-

ное время. Если начинается смутное время, то либо наступает гра-

жданская война, либо иностранное нашествие, либо Россия теря-

ет часть территорий. Если наступает гражданская война, то насе-

ление испытывает ужасные бедствия. Не лучше приходится на-

селению и при нашествии. Сейчас в России пытаются проводить

реформы. Значит, российский народ ждут ужасные бедствия.

9.2.25. (L. Carroll*) Он никогда не поет больше часа.

Если кто-то поет

больше часа, он надоедает окружающим. Тот,

кто не надоедает

окружающим

желанный гость. Значит, он

желанный гость.

9.2.26. Создайте правила разбиения для эквивалентности и на их осно-

ве постройте семантическую таблицу для ((A B) C)

(A (B C)).

 

 

9.2.27. (J. Venn) Существовал клуб с такими правилами:

1.

Члены финансового комитета должны избираться среди чле-

 

нов общей дирекции.

 

2.

Нельзя быть одновременно членом общей дирекции и чле-

 

ном библиотечного комитета не будучи членом финансового

 

комитета.

 

 

3.

Ни один член библиотечного совета не может быть членом

 

финансового комитета.

 

Упростите правила.

 

218 ГЛАВА 9. КЛАССИЧЕСКИЕ СТ

§ 9.3. СЕМАНТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ С КВАНТОРАМИ

В отличие от таблиц истинности, метод семантических таблиц обобща-

ется на всю логику предикатов. Здесь техническое улучшение, которым

казалось исключение лишних случаев из перебора, переходит в прин-

ципиальное. Это

типичная ситуация в истории науки. Стремление

улучшить изложение какого-то темного места гораздо чаще приводит к

принципиальным открытиям, чем амбициозные попытки перевернуть

науку и создать какую-либо общую теорию всего”. Теория относитель-

ности была создана Эйнштейном в результате доводки до логического

конца анализа электродинамики движущихся тел, общая теория отно-

сительности также почти как техническое улучшение интенсивно вед-

шихся в то время многими крупными учеными работ по применению

тензорных методов к механике. А вот все его многолетние усилия со-

здать общую теорию поля не привели ни к чему. Лобачевский создал

неевклидову геометрию, пытаясь усовершенствовать изложение геоме-

трии для исключительно тупого контингента слушателей, примерно со-

ответствующего нынешнему факультету повышения квалификации1.

Рассмотрим условия истинности и ложности всеобщности и суще-

ствования. Поскольку x A истинна тогда и только тогда, когда A(c)

истинно для любого конкретного

c, мы, имея |= x A, можем полу-

чить A(ci) всякий раз, когда в таблице либо подтаблице появляется объ-

ект ci.Если же =| x A, то мы знаем лишь, что существует такой объ-

ект a, для которого A(a) ложно.

Чтобы отобразить это, постулируем

=| A(cn+1) для нового, ранее в таблице не встречавшегося, объекта cn+1

(называемого вспомогательной константой). Таким образом, приходим

к следующим правилам разбиения для кванторов.

 

 

 

|= x A

 

 

 

=| x A

 

 

 

 

|= A(ci)

 

=| A(cn+1)

 

 

 

|= x A

(9.4)

 

 

 

 

 

=| x A

 

 

 

|= A(cn+1)

 

 

=| A(ci)

Рассмотрим пример: проверка формулы

x A(x)& x B(x) x (A(x)&B(x)).

1 Известно что нет ничего легче как не задумываясь ответить на вопрос Один дурак при наличии, эрудиции либо уверенности, в себе может ответить на столько. вопросов, что сто умных не смогут задать. , ,

9.3. СЕМАНТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ С КВАНТОРАМИ

219

=| x A(x)& x B(x) x (A(x)&B(x))

 

 

 

|= x A(x)& x B(x)

 

 

 

 

=| x (A(x)&B(x))

 

 

 

 

|= x A(x)

 

 

 

 

|= A(c1)

(9.5)

 

 

 

|= x B(x)

 

 

 

 

|= B(c1)

 

 

 

 

=| (A(c1)&B(c1))

 

 

В дальнейшем для

=| A(c1)

 

 

=| B(c1)

 

 

 

 

 

 

 

единообразия

вспомогательные константы обо-

 

значаются c1, c2, . . .

Мы ввели объект c1, рассмотрев |= x A(x), по-

сле чего подставили его в две другие кванторные формулы. Следующий

пример показывает,

что не всегда удается обойтись одним объектом.

=| x (A(x) B(x)) x A(x) x B(x) =| x A(x) x B(x)

|= x (A(x) B(x)) =| x A(x)

=| A(c1)

=| x B(x) (9.6)

=| B(c2)

|= A(c1) B(c1) |= A(c2) B(c2)

 

 

 

 

|= A(c1)

 

 

 

|= B(c1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|= A(c2)

 

|= B(c2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь видно, что нам пришлось использовать |= x (A(x) B(x))

дважды: для c1

и c2

. И именно из-за различия этих двух значений табли-

ца не закрылась; незапертая подтаблица дает следующую опровергаю-

щую модель:

 

 

 

 

 

 

 

c1

c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

1

0

 

 

 

 

 

Следующий пример иллюстрирует еще две особенности возникаю щие в предикатных семантических таблицах возможность бесконечно, - го порождения констант и аномалия с первым: объектом Он заодно по- казывает что незапертость подтаблицы приходится порою. усматривать- более или, менее косвенно, а не устанавливать доведением построения

220 ГЛАВА 9. КЛАССИЧЕСКИЕ СТ

до конца, и что одна и та же формула может использоваться бесконечное

количество раз.

 

 

=| x y A(x, y) x A(x, x)

 

=| x A(x, x)

 

|= x y A(x, y)

 

|= y A(c1, y)

 

|= A(c1, c2)

(9.7)

=| A(c1, c1)

 

|= y A(c2, y)

 

|= A(c2, c3)

 

=| A(c2, c2)

 

 

· · ·

 

Итак, бесконечно порождаются новые константы ci, для которых вы-

полнено |= A(ci, ci+1), но =| A(ci, ci). Немного разобравшись с анализи-

руемой формулой, мы видим, что построенная опровергающая модель

отнюдь не минимальная. Достаточно было бы рассмотреть множество

из двух элементов.

 

 

Упражнения к § 9.3

 

 

Проверить на семантических таблицах высказывания и рассужде-

ния.

кошки. Некоторые кошки знают фран-

9.3.1. [K] Некоторые цыплята

цузский язык. Значит, некоторые цыплята знают французский язык.

9.3.2. x (A(x) y A(y))2

 

 

9.3.3. x (A B(x)) A x B(x)

 

9.3.4. x (A(x) B(x)) x A(x) x B(x)

 

9.3.5. x A(x)& x (¬A(x) B(x)) x B(x)

 

9.3.6. x A(x)& x B(x) x (A(x) B(x))

 

2 Р. Смальян прокомментировал это высказывание следующим анекдотом. Заходит

ковбой в бар и говорит бармену: “ Мне налей и всем налей. Такой уж я человек: ко-

гда я пью, все пьют.” Через некоторое время: “ Мне повтори и всем повтори. Такой уж

я человек: когда я пью, все пьют.”

Затем кладет на стойку деньги: “ С меня возьми и со

всех возьми. Такой уж я человек:

когда я плачу, и все платят.”