Непейвода. Прикладная логика

8.5. ЯЗЫКИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

211

хотелось бы дать синтаксический метод проверки логического следо-

вания,

но доказано,

что полной формализации не может быть уже для

языка второго порядка, включающего лишь переменные по предикатам,

аргументами которых являются объекты. Более того, если теорема пол-

ноты показала, что понятие общезначимости в классической логике пре-

дикатов определяется полностью и однозначно, то здесь появляется глу-

боко скрытая, зато неустранимая, неоднозначность. Уже в логике второ-

го порядка появляются формулы, общезначимость которых зависит от

неразрешимых проблем современной математики и теории множеств.

Подробнее мы вернемся к этому после накопления соответствующего

аппарата, а пока что необходимо сделать предупреждения.

Имеется один общий принцип,

общезначимость которого не вызы-

вает сомнений: принцип свертки.

X(π1,...,πn→t)

xπ1

, . . . , xπn (X(x

1

, . . . , xn)

A(x

1

, . . . , xn)) ,

1

n

где A —

произвольная формула, не содержащая X свободно8.

Опираясь на принцип свертки,

можно обосновывать многие полез-

ные свойства понятий высших порядков. Например, устанавливается

существование булевых операций над предикатами любых типов. Ниже

рассмотрена формула, выражающая существование объединения мно-

жеств объектов. Здесь мы иллюстрируем еще один часто применяемый

способ различения переменных разных типов: переменные для преди-

катов изображаются большими буквами, а их местность —

скобками с

соответствующим числом аргументных мест. Таким образом,

все боль-

шие буквы здесь типа o t, где o —

тип объектов.

P (), Q() R() x(P (x) Q(x) R(x)).

(8.1)

Подытожим:

§ 9.1. ОТ ТАБЛИЦ ИСТИННОСТИ

К СЕМАНТИЧЕСКИМ ТАБЛИЦАМ

Рассмотрим построение таблицы истинности пропозициональной фор-

мулы (A B C) (A B) (см

табл. 9.1). Анализируя таблицу,

можно отметить, что большинство информации в ней избыточно. Та-

блица может быть значительно сокращена, пользуясь следующими пра-

вилами: для истинности дизъюнкции достаточно истинности одного из

членов; для ложности конъюнкции достаточна ложность одного из чле-

нов; истина следует из всего, что угодно; из лжи следует все, что угодно.

Сокращенная таблица истинности показана на табл. 9.2.

При таком сокращении самым тонким местом является проверка то-

го, что ни один случай не упущен. Можно создавать много способов

сокращения таблиц истинности, но в некотором смысле все это будет

изобретением велосипеда,

поскольку,

базируясь на правилах сокраще-

A

B

C

B C

A B C A B

Формула

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

214

ГЛАВА 9.

КЛАССИЧЕСКИЕ СТ

A

B

C

B C

A B C

A B

Формула

0

—

—

—

1

1

1

1

1

—

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

Таблица 9.2: Сокращенная таблица истинности

ния, голландский логик Бет (E.W. Beth) создал в 50-х годах формализм,

гарантирующий полноту разбора и выполняющий все прямые сокраще-

ния. Он основан на необходимых и достаточных условиях истинности

и ложности формул. Начнем с примера для той же формулы.

Ищем все возможные случаи, когда формула ложна. Если таковых не

найдется, то она истинна. Наша формула представляет собой имплика-

цию, импликация ложна, если ее посылка истинна,

а заключение ложно.

Получаем следующее преобразование.

=| (A B C) (A B)

(9.1)

|= A B C

=| (A B)

После применения аналогичного преобразования к третьей формуле по-

лучаем

=| (A B C) (A B)

|= A B C

(9.2)

=| (A B)

|= A

=| B

9.2. ПРАВИЛА РАЗБИЕНИЯ

217

9.2.19. (A&D B C) (A B) (A C) (D B)

9.2.20. (A B C)&(¬A C) B C

9.2.21. ((A C) D)&¬D A&¬C

9.2.22. (A B)&(B C) (¬A C)

9.2.23. Майор Тронин в результате расследования установил, что два

сотрудника организации п/я №13 являются агентами. Медников —

агент английский либо американский, а Иванов —

английский ли-

бо израильский. С присущей ему проницательностью тов. Тронин

сделал вывод, что п/я №13 находится под контролем “ Intelligence

Service”. Прав ли он?

9.2.24. Если в России пытаются проводить реформы, то начинается смут-

ное время. Если начинается смутное время, то либо наступает гра-

жданская война, либо иностранное нашествие, либо Россия теря-

ет часть территорий. Если наступает гражданская война, то насе-

ление испытывает ужасные бедствия. Не лучше приходится на-

селению и при нашествии. Сейчас в России пытаются проводить

реформы. Значит, российский народ ждут ужасные бедствия.

9.2.25. (L. Carroll*) Он никогда не поет больше часа.

Если кто-то поет

больше часа, он надоедает окружающим. Тот,

кто не надоедает

окружающим —

желанный гость. Значит, он —

желанный гость.

9.2.26. Создайте правила разбиения для эквивалентности и на их осно-

ве постройте семантическую таблицу для ((A B) C)

(A (B C)).

9.2.27. (J. Venn) Существовал клуб с такими правилами:

1.

Члены финансового комитета должны избираться среди чле-

нов общей дирекции.

2.

Нельзя быть одновременно членом общей дирекции и чле-

ном библиотечного комитета не будучи членом финансового

комитета.

3.

Ни один член библиотечного совета не может быть членом

финансового комитета.

Упростите правила.

§ 9.3. СЕМАНТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ С КВАНТОРАМИ

В отличие от таблиц истинности, метод семантических таблиц обобща-

ется на всю логику предикатов. Здесь техническое улучшение, которым

казалось исключение лишних случаев из перебора, переходит в прин-

ципиальное. Это —

типичная ситуация в истории науки. Стремление

улучшить изложение какого-то темного места гораздо чаще приводит к

принципиальным открытиям, чем амбициозные попытки перевернуть

науку и создать какую-либо “ общую теорию всего”. Теория относитель-

ности была создана Эйнштейном в результате доводки до логического

конца анализа электродинамики движущихся тел, общая теория отно-

сительности также почти как техническое улучшение интенсивно вед-

шихся в то время многими крупными учеными работ по применению

тензорных методов к механике. А вот все его многолетние усилия со-

здать общую теорию поля не привели ни к чему. Лобачевский создал

неевклидову геометрию, пытаясь усовершенствовать изложение геоме-

трии для исключительно тупого контингента слушателей, примерно со-

ответствующего нынешнему факультету повышения квалификации1.

Рассмотрим условия истинности и ложности всеобщности и суще-

ствования. Поскольку x A истинна тогда и только тогда, когда A(c)

истинно для любого конкретного

c, мы, имея |= x A, можем полу-

чить A(ci) всякий раз, когда в таблице либо подтаблице появляется объ-

ект ci.Если же =| x A, то мы знаем лишь, что существует такой объ-

ект a, для которого A(a) ложно.

Чтобы отобразить это, постулируем

=| A(cn+1) для нового, ранее в таблице не встречавшегося, объекта cn+1

(называемого вспомогательной константой). Таким образом, приходим

к следующим правилам разбиения для кванторов.

|= x A

=| x A

|= A(ci)

=| A(cn+1)

|= x A

(9.4)

=| x A

|= A(cn+1)

=| A(ci)

9.3. СЕМАНТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ С КВАНТОРАМИ

219

=| x A(x)& x B(x) x (A(x)&B(x))

|= x A(x)& x B(x)

=| x (A(x)&B(x))

|= x A(x)

|= A(c1)

(9.5)

|= x B(x)

|= B(c1)

=| (A(c1)&B(c1))

В дальнейшем для

=| A(c1)

=| B(c1)

единообразия

вспомогательные константы обо-

значаются c1, c2, . . .

Мы ввели объект c1, рассмотрев |= x A(x), по-

сле чего подставили его в две другие кванторные формулы. Следующий

пример показывает,

что не всегда удается обойтись одним объектом.

|= B(c2)

Здесь видно, что нам пришлось использовать |= x (A(x) B(x))

дважды: для c1

и c2

. И именно из-за различия этих двух значений табли-

ца не закрылась; незапертая подтаблица дает следующую опровергаю-

щую модель:

c1

c2

A

0

1

B

1

0