Непейвода. Прикладная логика
.PDF
11.2. ПРАВИЛА ЕСТЕСТВЕННОГО ВЫВОДА |
301 |
Рассуждения, в которых применяется правило снятия двойного от- |
|||
рицания, называются непрямыми рассуждениями или доказательства- |
|||
ми от противного. Порою их путают с приведением к абсурду, но ло- |
|||
гический статус этих рассуждений совершенно разный: приведение к |
|||
абсурду является определением отрицания, а рассуждение от против- |
|||
ного — |
уже использование нетривиальных его свойств. Докажем теперь |
||
важное выводимое правило: из противоречия следует все, что угодно. |
|||
Пусть доказаны A и ¬A. Выведем из них произвольное B. |
|
||
|
¬B |
|
|
|
|
¬B |
|
|
|
AA |
|
|
B |
(11.1) |
|
|
|
||
|
¬¬ |
|
|
Итак, доказываем B от противного. Предполагаем его отрицание и, вос- |
||||||||
пользовавшись уже имеющимся противоречием, приходим к ¬¬B, а от- |
||||||||
туда к B. Данный трюк нужен прежде всего затем, чтобы установить, |
||||||||
что правило “ из лжи следует все, |
что угодно” ( ex falso quodlibet сред- |
|||||||
невековых логиков) не нуждается в том, чтобы быть постулированным |
||||||||
в нашей системе. Но пользоваться, конечно, теперь мы им будем. |
||||||||
Поскольку из любого противоречия следует все, что угодно, все про- |
||||||||
тиворечия для нас равноправны, и в качестве обозначения произвольно- |
||||||||
го противоречия возьмем логическую константу (ложь). |
||||||||
Докажем теперь важную теорему, |
а именно: закон исключенного тре- |
|||||||
тьего. Тут даже не ясно сначала, |
с какой стороны подступиться, посколь- |
|||||||
ку дизъюнкцию вроде бы надо выводить при помощи разбора случаев, |
||||||||
а разбирать нечего. Но рассуждая от противного, удается запутаться в |
||||||||
противоречиях, из которых нет другого выхода, кроме того, что при- |
||||||||
знать, что закон исключенного третьего не может быть ложным. |
||||||||
¬(A ¬A) |
||||||||
|
AA |
|
|
|
A ?! |
|||
|
| |
A ¬ |
|
(11.2) |
||||
|
¬ |
|
|
|
A |
|
||
|
A |
|
|
|
?! |
|||
|
|
|
¬ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
A) |
|||
|
|
(A |
¬ |
|||||
¬¬ |
|
|
|
|
||||
A ¬A
Получающиеся противоречия помечены знаком То что столь простая формула имеет столь неестественное доказательство?! , на самом деле до
, -
302 |
ГЛАВА 11. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ВЫВОД |
статочно глубокий факт Естественный вывод гораздо более тонкий ин струмент чем семантические. таблицы обладающий большой аналити- ческой силой, и легко модифицируемый, Здесь мы получаем первый сиг- нал о том что не все тавтологии классической. логики равноправны что- некоторые, из них могут иметь более высокий статус, чем другие. ,
11.2.4. Некоторые полезные выводимые правила
Рассмотрим еще несколько широко применимых выводимых правил Во первых опираясь на наше доказательство логического закона .
- можно, в любой момент разбирать случаи и Далее пользуA ясь¬A,тем что из лжи следует все что угодно можноA обосновать¬A. ,правило- известное, нам как сокращающее, в семантических, таблицах: ,
A B ¬A
Как известно этим правилом частоBпользовался Шерлок Холмс отбра сывая все возможные, случаи пока не оставался правильный А,из при- ведения к нелепости следует,правило modus tollens традиционной. ло-
-
гики
:
A B ¬B
После того как на практическом¬Aзанятии разобраны их выводы вы водимыми правилами, можно свободно пользоваться при решении задач, -
.
11.2.5. Кванторы
Перейдем теперь к кванторам. Как доказывается утверждение вида
x(A(x) B(x))?
Берется произвольное такое что и для него доказывается
В заключительной“ частиx, этого,приемаA(xлегко)” узнать правило дедукцииB(x). для доказательства импликации Но вот что такое про извольное Ведь произвольногоA(xобъекта) B(xвообще). не бывает любой“ - взятый объектx?” конкретен ,
На самом деле и здесь. мы сталкиваемся с одной из важнейших сто рон математической абстракции Она может включать в себя доброволь- ный отказ от того чтобы пользоваться. некоторой информацией В част- ности в части ,Язык математики разбиралось определение. равен- ства Лейбница, 1,которое« по сути дела» говорит что мы не имеем права-
, , , ,
304 |
ГЛАВА 11. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ВЫВОД |
лу Рассмотрим пример доказательства с кванторами. Докажем форму-
x(A(x) B(x)) & x A(x) x B(x).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(A(x) B(x)) & x A(x) |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(A(x) B(x)) x A(x) |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B(c ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(c1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
B(c ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(c ) |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x B x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(A(x) B(x)) & x A(x) |
|
x B(x) |
|
|
||||||||||||||||||||
В этом доказательстве имеется единственная тонкость. Пока не по- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
явилось c1 |
, |
не стоит переходить от общего к частному, чтобы не ском- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
прометировать эту константу преждевременно. Следующее доказатель- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ство напоминает наш первый пример из данной главы, но с добавлением |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
квантора всеобщности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x(A(x) B(x)) & x(B(x) C(x)) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
произвольно |
|
|
|
|
x(B(x) |
|
|
C(x)) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x(A(x) |
|
|
|
B(x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
A(z) |
|
B(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
A(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
B(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
B(z) |
C(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
C |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
C |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
( |
z |
) |
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C(x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x(A(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x(A(x) |
|
|
|
|
B(x)) & x(B(x) |
|
|
|
|
C(x)) |
|
x(A(x) |
|
C(x)) |
||||||||||||||||||||
В этом доказательстве интересно соотношение произвольных и не- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
произвольных переменных. z |
объявляется как произвольное, остается |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
произвольным до того момента, когда открывается еще один подвывод, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
в нем оно уже не произвольно, поскольку от него зависит допущение, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
но после его завершения z |
вновь становится произвольным. Формулы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
типа A(z) B(z) |
не нарушают произвольности z, |
поскольку следуют |
||||||||||||||||||||||||||||||||
из посылок, |
не зависящих от значения z. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
А вот следующий пример иллюстрирует типичную ошибку: мы “ до- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
кажем”, |
что поскольку все люди — |
|
мужчины или женщины, |
то все люди |
||||||||||||||||||||||||||||||
11.2. ПРАВИЛА ЕСТЕСТВЕННОГО ВЫВОДА |
305 |
—мужчины или все люди — женщины.
|
x |
произвольно |
A(x) B(x) |
|
||||||||||||
x(A(x) |
B(x)) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
A(x) |
|
|
|
|
|
|
B(x) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
A(x) |
|
|
|
|
|
|
|
B(x) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x A x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x A(x) |
|
|
|
|
x B x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
x B(x) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x A(x) |
x B(x) |
|||
|
|
|
x A(x) x B(x) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x A(x) |
|
|
x B(x) |
|
|
|
|
|
|
||||||
x(A(x) |
|
|
B(x)) |
|
|
x A(x) |
|
|
x B(x) |
|||||||
Здесь два структурных нарушения во первых допущение что про извольно используется не в том же подвыводе: - а, во вложенных, xи во - вторых в, этих вложенных подвыводах допущения, уже зависят, от - Если первое, из нарушений хотя бы не противоречит самому духу сиx. стемы, то второе, безусловно, противоречит всему. -
306 |
ГЛАВА 11. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ВЫВОД |
Упражнения к § 11.2
Рассмотрите следующее исправление внесенное в предыдущее 11.2.1.доказательство студенткой Примерной:,
x(A(x) B(x)) |
|
|
|
|
x |
|
|||||
|
|
|
x |
|
A |
x |
|
|
|
||
|
|
A(x) |
( |
|
) |
|
B(x) |
||||
|
|
|
|
произвольно |
|
|
|
|
произвольно |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
A(x) |
|
|
|
|
|
B(x) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x A(x) |
|
|
|
|
|
|
x B(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x A(x) x B(x)
x(A(x) B(x)) x A(x) x B(x)
11.2.2.Докажите следующие формулы:
1.A & (B C) (A & B) (A & C)
2.(A & B) (A & C) A & (B C)
3.A (B & C) (A B) & (A C)
4.(A B) & (A C) A (B & C)
5.(A B C) & (C D) & (B ¬A) (A D)
6.(A & B C) & (E A) & (G B) & (¬G B) (E C)
7.(A & B C D) & ¬D (¬C & A ¬B)
8.(A B C) (A B) (A C)
9.(A & B C) (A C) (B C)
10.(A B C) (A C) & (B C)
11.((A B) A) A
12.((A B) C) & ((B A) D) C D
11.2.3.Докажите следующие формулы:
1.x(A(x) & B(x)) y A(y) & z B(z)
2.x( A(x) B(x)) & x ¬A(x) x B(x)
3.x(A(x) B(x)) & x ¬A(x) x B(x)
4.x(A(x) B(x)) & x(A(x) C(x)) & x(B(x)
C(x)) x C(x)
11.3. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ВЫВОД КАК ГРАФ |
307 |
5. x(A(x) B(x)) & x(A(x) C(x)) & x(B(x) D(x)) x(C(x) D(x))
6. y A(y) z B(z) x(A(x) B(x))
§ 11.3. |
ЕСТЕСТВЕННЫЙ ВЫВОД КАК ГРАФ |
|
|
Здесь дается строгое определение естественного вывода через графы. |
|||
При этом выявляются еще два правила, обычно скрытые в традицион- |
|||
ной формулировке вывода как последовательности формул. |
|
||
Прежде всего опишем типы вершин и ребер, присутствующих в гра- |
|||
фе вывода. Вершины делятся на формулы, описания, подвыводы и пра- |
|||
вила. Вершине-формуле приписывается формула; вершине-описанию — |
|||
переменная либо вспомогательная константа; вершине-правилу — |
на- |
||
именование этого правила. Формулы и описания часто объединяются |
|||
под именем информационных вершин. Далее, ребра делятся на три ти- |
|||
па. Использующие выходят из информационной вершины или подвыво- |
|||
да и заканчиваются в правиле; порождающие — |
выходят из правила и |
||
заканчиваются в информационной вершине; структурные, или подчи- |
|||
няющие — |
выходят из подвывода и заканчиваются в информационной |
||
вершине или подвыводе. Среди структурных ребер выделяются ребра |
|||
допущение и результат. На структурные ребра накладываются следу- |
|||
ющие |
Условия иерархии |
|
|
|
|
|
|
1. |
Каждая информационная вершина является концом одного и толь- |
|
ко одного структурного ребра. |
2. |
Подграф, состоящий из подвыводов, является деревом. Корень это- |
|
го дерева называется главным выводом. |
3. |
В каждом подвыводе, кроме главного, начинается ровно одно ре- |
|
бро “ допущение”. В каждом подвыводе начинается ровно одно ре- |
|
бро “ результат”. |
Таким образом однозначно определяется подвывод которому под чинена данная формула, Вершину в которую ведет ребро, допущение - называют допущением .данного подвывода, вершину в которую“ ведет”, ребро “ результат”, — его результатом. Результат; главного, подвывода
308 ГЛАВА 11. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ВЫВОД
называют теоремой. Формулы не могут быть связаны друг с другом |
|
непосредственно, они связываются посредством правил. Вершины, со- |
|
единенные с правилом использующим ребром, называются посылками |
|
данного правила, а вершины, в которые входят порождающие ребра, его |
|
заключениями. Посылки используются данным правилом, а заключения |
|
порождаются им. Структура взаимосвязи правил с информационными |
|
вершинами и иерархией подвыводов описывается следующими услови- |
|
ями. |
Условия структуры |
|
|
1. |
Каждая информационная вершина, кроме допущений, является за- |
|
ключением одного и только одного правила. |
2. |
Допущения не являются заключениями никакого правила. |
3. |
Каждая информационная вершина, кроме результатов, использу- |
|
ется не более чем одним правилом. |
4. |
Результаты не используются никаким правилом. |
5. |
Посылки и заключения всех правил, кроме правила передачи ин- |
|
формации, подчинены одному и тому же подвыводу. |
6. |
Граф вывода не имеет циклов. |
Итак лишь правило передачи информации ППИ может перено сить формулы, из одного подвывода в другой все( остальные) действу- ют строго внутри некоторого подвывода данный; подвывод называется-
подвыводом правила. ;
Правила вывода описываются через их окрестности в графе вывода Эта окрестность включает посылки и заключения а также допущения. и результаты посылок если посылки являются подвыводами, Для пра вила передачи информации, она включает также подвыводы. которым- подчинены посылка и заключение. ,
11.3. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ВЫВОД КАК ГРАФ |
309 |
Опишем применения правил для импликации. |
|
|||||||
Modus ponens |
|
Правило дедукции |
||||||
A |
|
A B |
|
|
|
Допущение |
|
• A |
|
|
|
|
|
||||
• |
|
• |
|
|
|
|
|
|
МП |
|
ГП |
◦ |
|
|
|
||
|
|
|
||||||
◦ |
|
Результат |
• B |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
••
BA B
Здесь прямоугольничек обозначает подвывод, кружочек означает прави- |
||||||||||||
ло. К ребрам приписаны их типы. ‘МП’ означает малую посылку, ‘ГП ’ |
||||||||||||
— |
главную посылку, ‘Допущение’ — |
допущение вспомогательного вы- |
||||||||||
вода, ‘Результат’ — |
его результат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Правила для других связок описываются аналогично. |
|||||||||||
|
Дополнительным условием применения правила вспомогательной |
|||||||||||
константы является то, |
что вводимая в нем вспомогательная константа |
|||||||||||
отличается от любых констант, вводимых другими правилами. Далее, |
||||||||||||
вспомогательная константа не может входить в допущение или резуль- |
||||||||||||
тат соответствующего подвывода. Таким образом, она не может быть |
||||||||||||
вынесена наружу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Еще два структурных правила вывода выделяются именно в гра- |
|||||||||||
фовом представлении, хотя имеют достаточно ясное значение и неявно |
||||||||||||
подразумеваются в традиционных определениях вывода. Это |
||||||||||||
|
Правило размножения Правило передачи информации |
|||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
• |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
◦ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
. . . |
• |
• |
|
◦ |
|
|
• |
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
A |
A |
A |
|
|
|
|
A |
||||
Первое из них имеет произвольное число заключений повторяю щих ту же формулу что была в посылке( ≥ 1) Без него невозможно, вывести- поскольку одна, и та же вершина. не может быть и допущением иAрезультатомA, Второе жизненно важно для взаимосвязи между подвы, водами. На него. накладывается следующее ограничение. -
310 ГЛАВА 11. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ВЫВОД
Передаваемая формула не может свободно содержать пе ременной объявленнойAпроизвольной в подвыводе куда она- передается, . ,
Выводом называется граф удовлетворяющий всем перечисленным условиям и такой что окрестность, каждого применения правила имеет соответствующий, ,вид Итак правила задают условия на локальную пра вильность переходов .и она, должна быть поддержана глобальной пра- вильностью структуры, вывода. -
§ 11.4. ПРАВИЛА ФОРМУЛИРОВКИ ОТРИЦАНИЙ |
|||||||||||||||||
И СОГЛАСОВАННОСТЬ С |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
КЛАССИЧЕСКОЙ ИСТИННОСТЬЮ |
|||||||||||||||||
Приведем выводы ряда формул, доказываемых достаточно искусствен- |
|||||||||||||||||
но, но необходимых для того, чтобы убедиться, что понятие естествен- |
|||||||||||||||||
ного вывода действительно отражает классическую истинность. Далее, |
|||||||||||||||||
их выводы позволят в дальнейшем |
„ отделить овец от козлищ“: резуль- |
||||||||||||||||
таты, доказываемые прямо, |
от результатов, |
требующих косвенного до- |
|||||||||||||||
казательства от противного. |
что из заданных значений истинности со- |
||||||||||||||||
Прежде всего убедимся, |
|||||||||||||||||
ставляющих формул следует истинность либо ложность сложной фор- |
|||||||||||||||||
мулы. Например, A & ¬B A B. Здесь, |
предположив A & ¬B |
||||||||||||||||
и получив из него A, по правилу ослабления можно немедленно выве- |
|||||||||||||||||
сти A B. На самом деле |
¬B оказывается просто ненужным. Столь |
||||||||||||||||
же тривиально доказывается B A B. Далее, A & B A & |
|||||||||||||||||
B является тавтологией в любом смысле этого слова. Для установле- |
|||||||||||||||||
ния ¬A (A B) достаточно воспользоваться правилом ex falso |
|||||||||||||||||
quodlibet. B (A B) |
требует всего лишь аккуратного оформления, |
||||||||||||||||
которое и проделаем в виде графа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Доп |
|
• |
|
◦ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доп |
◦ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
Рез |
|
|
◦ |
Рез |
|
|
|
|
|
|
|
Рез |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
◦ |
|
• |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
B (A B) |
|
A B |
|
|
|
|
|
|
|||||||||