Непейвода. Прикладная логика

A& ¬B ¬(A B)

Атеперь докажем правила формулировки отрицаний Каждое из них является эквивалентностью и требует доказательства и в. ту и в другую сторону В одну сторону от отрицаний частей к отрицанию, целого они по сути. дела уже доказаны— для пропозициональных связок —

легко доказать самим, базируясь на уже доказанных. (¬A

13.x(A(x) B(x)) & x(¬A(x) B(x)) & x(¬B(x)

C(x)) x C(x)

x y(A(f(x), y) B(x, y)) & x y(¬A(x, g(y)) B(x, y)) 14. x yB(x, y).

ТЕОРЕМА ПОЛНОТЫ ЕСТЕСТВЕННОГО

§ 11.5. ВЫВОДА

Доказательство эквивалентности выводимости и логической истинно сти менее прямое чем для семантических таблиц Мы не будем ста- раться строить вывод, всякой истинной формулы а опровергающую. мо- дель для невыводимой формулы построим столь неэффективно, что вос- пользоваться данной теоретической конструкцией для практических, це- лей практически невозможно Это связано с асимметричностью есте- ственного вывода он хорош как. средство доказательства“ но то что” вы- вод не удалось завершить: не всегда дает информацию для, опроверже, -

-

,

ния.Утверждение о полноте состоит из двух частей Нужно доказать кор ректность т е утверждение о том что каждая теорема. является семан- тическим ,следствием. . теории и собственно, полноту о том что каждое- семантическое следствие может, быть выведено Первая, часть, доказыва ется достаточно тривиальной индукцией но с .достаточно нетривиаль- ной формулировкой инварианта индукции, и входящих в него понятий.-

Теорема Теорема корректности Если выводима в то является 11семантическим.1. ( следствием Th). A Th, A

там и теореме Многие преобразования выводов являются общими для завершенных и. незавершенных выводов. В данном доказательстве нам

316 ГЛАВА 11. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ВЫВОД

потребуется переименование произвольных переменных То что произ вольные переменные вложенных подвыводов могут совпадать. , гаранти- рует возможность переносить куски из вывода в вывод без изменений, - но несколько затрудняет семантические рассуждения Докажем что без, изменения теоремы все произвольные переменные в выводе. могут, быть сделаны различными Индукция ведется по числу вершин формул в не законченном выводе..Доказывается следующее предложение- . -

Базис индукции Если в незаконченном выводе одна формула то она является допущением. либо аксиомой и инвариант индукции истинен, тривиально ,

Шаг индукции. Пусть инвариант доказан для всех незаконченных выводов длины . Докажем его для незаконченных выводов длины Пусть содержит≤ n. формулу Возьмем произвольную фор мулуn + 1. не используемуюΣ nникаким+ 1 правилом. Удалив ее а также если-

она неAявляется, аксиомой либо допущением. породившее, ее правило(

из вывода получим незаконченный вывод Σ) содержащий n формул, , A, .

Все встречающиеся в нем формулы по предположению индукции ис тинны в любой интерпретации где ,истинны допущения и аксиомы, от- которых они зависят Для вспомогательных, констант можно подобрать, подходящие значения. при любых значениях соответствующих произ вольных переменных Теперь рассмотрим всевозможные случаи соот- ветствующие получению. A. , -

Если является аксиомой либо допущением оно рассматривается так же, какA и в базисе индукции. ,

Пусть получена по правилу Тогда посылками это го правилаAявляются формулы видаmodusиponens. подчиненные тому- же вспомогательному выводу ВыбрасываяB Bиз выводаA, формулу и породившее ее правило . получаем незаконченныйΣA выводA длины в котором встречаютсяmodus ponens,и По предположению индук ции ониn,истинны в соответствующихB BконтекстахA. а по структуре вывода- контекст, у них тот же что и у А если в некоторой, интерпретации ис тинны и то,в ней истинноA. Все остальные правила прямого- заключенияB BкасающиесяA, пропозициональныхA. связок рассматриваются столь же тривиально, . ,

Пусть получено по правилу дедукции Тогда в имеется подвывод AдопущениемB которого является а результатом. ΣA Опять таки отбрасывая, из формулу и породившееA, ее правило— получаемB. - что , истинно в любойΣA интерпретацииA где истинны формулы, принад, лежащиеB контексту и формула , Значит по теореме дедукции, -

истинна в любойA Bинтерпретации, A. где истинны, все формулы из, ееA контекстаB . ,

Пусть получено по правилу разбора случаев Тогда в имеются формула C и подвыводы допущениями которых. являютсяΣA и соответственноA B а результатом, По предположению индукцииA Bв любой интерпретации, где истинны— Cформулы. из контекста истинно ,

значит в ней истинно, либо либо и опять таки ,по структуреA выводаB, и предположению, индукцииA, , истинноB, C. -

Пусть получено по правилу Тогда в любой интерпретации¬C где истинен контекстreductioи вдобавокad absurdumистинны. некоторые и Но этого, быть не может значит не истинноC, ни в одной из

моделейB ¬B.контекста, и во всех таких, моделях, Cистинно ¬C.

Перейдем к кванторным правилам Правило перехода от общего к частному разбирается тривиально Рассмотрим. правило вспомогатель ной константы. Оно вводит новую. константу ci посредством формулы-

318 ГЛАВА 11. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ВЫВОД

Для нее нетривиальна лишь вторая часть инварианта Но по сколькуBi(ci). в любой модели нашего контекста истинно мы. полу- чаем возможность найти подходящее значение x Bi(x), - При обосновании правила доказательства наciпримере. т е перехода от к необходимо опять таки вспомнить вторую, . .часть ин

вариантаA(t) и xподобратьA(x) подходящие значения- всех вспомогательных кон- стант входящих в терм В правиле обобщения верно при любом- значении, произвольнойtпеременной. A(z)

Доказательство корректности завершеноz. .

гда выводима в почему Значит поскольку по крайней мере одна¬изA формул Thневыводима( ?). можно, без противоречия добавить к противоположную¬A, A ей Очевидно, что пополняя теорию мы можем расширитьT h любую непротиворечивую. , теорию до полной в,которой из любых двух замкнутых формул выводима одна и только, одна

Далее когда теория полна ее¬теоремыA, A могут быть множеством всех. замкнутых, формул истинных,на некоторой интерпретации данной сиг натуры Но прямо ,построить такую интерпретацию исходя из полной- теории. не всегда удается Мешает этому некорректность, в полной те ории может, оказаться теорема. вида такая что ни: для какого- терма t A(t) не является теоремой. Такимx A(образомx), , может, доказываться

существование предметов которые назвать нельзя В связи с этим опре делим , . -

Определение Теория корректна если для каждой теоремы вида найдется11.5.1. такой терм- для которого, является теоре мой Теорияx A(x) корректна если для tкаждой, теоремыAвида(t) либо - либо. является- теоремой, Теория корректна если она иA корректнаB A, и -корректнаB . . , - ,

Интерпретацией порождаемой теорией называется следующая Универс состоит,из замкнутых термов. ЭлементарнаяTh, формула :

корректности и предположению индукции Если она имеет вид

то она эквивалентна и истинна по. корректности A B, Теперь рассмотрим¬AкванторыB, Теорема - влечет . для лю бого терма Но по определению.интерпретацииx A(xее) универсA(состоитt) из- всех таких термовt. По предположению индукции, истинно для лю бого терма Значит. по определению истинности, A(t) истинно По-

корректностиt. если, является теоремой, тоx A(x) при некото. ром- терме является, теоремойx A(x) Но тогда по предположению, A(t) индукции-

истинноt и по определению. истинности истинно A(t)Легко видеть, что и наоборот любая истиннаяx Aв(порождаемойx) . теори ей интерпретации, формула является, теоремой в случае если - полнаTh и корректна Итак полная и корректная теорияThимеет точную, моTh дель в которой истинны. , теоремы и только они Построить точную мо- дель,очень привлекательно но для большинства. теорий при этом прихо- дится переходить например, к булевозначным моделям Уже теория из- двух аксиом {A , B, B C, } не имеет точной двузначной. модели.

4 Если сигнатура несчетна то в качестве номеров воспользуемся ординалами Здесь используется аксиома выбора, от которой как мы уже замечали зависит теорема. пол ноты для более чем счетных теорий, . , , -

5 А почему мы не сказали осторожнее: теорем?