Непейвода. Прикладная логика

10.2. НЕСТАНДАРТНАЯ МОДЕЛЬ

§ 10.2.

НЕСТАНДАРТНАЯ МОДЕЛЬ

Пользуясь теоремой Мальцева о компактности, построим несколько не-

обычную модель теории, описывающей натуральные числа.

Пусть задан некоторый язык, обязательно включающий константы 0

и 1, операцию сложения натуральных чисел и, возможно, другие опера-

ции. Пусть задана некоторая арифметическая теория Ar в данном языке

и пусть все аксиомы Ar истинны на модели, универсом которой служат

натуральные числа, а интерпретации всех заданных в языке операций и

отношений соответствуют их содержательному смыслу. Такую модель

будем называть стандартной12.

Мы уже видели на примере теории Q из упражнения 8.2.5, как стро-

теряют видимую связь с ним, сохраняя тем не менее глубинные. С данной точки зрения

идеальные понятия такие же орудия человеческой мысли, как механизмы —

орудия его

материальной деятельности.

12 Как Вы заметите сами после изучения результатов о недоказуемости и неполноте,

условие об истинности аксиом на стандартной модели содержит глубоко спрятанный

подводный камень: строго говоря, мы до сих пор не имеем полной уверенности в ис-

тинности на множестве натуральных чисел даже принципа математической индукции,

поскольку любая попытка его обоснования ведет к порочному кругу: мы неявно пользу-

емся другой формой этого же принципа. Но степень уверенности математиков в истин-

ности арифметических теорем на стандартной модели, конечно же, неизмеримо выше

степени обоснованности любого естественнонаучного утверждения. Все последующие

рассмотрения затрагиваются данным замечанием лишь в том отношении, что нестан-

дартная модель гораздо сильнее привязана к конкретной форме математики, изучаемой

Вами в стандартных курсах —

классической математике, чем до сих пор рассмотрен-

ные результаты математической логики. При переходе к нетрадиционной математике

красивые методы нестандартных моделей быстро перестают действовать. Это не дис-

кредитирует их. Если бы Вам комментировали переносимость других математических

результатов, то Вы были бы “ приятно” изумлены, насколько тонка грань,

отделяющая

10.2. НЕСТАНДАРТНАЯ МОДЕЛЬ

А как же с существованием бесконечно большого числа ω? Но по-

нятие “ бесконечно большое” задается не одной формулой, а их беско-

нечной последовательностью, так что его просто не существовало в ис-

ходном языке. Все свойства, предметы, функции, множества, определяв-

шиеся в исходном языке, носят в нестандартной модели название “ стан-

дартных.”

А теперь вопрос: существует ли наименьшее бесконечно большое

натуральное число? Конечно же, нет. Ведь ω 6= 0, а для всякого нату-

рального числа n, отличного от 0, существует число n − 1. Так что не-

стандартный натуральный ряд принципиально отличается от ординаль-

ных чисел, лишь обозначение бесконечно большого числа у них одно и

то же. Если в ряду ординальных чисел существуют лишь все большие´

и большие´

бесконечности типа ωω, то здесь иерархия бесконечностей

274

не только суждений первого порядка, но и других, говорящих о структу-

рах, составленных из стандартных объектов.

К вопросу об этом мы вер-

немся ниже, в параграфе 10.5, который может быть опущен без всякого

ущерба для дальнейшего, если Вы готовы принять на веру, что такое

обоснование есть.

Итак, мы считаем, что в число стандартных объектов в математиче-

ском анализе входят все действительные числа, все их рассматриваемые

в анализе множества и т. д.

Нестандартная действительная ось строится таким образом, что все

свойства, выразимые на языке многосортной логики предикатов с пе-

ременными по действительным числам как исходному множеству и по

всевозможным функциям и множествам из ранее построенных типов

в ранее построенные, сохраняются. Таким образом, для нестандартной

действительной оси R принцип сохранения выглядит следующим обра-

зом:

Принцип переноса

Пусть A — произвольная формула логики предикатов с пе-

ременными и кванторами по числам, их функциям и мно-

жествам и т.п., имеющая свободными переменными x1τ1 , . . . ,

xnτn , где τi —

тип переменной xi. Пусть a1, . . . , an —

произ-

вольные объекты из стандартной интерпретации,

соответ-

ствующие по типам переменным xi.

Тогда

=

(a

, . . . , an)

=

A

(a

, . . . , an).

R |

A

1

R

|

1

Пример 10.3.1. Множеству всех действительных чисел R соответству-

ет в нестандартной модели множество всех нестандартных действитель-

ных чисел

R . Множеству всех действительных чисел без нуля

R \ {0}

соответствует

R \ {0}, поскольку сохраняется его характеристическое

свойство

{x R | x 6= 0}.

Начнем с терминологии, касающейся нестандартной модели.

Определение

10.3.1. (Объекты нестандартной модели) Объект назы-

вается стандартным, если он имелся в исходной модели. Множество

(функция)

называются внутренними,

если они входят в нестандартную

модель. Множество (функция) —

внешние,

если они не входят в нестан-

дартную модель.

Число конечное, если оно меньше по модулю некоторого стандарт-

ного числа. Число бесконечно большое, если оно по модулю больше лю-

бого стандартного числа. Число бесконечно малое, если оно по модулю

меньше любого отличного от нуля стандартного числа.

Прежде всего отметим некоторые свойства этих понятий, отнюдь не

являющиеся сюрпризом. Сюрпризы еще будут!

Предложение 10.3.1.

1. Результаты всех алгебраических действий

над конечными числами конечные.

2.

Единственное бесконечно малое стандартное число — ноль.

3.

При делении конечного числа a на бесконечно большое ω получа-

4.

ется бесконечно малое число.15

При делении конечного числа

a = 0 на бесконечно малое ε = 0

6

16

6

получается бесконечно большое число.

Итак, стандартные объекты переносятся из стандартной модели в

расширенную. Если сами по себе числа либо другие стандартные ба-

зовые объекты можно просто отождествить с их нестандартными обра-

от того, что может случиться в теории пределов, если a 6= 0, то

ωa 6= 0.

15 В отличие

16

отличие от того, что может случиться в теории пределов, если ε = 0, то 0ε = 0. А

выражения 0

и 0

остаются бессмысленными.

6

В

ε

0

зами17, то для множеств и функций (и вообще объектов высших типов)

ситуация сложнее. Ясно, например,

что нестандартным образом множе-

ства натуральных чисел N служит множество нестандартных натураль-

ных чисел N . Функция sin при переносе на нестандартную ось должна

быть доопределена для всех нестандартных значений. А уж если поду-

мать, что же должно соответствовать операции интегрирования. . .

Далее, если любое нестандартное число является полноправным объ-

ектом нестандартного анализа, который можно использовать в рассу-

ждениях и для которого сохраняются все выразимые на логическом язы-

ке свойства, то для множеств и функций это уже не так. Часть из них,

являющихся образами стандартных множеств и функций, также называ-

ются стандартными, хотя, как было показано выше, их содержание уже

другое.18 Часть —

нестандартные —

сохраняют общие свойства и вхо-

дят в нестандартную модель (например, множество всех чисел, больших´

ω). Часть из них —

внешние —

в нестандартную модель вообще не вхо-

дят.Критерием для установления того, что множества (функции) — внеш-

ние, является нарушение для них свойств, доказываемых для множеств

либо функций в обычном анализе.

Например, покажем, что множество

стандартных действительных чисел (взятое как подмножество нестан-

дартной действительной оси) является внешним.

Предложение 10.3.2. Множество стандартных действительных чи-

сел внешнее.

Все стандартные действительные числа меньше по

Доказательство.

278

ГЛАВА 10.

Докажем теорему, с которой начался нестандартный анализ.

Теорема 10.1. [A. Robinson, 1960]

Любое конечное число однозначно

представляется в виде суммы стандартного и бесконечно малого.

Доказательство. Пусть a —

конечное число.

Это значит,

что имеется

такое стандартное n N, что |a| < n. Следовательно, множество стан-

дартных чисел

Xa = {x | x R & x < a}

(10.2)

ограничено сверху.19 Любое ограниченное сверху множество действи-

тельных чисел имеет верхнюю грань. Обозначим верхнюю грань Xa че-

рез st a. st a —

стандартное число.

Далее, ε = a − st a —

бесконечно

малое число, поскольку иначе st a не было бы верхней гранью Xa.

Теперь рассмотрим две конкретизации принципа переноса, важные

для проверки многих утверждений нестандартного анализа.

Предложение

10.3.3. ( -перенос) Пусть A(x) —

стандартная форму-

ла со свободной переменной x. Тогда

R

=

x A(x)

x

0

(x

0

R

R

= A(x

0

)).

|

|

Предложение 10.3.4. ( -перенос) Пусть A(x) —

стандартная форму-

ла со свободной переменной x. Тогда

R

=

x A(x)

x (x

&

= A(x

0

)).

|

0 0 R

R

|

10.4. НЕСТАНДАРТНЫЕ ПЕРЕФОРМУЛИРОВКИ

279