Непейвода. Прикладная логика

посылка Итак из доказуемости отрицания формулы Россера следует сама формула. Россера, .

Теорема Теорема Гёделя о неполноте в форме Россера По лю бой непротиворечивой13.5. ( теории содержащей арифметику ) можно- построить такую формулу Thчто, ни она сама ни ее отрицание, не доказуемы в Th. RT h, ,

Есть одно любопытное неформальное следствие теоремы о непол ноте на фундаментальный логический характер которого впервые обра- тил внимание, Брауэр20 в г -

Парадокс1908института. математики

Пусть некий Институт Математики взял заказ на.вычисление опти мального значения некоего параметра который может изменяться от - до После годичных глубоких исследований, выдана теорема о том что−1 искомое1. оптимальное значение есть если не существует максималь, ного простого числа близнеца и 0, если таким числом является - Поскольку число иррациональное- , sin p, может оказаться где угодноp. на отрезке πСпрашивается получил, sin p ли заказчик хоть какую то информацию(−в1,результате1). данного, с точки зрения классической логи- ки, однозначного и полностью определенного, ответа? -

Упражнения к

А как же теория§ 13.4рассматривавшаяся нами в главе посвященной 13.4.1.нестандартному анализу, аксиомами которой являются, все истин ные формулы арифметики, Она ведь содержит формальную ариф- метику, непротиворечива, ?но полна. -

20 Это было сделано в его диссертации носившей вызывающее название О недосто верности логических принципов В ней, обосновывалось положение что :классическая« - логика была создана для конечных.» объектов и поэтому при ее применении, к бесконеч ным идеальным объектам должны обязательно, возникать несоответствия тому чего- мы могли, бы ожидать при прямом переносе примитивных результатов В частности, он обратил внимание на то что если мы желаем чтобы доказанное утверждение. с кван, тором существования , действительно,давало построение такого и при этом- допускаем бесконечныеxмножестваA(x) хотя бы совокупность натуральных чиселx то не обходимо отказаться от закона исключенного( третьего и от закона двойного), - отрицания В г уже было известно чтоA некоторые¬ A математические теоремы о существовании¬ ¬ A A. не1908дают. построений но такие, теоремы имелись лишь в тео рии множеств и использовали аксиому выбора ,и поэтому бытовало общее мнение что- избавиться от них можно пересмотром математических, аксиом Брауэр же подчеркнул, что никакой пересмотр конкретных аксиом здесь не поможет что. и подтвердилось через, два десятилетия. ,

372 ГЛАВА 13. НЕПОЛНОТА И НЕФОРМАЛИЗУЕМОСТЬ

ной являлась реакция когда она игнорировалась как не имеющая отно шение к реально используемым, в математике утверждениям -

Первую брешь на данном пути пробил результат Коэна о неразреши.

мости континуум гипотезы в традиционной системе теории множеств- Континуум гипотеза- Кантора заключается в том что нет множеств.

промежуточной- мощности между натуральным рядом, и множеством дей ствительных чисел И действительно несмотря на все старания матема - тиков таких множеств. построить не ,удавалось В конце х гг Гёдель- доказал, что континуум гипотезу нельзя опровергнуть. 30в теории- . мно жеств В, г молодой- английский математик П Дж Коэн доказал- что в теории. 1961множеств. нельзя ее и доказать . . , Арифметика продержалась в отношении.отсутствия интересных для математиков нелогиков неразрешимых утверждений лет на дольше но в конце концов- был получен любопытный результат приоткрываю15 , щий еще одну взаимосвязь между неразрешимостью и вычислимостью, - и более того имеющий отношение к программированию , В х гг, английский математик П Рамсей доказал интересную. те орему20вариант- . которой для конечных множеств. мы приведем -

, :

Теорема 13.6. (теорема Рамсея) Для каждого k найдется такое число

21 Значительная часть материала также ведет начало от данной книги являвшейся од ним из самых глубоких комментариев к теореме Гёделя Интересно ,что ее постигла- судьба многих умных работ рецензия на нее весьма авторитетного. логика, славивше гося дотошностью была просто: разгромной (Более того в книге Подниекса, автор за- метил элементы того) что он пытается проводить. как систему, здесь многоуровневого- критического мышления, когда положительный результат на одном уровне: часто озна чает отрицательный на другом, и наоборот Видимо эта особенность книги и вызвала- раздражение мощного, но одноуровневого, ума. рецензента, .

что в произвольном графе с вершинами найдется либо полный под графl, с вершинами либо такиеl вершин что никакая пара из них не- связанаkдугой. , k ,

Такая формулировка неявно утверждает существование функции строящей по Теорема Рамсея может быть доказана в арифметикеϕ, но это доказательствоl k. дает очень плохую оценку для и почти сразу, же стало известно что эту оценку можно намного улучшитьϕ, Однако при установлении ,лучшей оценки использовались сильные теоретико. множественные соображения -

В середине х гг было доказано. что имеется такая оценка ко торая не может70быть- .обоснована в арифметике, но обосновываетсяϕ, в- теории множеств А далее пошла целая серия результатов, которые уста новили что оценку. можно улучшать и улучшать но каждое, улучшение- требует, все более и более сильных фрагментов ,а затем и расширений традиционной теории множеств , ,

Но ведь теорема Рамсея может. использоваться и на самом деле не однократно использовалась для обоснования вычислительных( алгорит- мов и здесь вопрос о величине) числа приобретает важное значение- Итак, получился интересный неформальныйl результат чем эффектив.

нее составленная, программа тем сложнее может быть: ее обоснова- ние и тем более абстрактных, понятий оно может потребовать Так-

что те кто утверждает что нужно пользоваться лишь реальными поня. тиями,и изгонять идеальные, абстрактные рискуют проиграть не только- в сложности и глубине рассуждений, но и, в силе реальных методов

Теперь рассмотрим аргументы показывающие, почему практически. невероятно как либо обойти теорему, Гёделя о неполноте, и нельзя ни каким образом -конечнозначно проинтерпретировать ее скажем так -

‘ ’ , , :

Любая формула либо доказуема либо опровержима либо неразрешима. , ,

Обобщим теорему Гёделя в форме Россера следующим образом Возь мем произвольное перечислимое множество чисел Тогда имеется. - формула AX (x), такая, что доказуемо A(n) тогда и толькоX. тогда, когда

n РассмотримX. теперь следующий вопрос Пусть даны два непересека ющихся перечислимых множества и . Можно ли построить такую- формулу которая в случае полнотыXотделялаY . их друг от друга Здесь можно воспользоваться, идеей Россера и применить ее от противного? .

374 ГЛАВА 13. НЕПОЛНОТА И НЕФОРМАЛИЗУЕМОСТЬ

Пусть формула такова что она арифметически разрешима и A(n,Наличиеm) такой, формулы следует из аксиомы пере числимостиy A(n, y) Аналогичноn X. пусть обладает таким же свойством-

для Y . Построим. теперь по, образуB(Россераn, m) формулу

Содержательно данная формула означает отсутствие доказательства

при и при Рассуждениями аналогичными теоремеC(n) Россераn Xполучаем¬ C(n)что вnлюбомY . непротиворечивом, расширении ариф метики ,невыводимо, x, y DR(x, n, y) при n X и его отрицание при-

n ИзY . усиленной формы конструкции Россера следует что не суще ствует алгоритмической расширяющейся последовательности, теорий - таких что для каждого разрешимо хотя бы в своейThn,

, В самомx, y делеDR(x,тогдаn, y) мы могли бы любуюn вычислимую функцию доопределитьThf(n). до всюду, определенной чего не может быть

Из сильной непополнимости вытекает, ряд результатов. на которые впервые обратил внимание Подниекс Есть формулы для ,которых не разрешимо утверждение об их неразрешимости. и т ,д и даже беско- нечное число утверждений каждое из которых утверждает. ., неразреши- мость предыдущего Не помогает, здесь переход и к более сильным тео- риям для проверки неразрешимости. и даже построение целой последо- вательности таких теорий -

Обобщая ту же конструкцию. Россера можно получить существова ние для любого множества формул которые, не только независимы- но и взаимно независимыn их булеваn комбинация, доказуема тогда и толь, ко тогда когда она является: тавтологией Более того такие системы мо- гут порождаться, значениями одной и той. же формулы, Эти построения- вынесены в задачи для сильных студентов.22 .

22 Все эти рассуждения являются частным случаем того что незнание гораздо более разнообразно по своим формам чем знание Умножая свое, знание мы еще сильнее умножаем незнание, поскольку начинаем, видеть. то, чего не видели раньше, , и избавля-

Теперь рассмотрим идеи следующей группы результатов Посколь ку сами теории поставляют нам примеры неразрешимых утверждений. - они же должны поставлять и способы своего собственного пополнения, так чтобы эти неразрешимые утверждения были решены Первый из, таких, способов пополнения нашел сам Гёдель Он заметил .что его рас суждения в доказательстве теорем неполноты.могут быть ,проведены в- самой теории если к ней добавить формулу выражающую непроти воречивость этойTh, теории. Следовательно, , -

Теорема Теорема Гёделя о непротиворечивости Непротиво речивость13достаточно.7. ( сильной теории не может быть доказана) вну- три нее самой. -

Но тогда утверждение о непротиворечивости является способом пополнения причем таким который используетThлишь неявно имев шиеся в видуThпри, построении , предположения кто же намеренно ис- пользует противоречивую теориюTh в математике ( -

23

Появилось предположение что в некоем принципе?) можно достичь доказательства любого истинного, предложения арифметики, построив

емся от иллюзий что ответы на многие вопросы в обыденной жизни считающиеся однозначными на, самом деле известны А вообще, нужно всегда помнить что знание как любого отдельного, человека так и.всего рода, человеческого конечно, зато неве жество его бесконечно хотя бы потенциально, Поэтому люди рассуждая,совместно- складывают не только свои( знания но и в первую). очередь свое, незнание и решение, принятое комитетом как правило глупее, (того которое произнес) бы самый ,тупой из его, членов. , , ,

23 На самом деле ситуация намного тоньше Если взять другое кодирование утвержде ния о непротиворечивости идеей которого является. повторять конъюнктивно и дизъ- юнктивно ее отрицания столько, раз какова длина рассматриваемого доказательстваA - то непротиворечивость арифметики, можно доказать в самой арифметике Другое делоA, что это кодирование неявно включает в себя непротиворечивость арифметики. Словом, нигде в окрестностях теоремы Гёделя не надейтесь на простые и однозначные. реце, пты и истолкования Поэтому практически все популярные философские комментарии- к этой теореме неверны. Все вышеизложенное можно суммировать следующим обра зом не верьте никаким философским. комментариям к теореме Гёделя кроме изложен- ных: в книге [14] (но и этим тоже не верьте!) , -

376 ГЛАВА 13. НЕПОЛНОТА И НЕФОРМАЛИЗУЕМОСТЬ

FCRT h = x y ProofT h(x, y, dA(x)e)

x A(x)

Теорема Ван Хао Для каждого найдется формула вида с13разрешимым.8. ( предикатом, 1955) для доказательстваn которой в арифметикеx R(x) понадобится индукция поR,формулам с не менее чем кван торами. n -

24 Заметим что принцип рефлексии является частным случаем правила Карнапа Хотя он не изменяет, отношения выводимости(13.3) но может значительно укоротить многие. выводы. ,

378 ГЛАВА 13. НЕПОЛНОТА И НЕФОРМАЛИЗУЕМОСТЬ

Итак в арифметике ситуация качественно меняется по сравнению с исчислением, предикатов теперь использование промежуточных слож ных лемм не просто сокращает: вывод а делает его вообще возмож- ным25. , -

Упражнения к § 13.5

Докажите что если система формул такова что 13.5.1.ни одна из конъюнкций, , n A1, . . . , An ,

µ1A1 & · · · & µnAn,

где каждое из есть пустое слово либо знак отрицания нераз решима то булеваµi комбинация этих формул выводима ттт, когда- она является, тавтологией такую систему назовем независимой, аналогично независимой системе( множеств). ,

13.5.2. Постройте независимую систему формул.

Постройте формулу такую что при любом система

13.5.3. A(n) независима A(x), , n A(0),

. . . , .

ФОРМАЛИЗАЦИЯ НЕФОРМАЛИЗУЕМЫХ § 13.6. ПОНЯТИЙ

Опасаюсь что голос раздастся однажды «О невежды, ! Дорога не там и не тут!» :

О Хайям стр

Итак даже( в.математике. [23, достаточно. 42]) сложные понятия невозможно формализовать, Тем не менее мы вовсю пользуемся их формализация ми Более того .компьютеризация всех сфер человеческой деятельности- приводит. к слишком, часто неосознанной формализации и тех поня тий, которые( всегда трактовались как неформальные) . Эта сторона была-

25 Еще одна иллюстрация к необходимости идеальных объектов и сложных формализ мов при открытии ‘простых’ теорем. -

противоречие либо расхождение с истинностью в стандартной модели А вот в описа нии алгоритмических, языков очень трудно сделать такую ошибку которая. привела бы- к явной невычислимости некоторых конструкций Поэтому как ни,парадоксально есть понятие ошибки в программе но до сих пор практически. нет, понятия ошибки в том, на чем базируются программы: в, определении алгоритмических языков. ,

380 ГЛАВА 13. НЕПОЛНОТА И НЕФОРМАЛИЗУЕМОСТЬ

28 В частности отношения Ромео и Джульетты были прецедентом не подходившим под почти формализованное, в тот момент понятие любви. ,