Непейвода. Прикладная логика

16.8. ИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

451

В соответствии с данными предпосылками, приходим к следующему

точному определению.

Определение 16.9.1.

Каждой формуле A сопоставляется множество на-

туральных чисел A (множество ее рекурсивных реализаций). n A

читается «n рекурсивно реализует A» (или просто «реализует», если

454

Этот пример подтвердил в частном, но точном случае ранее содер-

жательно проведенный нами анализ колмогоровской интерпретации. В

свое время он произвел шокирующее действие.

Хотя при более глубо-

ком анализе уже можно было бы догадаться, что конструктивная мате-

матика может расходиться с классической,почти никто из математиков

и философов этого не ожидал.

Следующий принцип впервые явно сформулировал А. А. Марков.

Мы уже формулировали его содержательно на стр. 348.

Формальный принцип Маркова:

(16.29)

x(A(x) ¬ A(x)) & ¬ ¬ x A(x) x A(x)

осталась прежней (только осмысленность была всегда выполнена). В

обще-рекурсивной реализуемости принцип Маркова уже не выполнен,

зато выполнен другой принцип,

также классически истинный, но кон-

структивно несовместимый с приципом Маркова. Он обычно называет-

ся принципом независимости от посылки (IP).

Принцип IP:

(16.31)

Этот принцип еще сильнее унижает отрицание: оно не может хоть чем-

то помочь при нахождении объектов. Он имеет и свое пропозициональ-

ное выражение, називаемое принципом Медведева:

(¬ A B C) (¬ A B) (¬ A C)

(16.32)

Рассмотренные два, одинаково красивых, но несовместимых между со-

бой случая были лишь началом в построении целой совокупности раз-

личных понятий реализуемости.

§ 16.10.

ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА И КАТЕГОРИИ

Последний вид семантик неклассических логик —

категорные интер-

претации. В принципе колмогоровская интерпретация подсказывает ка-

тегорную, но функционалы, конечно же, приносят немало хлопот.

Из интерпретации Колмогорова сразу же видно, что конъюнкции со-

их пря-

мая сумма. Простейшая категорная конструкция, превращающая мор-

физмы в объекты, так называемая категория морфизмов. Ее объектами

являются морфизмы, а морфизмом между f и g считается коммутатив-

ная диаграмма

f

a

b

(16.33)

h2

g

c

d

Но такое определение, с одной стороны, не обеспечивает достаточного

богатства операций над морфизмами,

и, с другой стороны29, выводит

457

нас за пределы исходой категории. Поэтому в определении семантики

интуиционистской логики используется гораздо более сильная категор-

ная конструкция —

экспоненциал.

Определение 16.10.1. Объект ba называется экспоненциалом объектов

a и b, если есть морфизм означивания ev : ba × a → b, такой, что для

любого объекта c

и любого g : c × a → b имеет место коммутативная

диаграмма

ba × a

ev

gˆ×ea

b

c × a

g

Таким образом, морфизм ev играет роль функционала означивания.

он получает в качестве первого аргумента код функции, а в качестве вто-

рого —

аргумент, к которому функция применяется, и выдает значение

функции на данном аргументе30 g можно рассматривать как функцию

от двух аргументов g(c0, a0) b. По преобразованию Карри, функцию

от двух аргументов можно заменть на функционал (g → (a → b)), ко-

торый и обозначается на диаграмме gˆ. Поскольку стрелка пунктирная,

такой gˆ находится единственным образом.

Итак, экспоненциал дает возможность определять преобразование

Карри,

или, что эквивалентно, функционал частичной параметриза-

ции. При частичной параметризации мы подставляем в функцию мно-

гих аргументов значения некоторых из них и получаем остаточную функ-

цию, которая готова принять оставшиеся неизвестными аргументы.

Понятие частичной параметризации —

понятие, важность которого

(Руми. [23, стр. 212])

Рассмотрим принципиально новые возможности, предоставляемые

интуиционизмом в области формализации.

Творческая последовательность.

A,

0,

если в году

n

не доказана.

формула

α(n) = ( 1,

если она доказана

Видно, что творческая последовательность идейно совпадает с мо-

делью Крипке интуиционистской логики. В моделях Крипке формула

может некоторое время оставаться неразрешенной, а затем при движе-

нии вверх по дереву возможных миров стать истинной.

Если же она

никогда не станет истинной, она по определению считается ложной.

Принцип, формально выражающий наличие творческих последователь-

ностей, носит называние схемы Крипке, хотя Крипке лишь вторым на-

писал его формальное выражение.

В доказательствах его использовал

уже Брауэр, а под другим названием —

конструкций —

изоморфный

принцип использовал и формально выразил Крайзел.

x α(A(x) n α(n) = 1)

(16.34)

16.11. О ФОРМАЛИЗАЦИИ НЕЗНАНИЯ

т. е. все, что мы о них знаем, мы знаем из уже полученной информации.

Здесь f —

произвольная последовательность. Брауэр приводил в каче-

стве примера последовательности, естественно формализуемой как без-

законная, последовательность результатов измерений, воспринимаемых

из физического источника, природа которого неизвестна.

Из определения беззаконности следует, что никакая беззаконная по-

следовательность не равна тождественно нулю, то есть

α ¬ n α(n) = 0.

(16.35)

В самом деле, возьмем произвольную беззаконную последовательность

α. Если бы она была тождественно равна нулю, то это мы узнали бы из

конечного числа ее членов, но тогда было бы такое конечное число n

членов, что любая последовательность, первые n членов которой были

бы равны нулю, была бы тождественно равна нулю, что абсурдно.

Нельзя ввести вместо переменной по беззаконным последователь-

ностям предикат “ быть беззаконной”, поскольку его отрицание устана-

вливалось бы, исходя из конечного числа значений последовательности.

Так что не всегда тип данных можно заменить новым предикатом.

Трулстра (Голландия, 1968) доказал, что композиции алгоритмов и

беззаконных последовательностей образуют модель интуиционизма, в

которой можно промоделировать творческие последовательности.

Беззаконные последовательности явились первым примером пози-

тивного использования незнания в точных науках. Возможность сфор-

мулировать незнание в виде логической формулы —

еще одно достиже-

ние интуиционизма.

460