Непейвода. Прикладная логика

18.2. МИНИМАЛЬНАЯ ЛОГИКА

Шаг. Пусть 0 = n, где n — произвольное. Докажем 0 = n + 1.

Поскольку 0 = n, имеем 1 = n + 1 (по аксиоме x, y(x = y x + 1 =

y +1).) Тогда по транзитивности равенства 0 = n+1, что и требовалось

доказать.

Отсюда по аксиоме равенства следует x, y x = y. Подстановкой по-

лучаем произвольную элементарную формулу t = u.

А теперь индукцией по построению произвольной формулы A дока-

зываем, что она выводима. В самом деле, для элементарных это доказа-

но, а далее, поскольку все наши связки ведут от истинных к истинным

(нет отрицания), это легко видеть.

Итак, формула

(18.7)

A 0 = 1

является полноценной заменой отрицания в арифметике.

Более того, в классической безотрицательной арифметике она сразу

же оказывается полноценным классическим отрицанием.

В самом деле,

закон приведения к абсурду, очевидно, выполнен, поскольку опреде-

лена как 0 = 1. A ¬ A является частным случаем классической тавто-

логии

A (A B).

Предложение 18.2.1. В минимальной логике из противоречия выводит-

ся отрицание любой формулы.

Доказательство. В самом деле, если у нас имеется противоречие B и

¬ B, то мы можем импортировать его в любой вспомогательный вывод.

После импорта мы можем, предположив A, заключить по правилу при-

ведения к абсурду (которое сохраняется) ¬ A.

Пример 18.2.1. Рассмотрим интерпретацию лжи как истины.2 Тогда

правило приведения к абсурду сохраняет силу, поскольку истина следу-

ет из всего, что угодно. Значит, данная интерпретация моделирует мини-

мальную логику. Но в такой интерпретации истинна (либо реализуема)

любая формула вида ¬ A.

В арифметике, в частности, отрицание моделируется в системе без

отрицания. Из 0 = 1 выводима с помощью аксиомы индукции любая

позитивная формула.

Таким образом, в реальных аксиоматических теориях минимальная

логика не дает никаких новых эффектов по сравнению с интуиционист-

ской, и поэтому представляет интерес лишь для перепроверки области

применения интуиционистских результатов.

Упражнения к § 18.2

18.2.1.

Дайте определение модели Крипке для минимальной логики.

18.2.2.

Проверьте, будут ли минимально доказуемы следующие форму-

лы:

1.

(A B) & ¬ A B.

2.

(¬ ¬ A A) & (¬ ¬ A ¬ A) (A ¬ A).

3.

(¬ A B) (A B).

4.

¬(A & B) ¬ A ¬ B.

5.

¬ A ¬ B ¬(A & B).

6.

¬ x A(x) x ¬ A(x).

18.2.3. Догадайтесь, на что заменить в арифметике без отрицания акси-

473

18.2.4. Каково соотношение безотрицательных фрагментов минималь-

ной и интуиционистской логики?

§ 18.3.

ЛОГИКА С СИЛЬНЫМ ОТРИЦАНИЕМ

Грис модифицировал интуиционистскую логику в другом направлении,

введя в нее сильное отрицание , определяемое по правилам прямого

отрицания, и сохранив ex falso quodlibet. Правила естественного выво-

да для логики с сильным отрицанием формулируются по отдельности

для связок и для отрицаний связок.

Таким образом,

сильное отрицание

работает по-разному в различных контекстах3 Для обычных связок пра-

вила остаются прежними. Для отрицания исчезает правило приведения

к абсурду, но остается правило ex falso quodlibet.

Устранение Введение

(A B)

A B

(18.8)

A B

(A B)

Остальные правила для комбинаций отрицания и связок также следуют

классическим правилам формулировки отрицаний. В том числе имеется

и два правила для комбинации .

Введение

Устранение

(18.9)

A

A

A

A

475

Напомним, что отображение называется антиизоморфизмом чумов,

если оно взаимно однозначно и x < y f(x) > f(y).

и 1, его можно

Поскольку этот антиизоморфизм меняет местами 0

считать одной из форм отрицания.

Заметим, что четырехэлементная решетка с двумя несравнимыми

элементами позволяет определить два отрицания. Покажем их на чер-

теже.

1

(18.12)

a = ¬ b = a

b = ¬ a = b

0

Упражнения к § 18.4

18.4.1.

Чему равно (a ∩ b)?

§ 18.5.

ОСНОВЫ ЛОГИКИ ПРОТИВОДЕЙСТВИЯ

Очевидно, почему Брауэр испугался собственной идеи превентивного

отрицания. Он, при всей внешней революционности, как уже было пока-

зано, максимально осторожно относился к идеям математики. А данное

понимание отрицания находится в грубейшем концептуальном проти-

воречии с идеей чистой математики. Ничто не может воспрепятствовать

математику сделать вывод, который следует из ранее доказанных пред-

ложений, даже если этот вывод противоречит другим ранее доказанным.

Другое дело, что такой вывод должен заставить пересмотреть некоторые

из ранее принятых положений. Итак, мы видим, что грубой математиче-

ской реализацией идеи Брауэра может служить правило modus tollens:

A B

¬ B

(18.13)

¬ A

Заметим, что modus tollens точно так же согласуется с отрицанием как

приведением к нежелательному результату: если из B следует нечто не-

желательное, то оно следует и из A.

Поэтому данное правило нельзя

477

от людей и не меняются со временем, если эти утверждения уже дока-

заны, дальше двинуться невозможно.

Рассмотрим теперь логику меняющегося мира, в котором действуют

активные субъекты. Тогда задача воспрепятствовать истинности A ста-

новится вполне осмысленной. Описание такого вида отрицания пред-

ставляет нелегкую задачу. Остановимся на некоторых трудностях.

Пример

18.5.1. Рассмотрим ситуацию, где нам нужно воспрепятство-

вать действию, заключающемуся в повороте на 180◦ некоторого устрой-

ства. Тогда, если нам недопустимо прямо воздействовать на противни-

ка и есть основания полагать, что распознать состояние устройства ему

будет затруднительно, лучший способ помешать противнику —

самому

заранее выполнить этот поворот, дабы он своим действием восстановил

желаемое нам состояние.

Этот пример более или менее условный, но в восточных единобор-

ствах известно, что часто лучший способ воспрепятствовать приему про-

тивника —

помочь ему. Также и интриганы часто препятствуют чему-то

нежелательному, помогая проводящему в жизнь данное действие таким

образом,

чтобы он якобы добился успеха, а результаты были бы прямо

противоположны ожидаемым.

Итак, в логике противодействия каждое действие должно иметь обрат-

ное. Этому условию противоречит обычная совокупность функциона-

лов колмогоровской интерпретации, поскольку, в частности,

функцио-

нал, всегда принимающий одно и то же значение, необратим. Итак, в

данной логике реализациями должны быть элементны некоторой груп-

пы. Развитие логик реверсивных действий — одна из актуальных задач,

которая пока еще не решалась.

§ 18.6.

ПАРАНЕПРОТИВОРЕЧИВАЯ ЛОГИКА

Паранепротиворечивая логика отказывается от третьей стороны отри-

цания,

и, более того, рассматривает A и ¬ A как вполне совместимые

случаи. Содержательным обоснованием этого является, напрмер, сле-

дующее рассуждение.

Пить водку вредно для здоровья. Поэтому водку

пить нельзя. Но пить водку принято в нашем об-

(18.14)

ществе. Поэтому пить водку нужно.

Рассмотрим фрагмент интуиционистской логики, в котором есть все-

го одна связка . Формулы данного языка изоморфны типам в типи-

зированном λ-исчислении. Это —

первая основа изоморфизма. Вторая

основа —

уже ранее неоднократно подмеченная аналогия между при-