Непейвода. Прикладная логика

412

ГЛАВА 15. КОРНИ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ЛОГИК

Упражнения к § 15.1

и, если

Разобрать следующие рассуждения. Корректны ли они,

они некорректны и опираются на некоторые законы логики, за гра-

ницы применимости каких законов они выходят?

15.1.1.

Тот, кто ест меньше, более голоден. тот, кто более голоден, ест

больше. Значит, тот, кто ест меньше, ест больше.

15.1.2.

Тому, кто хочет учиться, поощрение не нужно. Тому, кто не хочет

учиться, оно бесполезно. Значит, поощрять учащихся бесполезно.

15.1.3.

Если все люди равны по способностям изначально, то все раз-

личия происходят от воспитания и обучения. Подавляющее боль-

шинство знаний и привычек человек приобретает в первые годы

жизни, и многие из них —

уже в утробе матери. Поэтому если все

люди равны изначально, кастовая система общества, когда про-

фессия человека предопределяется профессией его родителей, явля-

ется идеальной.

15.1.4.

Тот, кто хочет что-то изучить, не знает этого. Не знающий не-

вежествен. Таким образом, лишь невежественные люди желают

учиться.

15.1.5.

То, что ты не потерял, у тебя есть. Ты не терял рогов. Значит у

тебя есть рога.

15.1.6.

Все коммунисты — атеисты, материалисты и сторонники госу-

дарственного контроля за обществом. Иван Масонов —

атеист,

материалист и государственник. Значит, он —

коммунист.

15.1.7.

В утверждении 15.4, как утверждают многие, на самом деле нет

внутреннего противоречия. Объясните, почему? (Как понимают

‘все’ в обыденной жизни?)

§ 15.2.

СИЛА И НЕДОСТАТКИ КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

415

ми в первой части книги:

конструкция, синтаксическая

Доказательство —

правильность которой гарантирует семантиче-

(15.16)

скую.

Естественно, что столь общее и гибкое понятие, как доказательство,

должно быть приложимо самыми разными способами.

обеспе-

Первое приходящее в голову применение доказательства —

чение истинности некоторых утверждений. Но вопрос

Что есть истина?

(15.17)

15.3.1.

Сведение новой задачи к уже решенным.

Чистые математики занимаются тем, что решают задачи. Откуда берут-

ся задачи, уже немного рассматривалось в первом томе (§0.2). А вот что

значит ее решить —

важный вопрос.

Никакое математическое доказательство не ведется с самого начала

(за исключением нескольких примитивных теорем в учебниках логики

и алгебры.) Оно заканчивается ссылками на уже известные теоремы, ко-

торые когда-то тоже были математическими задачами. Таким образом,

как говорят в математическом фольклоре,

Решить задачу —

значит, свести ее к уже решен-

ным.

(15.18)

Рассмотрим пример.

утвер-

Пример 15.3.2. Одна из простейших геометрических теорем —

ждение о возможности деления отрезка пополам. Разберем доказатель-

ство этого утверждения. Вначале из каждой из вершин отрезка радиусом

равным, скажем, длине этого отрезка проводится окружность. Находят-

ся две точки пересечения этих двух окружностей. Через эти две точки

проводится прямая, пересечение которой с исходным отрезком дает его

середину.

Тут мы свели данную задачу к следующим, предполагающимся уже

решенными:

Через данную точку данным радиусом провести

окружность;

(15.19)

Найти две точки пересечения двух пересекаю-

щихся окружностей;

(15.20)

Найти точку пересечения двух прямых.

(15.21)

Первая из данных задач является постулатом Евклида.8 Вторая — вы-

водится из аксиом Евклида, но для применения данного построения тре-

буется предусловие

Расстояние между центрами окружностей мень-

(15.22)

ше суммы их радиусов и больше их разности.

Далее,

по двум полученным точкам пересечения можно провести пря-

мую

(опять постулат Евклида, опять исходное построение.) Эта прямая

пересекается с исходным отрезком и мы опять-таки ссылаемся на ре-

зультат, что высота, медиана и биссектриса равнобедренного треуголь-

ника совпадают, тем самым обосновав корректность проведенного по-

строения.

Эта привычка сводить новые задачи к уже решенным послужила да-

же основанием для шутки, которая на самом деле достаточно точно от-

ражает суть математического метода:

Математику задали вопрос:

—

Как приготовить чай?

—

Элементарно. Берем чайник, наливаем в него воду, зажи-

гаем газ, ставим чайник на огонь, ждем, пока закипит, выключаем

газ, кладем заварку, заливаем ее кипятком, ждем еще 5

минут, и

чай готов.

—

А если у нас уже есть чайник с кипятком?

—

Выливаем из него кипяток и водим задачу к предыдущей.

Именно так и действует хороший математик, решая задачу.

15.3.2.

Выявление условий, при которых можно пользовать-

ся данным утверждением.

Следующее применение доказательств менее прямое, но отнюдь не ме-

нее важное. Когда говорят, что некоторое утверждение строго доказано,

возникает иллюзия, что теперь-то им можно пользоваться вовсю. Как

бы не так!

Пример 15.3.3. Допустим, мы знаем, что некоторая характеристика λx f(x)

физического процесса непрерывно изменяется на отрезке [0, 1]

и прини-

мает на его концах значения разных знаков. Тогда имеется следующий

алгоритм нахождения точки, в которой она имеет значение 0.

Обозначим текущий отрезок X (т.е. вначале X = [0, 1].) На его кон-

цах функция f принимает значения разных знаков. Выделенное утвер-

ждение сделаем инвариантом построения. Выпишем его явно:

Функция f непрерывна на X и принимает на его

концах значения разных знаков.

(15.23)

Разделим X пополам. В его середине a могут оказаться три возможно-

сти.

Тогда мы точно нашли корень.

1. f(a) = 0.

нижняя гра-

2. f(a) имеет тот же знак, что и f(X.low), где X.low —

ница отрезка X. Тогда в качестве нового значения X

берем [a, X.up],

где X.up —

верхняя граница отрезка X.

3. f(a) имеет тот же знак, что и f(X.up). Тогда в качестве нового

значения X берем [X.low, a].

Таким образом,

мы либо на некотором шаге останавливаемся и выдаем

точное значение корня, либо вдвое уменьшаем интервал,

на котором он

заключен. Получившаяся последовательность стягивающихся сегмен-

тов дает искомый корень.

Казалось бы (как и утверждается в большинстве учебников по про-

граммированию) мы получили построение корня с любой наперед за-

данной точностью. Но рассмотрим чуть подробнее имеющийся у нас

разбор случаев.

Любая самая маленькая ошибка в вычислении f(a) мо-

Заметим, что здесь мы учли завершение процесса после того, как ко-

рень случайно оказался на середине одного из отрезков, лишь косвен-

ным образом: мы после этого полагаем a1 и b1 равными друг другу, и

они в дальнейшем уже не изменяются. Итак, нам пришлось применить

операцию взятия предела к бесконечному циклу, а если бы мы попы-

тались учесть еще и случаи, когда алгоритм быстро заканчивается, нам

пришлось бы писать цикл два раза: первый раз с выходом, а второй раз

в случае, когда цикл продолжался бесконечно.

В рассмотренном примере ярко проявилась особенность математи-

ческих построений: полное пренебрежение реально требуемыми ресур-

сами, работа с бесконечными процессами и сведение новых построений

к предыдущим (в данном случае —

к пределу последовательности).