Непейвода. Прикладная логика

хожих друг на друга может быть выведено как непосредственные след ствия фундаментальной, теоремы Таким свойством обладают все прин- ципиальные математические результаты. Но отнюдь не всегда их след- ствия становятся ясны сразу после их открытия. На первый взгляд ска- жем теорема компактности выглядит как тривиальное. следствие теоре( - мы полноты) Но потребовалось около двух десятилетий для формули- ровки теоремы. компактности после того как была полностью осознана- формулировка теоремы полноты да и первые, ее доказательства были не такими простыми Более совершенный, аппарат позволяет ярче выде лить взаимосвязи Интересна. и ее история Она была доказана русским- логиком А И Мальцевым. во время мировой. войны и опубликована в Вестнике. Ивановского. педагогическогоII института Естественно что публикация осталась незамеченной и на лет позже. она была пере, открыта Л Хенкиным Правда историческую10 справедливость удалось“ - восстановить” . но теперь. кое кто,утверждает что она практически содер жалась в уже ,упомянутой работе- Лёвенгейма, . -

Упражнения к § 9.8

Доказать что любая модель теории с равенством может быть 9.8.1. преобразована, в такую в которой равенствоTh определяется как со впадение. , -

252 ГЛАВА 9. КЛАССИЧЕСКИЕ СТ

Доказать что теория без равенства имеющая модель с элемен 9.8.2. тами, имеет, и модель с n + 1 элементом, . n - Доказать что теория с равенством имеющая модели со сколь угод 9.8.3. но большим, числом элементов имеет, модель с бесконечным чи - слом элементов. , - Студент Гениалькис доказал что все счетные модели теории с 9.8.4. равенством описывающей ,порядок и его взаимоотношения со сложением иR,вычитанием на множестве рациональных чисел и

имеющей перечисленные ниже аксиомы, изоморфны:

Доказательство занимает страницу Будете ли Вы его читать если нет, то почему? 121 . ; Известно что если из предыдущей теории выбросить сложение 9.8.5. то все ее счетные, модели действительно будут изоморфны Как же,

согласовать это с существованием нестандартных моделей. ? 9.8.6. Какая аксиома теории R лишняя (следует из остальных)?

§ 9.9. СЕЧЕНИЯ

Еще одним важным следствием теоремы полноты для семантических таблиц является теорема об устранении сечений

Теорема об устранении сечений Если семантические. таблицы для таблица{=| Aдля} и . {|= A} закрываются. , то закрывается и семантическая Доказательство Поскольку в любой интерпретации либо истинно либо ложно, в соответствующей. секвенции противоречитA (по теореме,

корректности своей спецификации одна из формул Значит тожде ственно истинна) и по теореме полноты имеет замкнутую. семантиче, - скую таблицу. -

Правило сечения

{=| A} {|= A}

присутствовало в исходной генценовской формулировке исчисления се квенций и доказательство устранимости сечений было первым серьез- ным результатом его работ Формула называется формулой сечения- либо формулой по которой.производитсяA сечение

Заметим что, наше доказательство хотя и краткое. обладает одним существенным, недостатком которого, лишено гораздо, более длинное доказательство Генцена Оно, полностью неконструктивно не дает ни какого способа преобразования. замкнутых таблиц для его посылок, в та- блицу для заключения кроме тривиального указания ищите и обряще- те Логический статус, приведенного доказательства полностью“ анало- гичен.” логическому статусу следующего доказательства того что в шах- матах правила которых видоизменены таким образом что каждая, сто- рона делает, два хода подряд, белые проиграть не могут,. -

В детерминированной конечной игре обязательно имеет ся либо стратегия ведущая к выигрышу одной из сторон ли- бо стратегия ведущая, к ничьей14 Рассмотрим три возмож, - ных случая Если, стратегия ведет .к выигрышу белых либо к- ничьей то все. доказано Пусть она, ведет к выигрышу. черных Тогда воспользовав

шись тем что есть фигура которая может. ходить, в началь- ной позиции, а именно прыгающий, через другие фигуры- конь сделаем( ею ход ,а затем вернем ее на исходную по зицию), например , Тогда мы передадим- ход черным( и по,предположению1. Kg1–f3, Kf3–g1)они. теперь должны про играть, что абсурдно, . Итак, третий случай исключается. -

14 Кажется что оговорка о конечности здесь перестраховка но предположение о суще ствовании выигрышной, стратегии у одного из игроков для ,бесконечных игр оказалось- новой аксиомой теории множеств альтернативной аксиоме выбора т е несовместимой с ней, но вроде бы не противоречащей, всем остальным аксиомам)!( . .

254 ГЛАВА 9. КЛАССИЧЕСКИЕ СТ

Тот кто попытается в реальной игре походить два раза конем туда обратно, скорее всего проиграет так что никакого способа достичь хотя- бы ничьей, это доказательство, не, дает

Устранение сечений внешне похоже. на разбор случаев но отнюдь не сводится к нему Оно имеет место и для многихA некласси¬A, ческих логик в которых закон. исключенного третьего отсутствует Оно- проваливается, в ряде систем в которых закон исключенного третьего.

естьВвиду. исключительной важности, данного правила мы рассмотрим и синтаксическое доказательство устранимости сечений, дающее спо соб перестройки таблицы без сечений в таблицу с сечениями, Более то- го мы покажем что имеется совокупность преобразований замкнутых. - таблиц, устраняющая, из них сечения и такая что процесс устранения заканчивается, независимо от порядка, применения, данных преобразо ваний Эти преобразования называются шагами нормализации табли- цы Шаги. нормализации определяются в соответствии с главной связ- кой. формулы сечения и с тем созданы ли обе формулы сечения в по- сылках непосредственно на предыдущем, шагу или же хоть одна из них- передается от предыдущих секвенций без изменения

Перед тем как их определить докажем возможность. некоторых пре образований выводов в исчислении, секвенций а именно ослабления се- квенций путем дописывания новых членов подстановки, : конкретного- значения вместо вспомогательной константы, в заключении т н обра щения всех правил исчисления секвенций15 и сокращения нескольких, . . - экземпляров одинаковых формул в заключении вывода Далее покажем что эти преобразования не усложняют вывода но при. этом несколько, модифицируем понятие вывода Аксиомами теперь, будут лишь проти воречия из элементарных формул. Очевидно что любое противоречие- из пары сложных формул разбивается. на элементарные, так что с тео ретической точки зрения понятие выводимости не изменяется, .16 -

Предложение Подстановка Вывод секвенции

где не входит9.9.1в. ( без увеличения) числа применений правил{A(иcnслож+1)}, ностиcn+1встречающихся, формул перестраивается в вывод {A(x | t)}-

15 На самом деле мы уже указали на возможность обращения правил разрешив поль зоваться для сокращения семантической таблицы обратными преобразованиями, . - 16 Конечно с практической точки зрения может быть утомительно разбивать до эле ментарных ,компонент уже встретившееся противоречие. -

17 В терминах таблиц, вводящих.

вод секвенции Опять таки если последнее правило создало {то=|отбрасываемA(cn+1)}. его иначе- обращаем вывод посыл ки. Для истинности=| x A(x), рассуждение совершенно, аналогично. -

Предложение Вывод секвенции без увеличения числа применений9.9.4правил. и сложности встречающихся{|= A, |= A} формул пере страивается в вывод {|= A}. Аналогично для =| A. -

Доказательство Ведется индукцией по числу применений правил в выводе исходной. секвенции

Если она является аксиомой. то после устранения отдублированной формулы она аксиомой и останется,

Если последним применялось правило. не затрагивающее ни одного из экземпляров сокращаемой формулы то по, предположению индукции можно применить сокращение к выводам, посылок и по тому же правилу получить вывод сокращенного заключения

Если последним применялось правило .к сокращаемой формуле то рассмотрим ее вид. Пусть она имеет вид B & C. Тогда вывод выглядит,

следующим образом

Σ

{|= B & C, |= B, |= C}

{|= B & C, |= B & C}

Тогда по обратимости можно перестроить вывод без увеличения дли ны в вывод Σ0, дающий секвенцию Σ -

{|= B, |= C, |= B, |= C}.

Атеперь, применив сокращение, получаем из него вывод

Σ00

{|= B, |= C, |= C}

Длина Σ00 не больше длины Σ, и опять можно применить предположение

индукции, сократив еще раз:

Σ000

{|= B, |= C}

Атеперь возвращаем на место последнее правило:

{|= B C}

Предложение Удаление последнего квантора Если вывод име ет вид 9.9.5. ( ) -

Σ

{=| A[x | t], =| x A(x)}

{=| x A(x)}

и внутри формула более нигде не разбивается то без уве личения длиныΣ вывода=|и сложностиx A(x) формул можно преобразовать, в- вывод {=| A[x | t]}. Аналогично для |= . Σ

Определим шаги нормализации.

{|= A, =| B}{=| A B}

18 Это нужно лишь для опровержения, но не для доказательства.

{|= A(cn+1)}

{|= x A(x)}

Σ0 , Σ0 получаются обращениями соответствующих выводов. Для2 квантора4 преобразования аналогичны.

260 ГЛАВА 9. КЛАССИЧЕСКИЕ СТ

Выводы со штрихами ослабления соответствующих исходных выводов. —