Непейвода. Прикладная логика

5.7. ДИАГРАММЫ

131

ми объектами49. Пусть элементы некоторых других пространств Y1 и

Y2 (скажем, множества состояний двух систем) естественно кодируют-

ся знакомыми нам объектами (но вполне возможно, такие кодирования

неоднозначны: например, 24.30

и 00.30 кодируют одно и то же время).

Мы даже не предполагаем, что две функции кодирования ν1 : X → Y1,

ν2 : X → Y2 согласованы. Тогда мы можем не возиться заново с пере-

определением вычислимости для отображений из Yi в Yj и определить

их как коммутативные квадраты вида

Y1 ·

f

· Y2

ν1

ν2

ϕ

X ·

· X

ϕ2

ψ

b

d

2

j

f

g

h

ϕ1

ψ1

a

c

i

Еще одна серия важных понятий, которые помогла осознать теория ка-

тегорий, связана с особыми объектами категорий. В категории может

быть начальный объект, из которого есть единственный морфизм в лю-

бой другой объект. Двойственным к нему понятием является конечный

объект, в который есть единственный морфизм из любого объекта. Если

объект является одновременно начальным и конечным, он называется

нулевым.

Пример 5.7.5. Рассмотрим некоторые начальные и конечные объекты.

1. В теории множеств пустое множество — начальный объект, а лю-

бое одноэлементное —

конечный.

2. Под эквациональной системой либо (простейшей) алгебраической

системой понимается структура,

являющаяся моделью системы

аксиом-равенств, например, как в теории групп:

x ◦ (y ◦ z)

= (x ◦ y) ◦ z

(5.18)

x ◦ x−1

=

e

(5.19)

x ◦ e

=

x

(5.20)

e ◦ x

=

x

(5.21)

В такой системе аксиом подразумевается, что все свободные пе-

ременные связаны кванторами всеобщности. Эквациональные си-

стемы, удовлетворяющие данной системе аксиом, образуют кате-

горию (например, категория групп, категория полугрупп. . . ). Мор-

физмами такой категории служат отображения, коммутирующие с

операциями:

ϕ(x ◦ y) = ϕ(x) ◦ ϕ(y) и т. д.

В любой такой категории есть нулевой объект: система из одного

элемента. На ней все равенства тривиально выполняются, а нера-

венств у нас быть не может.

Уже из этого примера видно, что начальный и конечный объекты —

достаточно грубые интерпретации.

В современной информатике эква-

циональные системы часто используются в несколько обобщенном ви-

де —

в виде систем условных равенств либо хорновских импликаций

вида

t1 = u1 & · · · & tn = un r = s

(5.22)

5.7. ДИАГРАММЫ

133

либо

& · · · Pn Q,

(5.23)

P1

где Pi, Q — предикаты. Рассматриваются модели таких алгебраических

систем, объектами которых являются замкнутые термы, составленные в

данной сигнатуре из имеющихся констант при помощи явно заданных

в аксиомах операций (сколемовские модели). На термах нужно опреде-

лить равенство, а его можно задать по-разному. Практически стандарт-

ным способом определения равенства стало правило:

Если элементарное утверждение не дано и не следует из дан-

ных, то оно считается ложным. Следовательно, все термы,

для которых нельзя доказать равенство, считаются различ-

ными50.

В категории сколемовских моделей алгебраической системы из услов-

ных равенств этому свойству удовлетворяет инициальная модель,

из ко-

торой имеется единственный эпиморфизм на любую другую сколемов-

скую модель. Обобщая определение, получаем: инициальный объект —

объект, для которого имеется единственный эпиморфизм на любой дру-

гой объект.

Подытожим:

5.7.1. Студент Цхалтубенко предложил следующее определение катего-

рии:

Категория — класс морфизмов, на котором задана

частичная бинарная операция композиции ◦, удовлетво-

ряющая следующим требованиям:

1.

Если определено f◦(g◦h), то определено и (f◦g)◦h

и их значения совпадают, и наоборот.

2.

Для любого морфизма f существуют такие единич-

ные морфизмы e1, e2, что e1 ◦ f = f, f ◦ e2 = f.

Проанализируйте данное определение и скажите, эквивалентно

ли оно исходному. Если оно неэквивалентно, то как его исправить?

5.7.2.

Студент Талантов заявил, что объекты можно вообще изгнать из

определения категории, отождествив их с единичными морфизма-

ми. Уточните идею Талантова и дайте соответствующее ей опре-

деление категории.

5.8. СЛОВА

135

5.7.10.

Рассмотрим категорию частично-определенных теоретико-мно-

жественных функций (т. е. однозначных отношений). Нигде не опре-

деленные функции обладают интересными свойствами. Сформу-

лируйте эти свойства.

§ 5.8.

СЛОВА

Алфавит — исходное понятие. Его можно описать как конечную по-

следовательность ясно различимых неделимых символов, называемых

буквами.

конечная последовательность букв алфа-

Определение 5.8.1. Слово —

вита52. Операция приписывания слова B к концу слова A называется со-

единением или конкатенацией и обозначается просто AB. Слово A есть

начало (конец) слова B, если B представимо в виде AC (соответственно,

CA). Собственное начало (конец) —

начало (конец), не являющееся пу-

стым словом или всем B.

Слово A входит в слово B, если B представимо

в виде CAD, т. е. если A —

начало конца B. В этом случае A называется

подсловом B. Длина слова —

количество входящих в него букв.

Заметим, что одно и то же слово может много раз входить в другое.

Например, ‘ба’ трижды входит в ‘баобаба’. Для точности употребляют

понятие (отмеченное) вхождение A в B, представляемое как слово фор-

мы C ? A ? D в алфавите,

расширенном новым символом ?.

Стандартным способом представления последовательностей, соста-

вленных из потенциально бесконечного набора исходных примитивов,

является сопоставление каждому примитиву слова (в языках програм-

мирования называемого идентификатором) и разделение этих слов но-

вым символом, например, пробелом. Мы будем придерживаться такого

представления. В этом случае начала, концы и подслова не могут раз-

бивать на части примитивы,

и длиной слова будет считаться количество

входящих в него примитивов. Последовательность слов вида Ξ, разде-

ленных символом ?, есть слово вида ξ1 ? ξ2 ? · · · ? ξn либо пустое слово.

В излишне алгебраизированных изложениях (в частности, матема-

тиков французской школы)

слова часто называются термами в свобод-

ной алгебре с единственной ассоциативной операцией конкатенации,

или просто элементами конечнопорожденного свободного моноида.

Для избежания недоразумений

(в особенности для необычно выгля-

5.8. СЛОВА

137

138

ГЛАВА 5. БАЗОВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ