Непейвода. Прикладная логика

5.4. ФУНКЦИИ

101

где R X × Y — функциональное соответствие. X называется обла-

стью определения f, Y —

ее областью значений.

Область определения

обозначается Dom f, а область значений — Val f.

Прошу обратить внимание на различие области значений и образа

функции. f hXi Y , но равенства обычно нет.

В последнее время композиция функций в математике определяется

в соответствии с композицией отношений:

а чтобы при композиции функции не переставлялись, и применение функ-

ций во многих местах (в частности, в работах по алгебре) стали писать

“ наоборот30”: xf.

Определение 5.4.2. (Важные классы функций)

1. Инъекция (однозначное отображение) —

такая функция f, что

x X y X(f(x) = f(y) x = y).

2. Сюръекция (отображение на) —

y Y x X f(x) = y.

3. Биекция (взаимно-однозначное отображение) — функция, у кото-

рой существует обратная, т. е. функция, графиком которой служит

отношение, обратное к графику f.

= Val f. Для инъекций

Таким образом, для сюръекций f hDom fi

множество f−1 hyi всегда не более чем одноэлементно (здесь f−1 —

от-

ношение, обратное к f, оно не обязательно является функцией, и поэто-

му использовано обозначение образа, принятое для соответствий). Еще

две важных характеризации инъекций и сюръекций на языке компози-

ций заслуживают отдельного рассмотрения и доказательства.

Предложение 5.4.1. (Композиции с инъекциями и сюръекциями)

1.

Композиция двух инъекций —

инъекция.

2.

Композиция двух сюръекций

—

сюръекция.

3.

f : X → Y инъекция тогда и только тогда, когда для любых двух

отображений g1, g2 из Z в X

g1 ◦ f = g2 ◦ f g1 = g2.

4.

f : X → Y

сюръекция тогда и только тогда, когда для любых

двух отображений g1, g2 из Y

в Z

f ◦ g1 = f ◦ g2 g1 = g2.

5.

f : X → Y инъекция тогда и только тогда, когда существует

функция g :

Y → X (называемая накрытием, ассоциированным

с f), такая,

что

x(x X g(f(x)) = x).

(Другими словами, f ◦ g = idX

.)

6.

f : X → Y

сюръекция тогда и только тогда, когда существует

функция g :

Y → X (называемая ретракцией, ассоциированной с

f), такая, что

x(x Y f(g(x)) = x).

(Другими словами, g ◦ f = idY .)

Доказательство.

Пункты 1, 2 и 4 остаются в качестве упражнений чи-

тателю.

Доказательство пункта 3. Пусть f — инъекция из X в Y . Пусть

g1 ◦ f

= g2 ◦ f. Тогда для произвольного x f(g1(x)) = f(g2(x)). Но

по инъективности f отсюда следует g1(x) = g2(x). Поскольку вывод

сделан для произвольного x, g1 = g2

, что и требовалось установить. Те-

перь обратно. Пусть для всех g1, g2

, таких, что g1 ◦f = g2 ◦f, выполнено

равенство g1 = g2. Возьмем произвольные x1, x2. Пусть f(x1) = f(x2).

5.4. ФУНКЦИИ

103

X

Y

X

Y

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

отображения из Z в X, такие, что g1

(z0) = x1, g2(z0) = x2. Поскольку

f(g1(z0)) = f(g2

(z0)), а других значений аргумента нет, g1 ◦ f = g2 ◦ f.

Значит, в частности,

g1(z0) = g2(z0), и x1 = x2. Прошу Вас обратить

внимание, что в этом доказательстве

нет рассуждений от противного.

Поэтому данное свойство инъекций весьма устойчиво при смене логи-

ки. Доказательство пункта 5. Пусть у f есть ассоциированное с ним на-

крытие g. Покажем,

что тогда f —

инъекция. В самом деле, возьмем

произвольные x1, x2

, такие, что f(x1) = f(x2). Тогда g(f(x1)) = x1 =

g(f(x2)) = x2. Теперь в обратную сторону. Пусть f —

инъекция. По-

строим накрытие g следующим образом: если y f hDom fi, то имеет-

ся единственное x, такое, что f(x) = y. Оно и будет значением функции

g. Если же y / f

h

Dom f

i

, то такого x вообще нет, и можно задать зна-

31

.

чение g равным произвольно выбранному элементу x0

104

ГЛАВА 5. БАЗОВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

Доказательство пункта 6. Поскольку f — сюръекция, для каждого

y Val f

множество R−1 hyi непусто. Сопоставим каждому y какой-

элементов R−1

h

y

i

. Полученная функция и будет искомой ре-

либо из 32

.

тракцией

Обратная импликация очевидна, поскольку, чтобы вернуться к ар-

гументу, нужно его порою выдавать в качестве значения, что и является

определением сюръекции.

Предложение 5.4.2. Функция является биекцией тогда и только тогда,

когда она является и инъекцией, и сюръекцией.

Доказательство.

Пусть отношение R — график функции f. Рассмо-

трим отношение

R−1. Поскольку f —

сюръекция, для каждого x Y

существует y X, (x, y) R−1. Поскольку f —

инъекция,

из (x, y1)

R−1, (x, y2) R−1 следует y1 = y2.

Таким образом, R−1 —

функцио-

нальное отношение.

ситуация еще хуже. Подумайте, а как мы выберем по элементу из каждого

32 А здесь

R−1 hyi? То, что такой выбор можно осуществить, на самом деле эквивалентно одной

из аксиом современной теории множеств, причем аксиоме, чаще всего берущейся под

сомнение: аксиоме выбора. Она гласит, что по любому всюду определенному соответ-

ствию можно построить вложенное в него функциональное.

Из нее следуют многие

приятные теоремы традиционной математики и некоторые неприятные, например, те-

орема Куратовского о том, что яблоко можно разрезать на четыре части таким образом,

что из них можно сложить два таких же яблока. В науке всегда так: сильный принцип,

полезный в одних отношениях, вреден и сбивает с толку в других областях. Ни один по-

лезный научный результат не универсален, потому что наука —

отрасль человеческого

знания, а человек несовершенен, и поэтому его знания также с необходимостью несо-

вершенны. Так что если кто-то уверяет Вас, что его метод всегда хорош, то это либо

жулик, либо человек, слишком увлекшийся своей идеей, настолько, что она уже нахо-

дится у него на стадии перехода из ценной в сверхценную (‘ценная’ здесь —

обычная

неформальная оценка, ‘сверхценная’ —

термин из психиатрии, применяемый, когда че-

5.4. ФУНКЦИИ

105

Определение 5.4.3. Множества X и Y называются равномощными, если

имеется биекция X на Y . Мощность множества X не больше мощности

множества Y (X 6 Y ), если имеется инъекция из X в Y . Множество Y

покрывает множество X (X < Y ), если имеется сюръекция X на Y .

Теорема

5.2. (Кантор, Шредер, Бернштейн) Если X 6 Y и Y 6 X,

то X и Y

равномощны.

Доказательство. Пусть X 6 Y и Y 6 X. Тогда имеются две инъекции:

f : X → Y , g : Y → X. Если хоть одна из них является сюръекцией, то

эквивалентность установлена. Если ни одна из них не является сюръек-

цией, то множество X \ g hY i непусто. Возьмем произвольный элемент

x0 этого множества. Возьмем отношение

4

R = {(x1, x2) | x1 X & x2 X & x2 = g(f(x1))} .

Рассмотрим его транзитивное замыкание R∞. Образ x0 при этом замы-

кании либо конечен, либо бесконечен. Рассмотрим эти два случая.

Пусть образ

R∞ hx0i конечен. Тогда он состоит из конечного мно-

жества элементов

x0, x1

4

4

4

= g(f(x0)), x2

= g(f(x1)), . . . , xn = xn−1.

инъекция,

g(f(xn)) = xi для некоторого i < n. Но поскольку f ◦ g —

i = 0. В самом деле, если i 6= 0,

то i = j +1, но тогда xj+1 = g(f(xj)) =

g(f(xn)),

где xj

6= xn, чего не может быть. Но по предположению x0

X \ g hY i, и соответственно, нет такого y, что x0 = g(y).

Значит, остается лишь случай, когда образ x0 бесконечен. Все эле-

менты этого образа, очевидно, лежат в g hY i. Докажем теперь, что обра-

зы разных x X \ g hY i при соответствии R∞ не пересекаются. Рассу-

ждение аналогично тому, с помощью которого мы опровергали конеч-

ность R∞ hx0i. Возьмем произвольные x, y X \ g hY i. Если их обра-

зы пересекаются, то некоторые из xn равны некоторым из ym. Возьмем

наименьшее такое n. Если оно не

0, то xn−1 6= ym−1, но g(f(xn−1)) =

Теперь построим, пользуясь выше установленным разбиением X,

g(f(ym−1)).

биекцию Y на X. Для этого видоизменим функцию g. Положим

g1(y) =

g(y) ¬ x(g(y) R∞ hxi & x X \ g hY i)

xn−1

x n(x X \ g hY i & g(y) R∞ hxi & g(y) = xn)

Итак, все последовательности xn

сдвигаются на один элемент, и в ре-

зультате g1, оставаясь инъекцией,

становится и сюръекцией.

Понятие равномощности дает возможность расклассифицировать мно-

жества по отобразимости друг на друга33.

Прежде всего конечные множества равномощны тогда и только то-

гда, когда у них одинаковое количество элементов. Это можно было бы

“ доказать,” но уже с конца XIX века известно, что на самом деле лишь

понятие равномощности дает возможность корректно определить ко-

нечное множество в теории множеств.

Определение 5.4.4. Множество X называется конечным, если оно рав-

номощно множеству

{x | x N & x < n}

для некоторого n N.

Количество элементов в конечном множестве будем обозначать N X.

В упражнениях разбираются другие попытки определить конечные

множества.

Соответственно, бесконечному множеству чаще всего дают в ма-

тематике негативное определение: бесконечное множество —

множе-

ство, не являющееся конечным. Нетривиальное определение бесконеч-

ного множества дал Рассел:

такое множество X, что

Определение 5.4.5. Бесконечное множество —

существует взаимно-однозначное отображение X на какое-либо под-

множество Y X & Y 6= X.

Таким образом, бесконечное множество равномощно своему под-

множеству34. Безусловно, математик обязан обосновать, что любое мно-

жество либо конечно, либо бесконечно. Самый простой и одновременно

33 Обычно в книгах по математике пишут, что по числу элементов. Это верно лишь

для конечных множеств. Для бесконечных, скорее, это классификация по сложности

представления. Далее мы познакомимся подробнее с тем, почему общепринятые пред-

ставления не верны и в данном случае.

34 Видимо, первым обратил на это внимание кардинал Николай Кузанский , выдающий-

ся схоласт XV века. Он применил это для обоснования того, что триединство Бога не

является логическим противоречием, поскольку Бог —

бесконечная сущность (одно из

5.4. ФУНКЦИИ

107

выявляющий некоторые скрытые трудности, путь к этому —

через кон-

кретный вид бесконечных множеств: счетные множества.

равномощное

Определение 5.4.6. Счетное множество —

множество,

множеству натуральных чисел N.

108

ГЛАВА 5. БАЗОВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

Поэтому начнем с

некоторого одноэлементного множества V0

X,

35

и для каждого Vi выберем

Vi+1 как произвольный элемент E hVii. Оче-

видно,

что Vi Vj при i < j, и объединение возрастающей последова-

тельности

4 ∞

[

V =

Vi

и есть искомое счетное подмножество X.

i=0

Итак, мы показали, что действительно, каждое множество либо ко-

нечно,

либо бесконечно и что счетные множества являются в некотором

смысле минимальными среди бесконечных. Но счетных множеств не

так уж мало.

Пример 5.4.1. Множество рациональных чисел счетно. В самом деле,

любое рациональное число представимо несократимой дробью

n/m,

где m > 0. Дробей с суммой числителя и знаменателя k —

конечное

число,

поэтому их можно расположить в порядке возрастания n,

за ни-

ми все дроби с суммой числителя и знаменателя n + 1 и так далее.

На самом деле мы дали общий способ, как показать счетность лю-

бого множества, элементы которого представимы конечной последова-

тельностью из конечного числа символов.

Мощность множества натуральных чисел часто обозначается 0 ( —

первая буква еврейского алфавита, произносящаяся ‘алеф’). Простей-

ший пример бесконечного множества,

не являющегося счетным, следу-

ющий:

Теорема 5.3. Множество действительных чисел несчетно.

Доказательство. Пусть имеется некоторое отображение (последователь-

ность) an множества

N в действительные числа из отрезка [0, 1]. По-

строим по ней представленное в троичной системе число b, не входя-

щее в данную последовательность, и, более того, такое, что от данного

an

оно отличается уже первыми n + 1

членами троичного разложения.

a0

не принадлежит по крайней мере одному из трех отрезков [0, 1/3],

5.4. ФУНКЦИИ

109

[1/3, 2/3], [2/3, 1]. Выберем первую после запятой троичную цифру так,

чтобы b не попало в тот же отрезок, что и a0. Далее, пусть, например,

первая цифра это

1. Тогда a1 не принадлежит по крайней мере одному

из трех отрезков (а возможно, и ни одному из них, если оно не попада-

ет в [1/3, 2/3]) [1/3, 4/9], [4/9, 5/9], [5/9, 2/3]. Выберем вторую троич-

ную цифру таким образом, чтобы a1 разошлось с b. Так же продолжаем

и далее. Итак, никакая последовательность не может перечислить всех

действительных чисел.

Обратим Ваше внимание на одну тонкость в приведенном доказа-

тельстве. Может показаться, что мы брали троичное, а не двоичное раз-

ложение с той целью, чтобы избавиться от хлопот с числом

1/2. Ко-

нечно, часто математики поступают именно так, делая гораздо труднее

реализуемый алгоритм лишь потому,

чтобы не рассматривать отдель-

но несколько исключительных случаев. Но здесь причина другая. Мы

постарались, чтобы данное доказательство было абсолютным, сохра-

няющим силу не только в традиционной математике, но и в ее извест-

ных модификациях. Мы, в частности,

нигде не предполагали,

что дей-

ствительные числа точно известны, и проследили, чтобы для каждого

использованного в рассуждении отношения между ними можно было

указать, с какой точностью его достаточно проверить.

Про множества, равномощные множеству действительных чисел, го-

ворят, что они имеют мощность континуума, эта мощность обозначает-

ся c.

Пример 5.4.2. Любое конечномерное пространство Rn имеет мощность

континуума.

В самом деле, воспользуемся определением действительных чисел

через двоичные разложения и построим инъекцию из Rn в R

следую-

щим образом ((x)i в данной формуле —

i-тый знак числа x):

(ϕ((x1, . . . , xn)))n i+k = (xk+1)n

(5.15)

Итак, двоичные знаки получившегося числа соединяют двоичные знаки

всех аргументов,

и, очевидно, каждое из xi однозначно восстанавлива-

ется по значению

ϕ((x1, . . . , xn)). Инъекция R в Rn очевидна.

Теорема 5.4. (Теорема Кантора) Множество всех подмножеств мно-

жества X, обозначаемое P X, имеет мощность большую´

, чем X.

Доказательство. Очевидно, что имеется инъекция X в P X. Докажем,

что обратной инъекции нет.

что f —

такая инъекция, к абсурду. Для

Приведем предположение,

этого построим множество

4

{

x

|

x

X & x / f−

1

h

x

i

.

K =

(Парадокс Кантора) Множество всех множеств U содер-

жит любое другое множество как подмножество, и значит,

если V —

некоторое множество, то имеется инъекция V в