Непейвода. Прикладная логика

19 И конечно же, результатом больших усилий, направленных на то, чтобы использовать

стороны, считающиеся слабостью, как силу.

20 Определение понимается здесь не столько в математическом смысле, как формаль-

ное сведение очередного понятия к введенным ранее, а в общечеловеческом и общело-

гическом: как нахождение достаточно точной и, прежде всего, достаточно ясной харак-

теризации.

язык программирования, рекламируемый как язык логического програм-

21 Пролог —

мирования.

На самом деле от логики в нем остались лишь неправильно интерпрети-

Наиболее часто используемой альтернативной точкой зрения явля-

ется умеренно оптимистический и умеренно материалистический си-

стемный взгляд на мир. Система базируется на фундаментальных струк-

турах и не может существовать без порядка, обеспечиваемого этими

структурами. Математика позволяет нам сделать шаг к выявлению фун-

даментального порядка, на котором базируется Вселенная. Но посколь-

ку человек является несравненно более простой структурой, чем Мир,

а никакая система не может познать даже саму себя, не говоря уже о бо-

лее сложных системах, то человек не может полностью выявить данные

структуры и вынужден ограничиваться приближениями. Поэтому мате-

матика весьма эффективна, но математические выводы нуждаются в пе-

репроверке. По этой же причине математика не может быть полностью

унифицирована, так как для разных целей нужны разные приближения.

Мы относимся с уважением к данной точке зрения,

хотя и отошли от

нее.Узколобые неумеренно оптимистичные либо неумеренно пессими-

стичные точки зрения нашим уважением не пользуются.

Первым кри-

терием здесь является утверждение некоторым “ учением”

собственной

истинности, которое, как выяснила современная логика, является сим-

птомом либо крайней примитивности, либо внутренней противоречиво-

сти данной точки зрения. Самый страшный человек —

тот, кто уверен,

что он познал Истину. На втором месте —

циник, считающий, что ис-

тины нет вообще.

Стоит помнить и о некоторых принципиальных различиях теорети-

ческой и прикладной математики. Чистая математика представляет со-

бой уникальный агрегат из квазирелигии и спорта. Вера в существова-

ние математических понятий является квазирелигией, а способ оценки

результатов скорее спортивный (на первом месте —

новизна, на вто-

ром —

оценка трудности достижения по следующим критериям:

1.

Выше всего ценится решение задачи, давно поставленной знаме-

нитым ученым и остававшейся без ответа.

2.

Далее, ответ на вопрос, поставленный авторитетом.

xxiv

ВВЕДЕНИЕ

3.

Далее, усиление либо переформулировка результата, доказанного

авторитетом,

лучше всего —

одобренная авторитетами.

4.

И на последнем месте —

задача, формулировку которой дал сам

молодой математик; чаще всего такая работа признается лишь по-

сле положительной оценки авторитета).

В прикладной математике задача приходит из жизни, но в таком виде,

что она не соответствует ни имеющемуся математическому аппарату, ни

(чаще всего) тому, что хотел бы от нас тот, кто ее сформулировал. Поэто-

му прикладник вынужден ставить задачу себе в значительной степени

сам. Именно по данной причине чистые и прикладные математики часто

не понимают друг друга, хотя основываются на одной и той же науке.

Многие из творцов современной логики кончили трагически. Кое-

кто говорил автору,

что не стоит акцентировать внимание на печальных

фактах. Здесь стоит посмотреть в лицо явлению, о котором не принято

говорить. У братьев Стругацких есть повесть24 «За миллиард лет до кон-

ца света». Ее идея состоит в том, что некая почти стихийная страшная

сила начинает активно противодействовать ученым, приблизившимся к

краю того знания, которое в принципе может изменить (либо, еще более

вероятно, разрушить) наш мир. Действительно, приближаясь к Идеям

и пытаясь перевести на язык других людей то, что узнал, в некоторый

момент начинаешь чувствовать противодействие. Поскольку современ-

ная логика затрагивает наиболее фундаментальные вопросы организа-

ции Разума и Знания и поскольку ее достижения резко подняли людей

над тем уровнем идей, которые считались максимально абстрактными

(и максимально глубокими) раньше, ее творцы неизбежно попадали под

контрудары. Пожалуй, лишь Гёдель сумел противостоять им, и поэтому

закономерно, что работой последних лет его жизни было логическое до-

казательство существования Бога, и столь же закономерно, что публи-

ковать свое доказательство он не стал.

Автору говорили, что его примечания кое-что напоминают. Да, по-

жалуй, стоит сослаться на двух классиков русской мысли: великого тео-

ретика Козьму Пруткова и великого прикладника Христофора Бонифа-

тьевича Врунгеля25

, некоторым особенностям изречений которых автор

по мере сил старался подражать.

§ 0.3. КАК РАБОТАТЬ С ДАННОЙ КНИГОЙ?

Начнем с общих педагогических принципов, на которых основана дан-

ная книга.

Задачей преподавания математических дисциплин26 является введе-

ние ученика в мир фундаментальных идей данной науки и показ тех

Идей, которые лежат за научными формулировками. Логика является

той наукой, где путь к Идеям наиболее близок (вспомните вопрос Авер-

роэса). Поэтому именно в ней данную цель можно ставить наиболее яв-

но. Конечно же, эта цель не отменяет цели овладения навыками и мето-

дами, разработанными данной наукой, и суммой наиболее важных све-

дений, установленных в ней, но в данном контексте это овладение явля-

ется, прежде всего, средством (правда, нет ничего плохого в том, если

оно становится конечным пунктом для большинства учащихся, если они

хотя бы увидят на примере других, что есть и более высокие ступени

знания и понимания).

Автор уверен, что к Идеям ведет бесконечно много дорог, и выс-

шая задача учителя —

помочь ученику выбрать ту из них, которая ему

ственной возможной базой для математического цикла. В последние го-

ды в Удмуртском университете на новой специальности ‘информацион-

ные системы’ предпринят эксперимент, в котором во главу математиче-

ского цикла поставлена логика. Данный курс составлен таким образом,

чтобы он мог быть головным в математическом цикле для студентов спе-

циальностей типа информационные системы, программирование, фи-

лософия,

структурная лингвистика, когнитивная психология. Но для та-

кого головного курса недостаточно лишь материала данной книги. Со-

временная прикладная логика содержит следующие разделы:

1.

Логический анализ естественных языков.

2.

Логическая семантика и формальный синтаксис.

3.

Теория доказательств.

4.

Представление знаний в интеллектуальных системах.

5.

Теория алгоритмов и автоматов.

6.

Автоматическое доказательство теорем.

7.

Конструктивные логики и логическое программирование.

8.

Сложность вычислений.

9.

Логика функций и логика программ.

10.

Теория возможных миров, контекстов и установок.

11.

Индуктивные выводы, формирование понятий и

распознавание образов.

12.

Неточные, немонотонные, нечеткие выводы.

13.

Теория типов данных.

14.

Теория взаимодействующих процессов.

15.

Теория рефлексивных рассуждений.

16.

Теория неформализуемых понятий.

xxvi

ВВЕДЕНИЕ

0.3. КАК РАБОТАТЬ С ДАННОЙ КНИГОЙ?

xxvii

рассмотрение ошибки как криминала27

. На занятиях первое, к чему при-

ходится приучать первокурсников, —

не стесняться ошибок. Более то-

го, отличить глубокое понимание от формального запоминания гораздо

легче, когда имеешь дело с ошибками:

качество ошибок просто несрав-

Не все части данного пособия одинаково фундаментальны. В част-

ности, могут быть опущены некоторые параграфы из первой части (ее

последней главы). Глава, посвященная нестандартному анализу, полно-

стью независима от последующего материала и также может быть опу-

щена. Возможны и многие другие варианты компоновки курса в зави-

симости от вкусов и уровня подготовки преподавателя30. Скажем, хо-

тя глава о семантических таблицах является центральной во второй ча-

сти, в ней можно опустить последний параграф, посвященный устране-

нию сечений. Минимальный вариант изучения второй части —

главы,

если мы стремимся наставлять на Единственно Истинный Путь, ничего

27

Впрочем,

другого не остается.

28

Формулировка данного принципа принадлежит студентам Высшего Юридического

колледжа УдГУ.

29

В данном случае мы следуем традиции, идущей еще от Архимеда, неоднократно пре-

рывавшейся, но неизменно возобновлявшейся при первом же отступлении догматизма.

30

Опыт преподавания отнюдь не лучшим студентам в Удмуртском университете убе-

посвященные синтаксису и семантическим таблицам. К ним могут не-

зависимо добавляться главы, посвященные естественному выводу, тео-

рии определений,

теореме Гёделя, нестандартному анализу. Что брать

из третьей части —

дело вкуса и конкретных потребностей преподава-

теля и учебного плана.

Если преподаватель имеет возможность провести хотя бы несколь-

ко занятий в дисплейном классе Macintosh либо IBM PC и обучающие

программы высокого уровня Tarski’s World, Hyperproof, Deductio или

Semtab, то это стоит сделать. Кое-где в тексте есть прямые указания

на то, как можно воспользоваться данными программами для практиче-

ских занятий.

Стоит отметить несколько принятых в данной книге условных обо-

значений.

употребляются как модальности. Пер-

Три вида кавычек “ ”, ‘ ’, « »

вый из них (общеупотребительный в англоязычной литературе) озна-

чает, что слова употреблены в переносном смысле, а если они окружа-

ют слова,

идея которых приписана другим, то формулировка (дабы под-

черкнуть

смысл) преобразована автором. Второй —

что данное слово,

например, ‘кавычки’, в данном контексте используется как имя

понятия,

а не как понятие,

обозначаемое данным именем. Третий вид —

цитата

либо слова, взятые автором из фольклора и не преобразовывавшиеся.

Стандартные русские кавычки,

заимствованные

из немецкого язы-

ка: „ “ —

оскорбляют математический вкус автора

(левая из них выгля-

дит как закрывающая, а правая —

как открывающая), и поэтому ими не

пользуемся.

Выделение рубленым шрифтом означает чисто формальное имя,

встретившееся в нашем тексте. Например, так мы обозначаем

иденти-

фикатор

из программы, о котором говорится вне текста данной про-

граммы. Математические символы, написанные прозрачным шрифтом,

скажем, Z, означают фиксированные математические понятия, чаще все-

го —

общеупотребительные множества. Остальные типы выделений ис-

пользуются прежде всего для привлечения внимания и фиксированного

смысла не имеют.

И в заключение автор должен поблагодарить свою жену Людмилу,

неоднократно читавшую рукопись в процессе создания и немало спо-

собствовавшую улучшению изложения; дочь Тоню и В. В. Пупышева,

выловивших кучу опечаток; рецензентов и профессора А. П. Бельтюко-

ва,

сделавших ряд ценных замечаний. Некоторые примечания А. П. Бель-

тюкова вошли в текст книги, они помечены буквами (АПБ).

31

По легенде, Евклид ответил на вопрос одного из Птолемеев: «Нельзя ли полегче

научиться геометрии?» —

словами: «В геометрии нет царских путей!»

32

Во избежание недоразумений заметим следующее.

1.

Понятие Мировой Идеи не зависит от понятия Бога. Она следует из системности

наблюдаемого строения Вселенной и логичности происходящего в ней.

Так что

в данном случае мы не опираемся на гипотезу, что Мир сотворен.

недо-

2.

(Для креационистов и деистов) Отождествление Мировой Идеи с Богом —

пустимое упрощение. Это —

Слово, которым Бог сотворил Мир. Оно, конечно,

уже не является Высшей Сущностью, но оно неизмеримо выше по природе сво-

ей всех других сущностей тварного мира.

3. (Для агностиков и умеренных атеистов) Отождествление Мировой Идеи и Ми-

ра —

также недопустимое упрощение. Мир —

постепенно развившаяся реали-