Непейвода. Прикладная логика

5.1. МНОЖЕСТВА

81

82

ГЛАВА 5. БАЗОВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

5.1.8. Постройте диаграмму Эйлера для понятий, встречающихся в пе-

речисленных ниже предложениях, в предположении, что все вы-

сказанные утверждения истинны. Универс —

участники олимпи-

ад по физике, математике и программированию.

Ни один парень не стал призером всех трех олимпиад.

Ни одна девушка не стала призером не менее чем двух олим-

пиад.

Никто из симпатичных участников не вошел в число призе-

ров ни по математике, ни по программированию.

5.1.9. Аналогично для следующих предложений.

Поэты —

хорошие люди.

Все хорошие люди —

поэты либо отшельники.

Ни поэты,

ни отшельники не могут быть палачами.

китаец.

Палач —

художник тогда и только тогда, когда он —

Китайцы —

хорошие палачи.

Китайские отшельники —

поэты.

5.1.10. (Порецкий) Относительно девиц, бывших на некоем бале, из-

вестны следующие 14 утверждений:

1.

Каждая из девиц была или благовоспитанна, или весела, или

молода, или красива;

2.

все нетанцующие девицы были некрасивы, каждая из танцу-

ющих была или молода,

или красива, или благовоспитанна;

3.

когда пожилые девицы образовали отдельный кружок, о ка-

ждой из оставшихся можно было сказать, что она или краси-

ва, или весела, или благовоспитанна;

5.1. МНОЖЕСТВА

83

4.

если выделить всех девиц немолодых и некрасивых, то оста-

нутся лишь благовоспитанные и веселые девицы;

5.

если же выделить всех девиц невеселых, то останутся благо-

воспитанные, молодые и красивые;

не обладали

6.

таких девиц, которые, будучи молоды и веселы,

бы вдобавок ни красотой, ни благовоспитанностью, на балу

не было;

7.

между молодыми девицами не было таких, которые, обладая

красотой и веселостью, были бы не благовоспитанны;

8.

каждая благовоспитанная девица была или молода, или ве-

села, или красива;

9.

все девицы, соединявшие красоту с благовоспитанностью,

были одни веселы, другие молоды;

10.

каждой невеселой девице недоставало или молодости, или

красоты, или благовоспитанности;

11.

все те веселые девицы, которые, не отличаясь молодостью,

обладали благовоспитанностью, были красивы;

12.

немолодые девицы были одни не благовоспитанны, другие

не веселы, третьи не красивы;

13.

между некрасивыми девицами не было таких, которые с бла-

говоспитанностью соединяли бы молодость и веселость;

14.

и, наконец, когда уехали все неблаговоспитанные, невеселые,

немолодые и некрасивые девицы, на балу девиц более не оста-

лось.

5.1.11. Разработайте способ проверки условных тождеств следующего

вида:

если X = Y , то U = V

на диаграммах, подобных диаграммам Эйлера и Венна.

84

ГЛАВА 5.

БАЗОВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

§ 5.2.

КОРТЕЖИ, n-КИ, НАБОРЫ, ПРЯМЫЕ

ПРОИЗВЕДЕНИЯ,

ПРЯМЫЕ СУММЫ

Если бы роль множеств исчерпывалась тем, что они превращают логи-

ческие операции в математические,

это понятие не играло бы столь важ-

ную роль в современной математике. Понятия переводят в объекты за-

тем, чтобы использовать их для получения новых объектов. Таким обра-

зом, множества служат материалом для построения других множеств.

Первая из операций над множествами, выходящая за рамки булевой

алгебры, соединяет понятие множества с понятием кортежа, столь же

важным для приложений и в обыденной жизни, и в программировании.

В программировании и искусственном интеллекте кортежи часто пута-

ют с множествами11.

Кортеж —

конечная последовательность объек-

Определение 5.2.1.

тов, называемых его

членами. Кортеж с членами a1, . . . , an, располо-

женными в данном порядке,

обозначается [a1, . . . , an]. В математиче-

ской логике принято нумеровать члены кортежа, начиная с нулевого, а

в большинстве приложений —

начиная с первого12.

Таким образом, в отличие от множеств, кортеж может содержать и

повторяющиеся члены, здесь важны не только сами элементы, но и по-

рядок, в котором они расположены. Итак,

[a, b] 6= [b, a], [a, a] 6= [a].

Как и в других случаях (в частности, для множеств), принято рас-

сматривать и пустой кортеж,

не содержащий членов. Он обозначается

просто []. Кортеж из одного элемента обозначается [x] и строго разли-

чается от самого x. Для кортежей определены следующие стандартные

функции: длина кортежа x lh(x) —

число членов в кортеже. Функция

выделения i-той компоненты: (x)i

, где i 6 lh(x) (если счет членов начи-

нают с нуля, то неравенство становится строгим.) Операция соединения

(либо

конкатенации) двух кортежей:

5.2. КОРТЕЖИ, n-КИ, НАБОРЫ

85

APPEND([a1, . . . , an], a) = [a1, . . . , an, a].

(5.3)

Множество всех кортежей из элементов множества U обозначается U∞.

В литературе оно часто обозначается также U . Мы используем данное

обозначение для более общего множества; см. ниже.

Пример 5.2.1. Строки в языках программирования могут рассматри-

ваться как машинное представление кортежа из символов. Как и всегда,

при машинном представлении математического понятия накладывают-

ся ресурсные ограничения; например,

что длина строки не больше 255

символов.

линейные спис-

Другое, более адекватное представление кортежа —

ки. Они могут быть заданы следующими описаниями языка Паскаль

(data —

некоторый ранее определенный тип данных):

type t=record

element: data;

next: ^t

end;

Рассмотрим более сложное построение. Кортежи могут строиться

из других кортежей и т.п. Такое представление интенсивно использует-

ся,

в частности, в языке ЛИСП. Хочется иметь универс,

включающий

все кортежи кортежей. . . Чтобы аккуратно его определить, прибегают к

следующей конструкции.

определим Ui+1

= Ui Ui∞. Та-

Пусть U0 = U. Тогда для всякого i

ким образом, U1 будет множеством всех элементов и кортежей, постро-

енных из элементов, к U2, соответственно, добавятся кортежи кортежей

и элементов и т.д. Теперь определим

∞

[

U =

Ui

(5.4)

i=0

Частный случай кортежей — n-ки, кортежи с фиксированным чи-

слом членов. Они обозначаются (a1, . . . , an). Простейший случай n-

ок —

пары (a, b). Для n-ок обычно о конкатенации не говорят, применя-

ют лишь проекции.

86

ГЛАВА 5. БАЗОВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

Операция образования множества всех n-ок из совокупности мно-

жеств

X1, . . . , Xn

гораздо более элементарна и фундаментальна, чем

операция взятия множества всех кортежей. Она носит название декар-

това

(прямого)

произведения множеств.

Определение 5.2.2.

Прямое произведение n множеств X1, . . . , Xn —

множество X1 ×· · ·× Xn всех n-ок x1, . . . , xn, таких, что x1 X1, . . . ,

xn Xn.

Стоит указать еще одну условность, отличающую n-ки от кортежей.

Очевидно, что [a, b, c], [[a, b], c] и [a, [b, c]] —

разные кортежи. Но декар-

товы произведения

A × B × C, (A × B) × C, A × (B × C), как прави-

ло, отождествляются. Итак,

на прямое произведение множеств смотрят

обычно скорее как на алгебраическую операцию, чем как на то, что за-

дано определением

5.2.213.

Есть еще одна условность. Если принимается ассоциативность пря-

мого произведения и одновременно принимается, что элементарной опе-

рацией является построение пары (a, b), то тройка (a, b, c) представляет-

ся как

((a, b), c), четверка (a, b, c, d) —

как

(((a, b), c), d) и т. д. Как гово-

рят, скобки группируются влево14. Если множество R X1

× · · · × Xn

(т. е. его элементы — n-ки),

то на R

переносятся операции взятия про-

екции по любому компоненту i от 1

до n.

pr

R =

x

x Xi &

x1 . . .

xi−1

xi+1 . . . xn

(5.5)

i

(x1, . . . , xi−1, x, xi+1, . . . , xn) R

Таким образом,

проекция отношения состоит из всех объектов, стоящих

на i-том месте в n-ках из данного отношения.

Важный и выделяемый отдельно случай декартова произведения —

когда все его компоненты одинаковы. Прямое произведение n сомножи-

телей

U называется декартовой степенью и обозначается Un. U1

ото-

ждествляется с

U, так что n-ка (x), состоящая из одного элемента,

ото-

ждествляется с самим x15.

пишется одно, имеется в виду дру-

13 Да, и математики порою грешат “ двоемыслием”:

гое. А на самом деле корректное определение декартова произведения в том смысле,

как это нужно в математике, было дано лишь на языке теории категорий,

появившемся

в 60-х гг. нашего века. См. § 5.7.

14 Объяснение,

почему такой способ чуть-чуть предпочтительнее, дается в комбина-

торной логике.

15 Сам Декарт сформулировал первые примеры произведения, представив плоскость

как декартово произведение двух прямых, а пространство —

трех. Более общих поня-

5.2. КОРТЕЖИ, n-КИ, НАБОРЫ

87

n-ки (и даже пары) позволяют выразить еще одну операцию над

множествами, полезную, в частности, при интерпретации структур про-

граммирования. Это —

прямая сумма. Всем бы хорошо объединение

множеств, да в том случае, если нужно сохранить информацию, от ка-

кого из компонент объединения произошло значение, оно годится лишь

для непересекающихся множеств. Поэтому еще с начала нашего века

начала проскальзывать операция непересекающегося объединения, ко-

гда два множества сначала искусственным образом делали различными,

а уже затем объединяли.

множе-

Определение 5.2.3.

Прямая сумма n множеств X1, . . . , Xn —

ство X1 · · · Xn

всех пар (i, x), таких, что x Xi.

Другими словами,

X1 · · · Xn = {(i, x) | 1 6 i 6 n & x Xi} .

(5.6)

Итак, вместе с каждым элементом прямой суммы хранится номер ком-

понента, от которого он произошел. Это дает возможность определять

отображения прямой суммы путем разбора случаев, какое из Xi соот-

ветствует данному компоненту, и применения отображения для соответ-

ствующего Xi, и обратно, определять по любому отображению прямой

суммы, что же оно делает на каждом из Xi. Если для прямого произ-

ведения определены проекции, то для прямой суммы —

стандартные

вложения ini каждого из ее членов в данную сумму. Если подмножества

прямого произведения можно спроектировать по каждому компоненту,

то подмножества прямой суммы можно разбить на непересекающееся

объединение подмножеств компонент.

Далее, если задано отображение каждого из Xi, то можно опреде-

лить отображение прямого произведения, просто применяя частные ото-

бражения ко всем компонентам элемента и собирая получившиеся ре-

зультаты в n-ку. И наоборот, если задано отображение, результатами ко-

торого служат элементы прямого произведения, то, применив проекции,

можно получить n отображений из того же множества определения в ка-

ждое из Xi. А имея n

таких отображений, можно задать отображение в

прямую сумму.

В программировании концепция прямого произведения породила струк-

туру данных запись (record в Паскале.) Прямая сумма породила записи

с вариантами. А запись с вариантами порождает соответствующий ей

оператор выбора case, разбирающий случаи в соответствии с возмож-

ными вариантами и, таким образом, соединяющий несколько вариантов

действий в один оператор.

Прямые суммы также считаются ассоциативными.

Другие операции над множествами описаны, например, в книге [20].

Напомним еще одно из базовых понятий прикладной математики,

практически игнорируемое в теоретической. Это —

набор (или муль-

тимножество). Набор отличается от множества тем, что в нем могут

присутствовать несколько экземпляров одного и того же элемента, а от

кортежа тем, что в нем несуществен порядок элементов. Два набора рав-

ны, если любой элемент входит в них в одинаковом числе экземпляров.

Естественно, что порядок элементов в наборе не имеет значения. Набор

обозначается ba1, . . . , anc, но эта запись не столь общеупотребительна,

как для множеств и кортежей. Порою набор будет обозначаться просто

a1, . . . , an, если это явно оговорено в контексте16.

Операция объединения распадается для наборов на две: аналог тео-

ретико-множественного объединения, когда число экземпляров элемен-

та в объединенном наборе равно максимуму их числа в исходных на-

борах, и соединения , когда число экземпляров равно сумме чисел в

исходных наборах. Очевидно, что соединение X с X уже не есть X. Для

наборов

ba, bc = bb, ac, ba, ac 6= bac.

И, наконец, промежуточным между множеством, кортежом и набо-

ром служит понятие именованного множества. В нем каждый элемент

имеет собственное имя, и нет двух элементов с одинаковыми именами.

Упражнения к § 5.2

5.2.1. Пусть S —

трехместное отношение между студентами, универ-

ситетами,

в которых они учатся, и городами, где эти университеты

5.2. КОРТЕЖИ, n-КИ, НАБОРЫ

89

5.2.2. Докажите, что имеется взаимно-однозначное отображение A ×

B × C на A × (B × C), сохраняющее pr1

и переводящее pr2(x) в

pr1(pr2(x)), a pr3(x) в pr2(pr2(x)).

5.2.6. Часто в математических определениях используют понятие “ не-

упорядоченная пара”. Компоненты неупорядоченной пары не раз-

личаются по месту, так что (a, b) = (b, a). Определите это понятие

через одно из имеющихся у нас.

5.2.7. Определите именованные множества через множества пар.

5.2.8.

Верно ли для кортежей a b = b a17

Если да докажите если нет

приведите опровергающий пример

.

,

,

,

?

5.2.14. Верно ли, что pr1(X ∩ Y ) = pr1 X ∩ pr1 Y ?18

5.2.15. Студент Интеллектуалов определил неупорядоченное произве-

дение n

множеств X1, . . . , Xn как множество всех n-членных

наборов, имеющих по одному члену из каждого множества. Что

Вы можете сказать по поводу данного определения19?

5.2.16.

Аргументируйте, можно ли принимать коммутативность прямо-

го произведения или прямой суммы?

§ 5.3.

ОТНОШЕНИЯ

Среди прямых произведений особенно важную роль играют произведе-

ния двух множеств,

и соответственно, среди n-ок —

пары.

Определение

5.3.1.

Подмножество R прямого произведения X ×Y на-

зывается отношением (соответствием) между X

и Y . R X × X

называется отношением (соответствием) на X.

Два термина, приведенных в данном определении, соответствуют

двум взглядам на множество пар. В случае, когда мы говорим про от-

ношение, нас интересуют взаимосвязи между x X и y Y .

Если мы

говорим про соответствие, то в некотором смысле мы рассматриваем R

как описание возможностей преобразовать x в y.

Третий взгляд на множество пар полезен при построении диаграмм,

подобных диаграммам Эйлера и Венна. Здесь каждый из сомножителей

изображается отрезком, их прямое произведение —

прямоугольником,

а отношение —

подмножеством квадрата. Такое изображение часто на-

зывают графиком отношения.

Пример 5.3.1.

Картинка на рис. 5.4 показывает график отношения ‘x −

y —

целое число’ на множестве [0, 5].

множе-

Определение

5.3.2.

Образ элемента x при соответствии R —

ство всех таких y, что (x, y) R.