Непейвода. Прикладная логика

2.2. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

21

§ 2.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Мы не будем здесь вдаваться в содержательное обсуждение того, что

есть истина и что есть ложь. В математике достаточно принять, что есть

исходные, неопределяемые понятия истина и ложь, которые могут быть

значениями высказываний.

Истинностными

(или логическими) значениями называются такие

математические объекты, которые могут быть значениями высказыва-

ний.

.

Истину будем обозначать >, ложь —

Истина и ложь являются единственными общепризнанными истин-

ностными значениями. Как только пытаются предложить другие значе-

ния, как, например, “ неизвестность”, так сразу натыкаются на возраже-

ния типа: степеней неизвестности много и, значит, она сама по себе не

является логическим значением9.

Поэтому, продолжая процесс выявления и уточнения используемых

нами в языке математики понятий, т. е.

процесс математической форма-

лизации этого языка,

мы естественно приходим к гипотезе:

Соглашение 1.

Единственными логическими значениями яв-

ляются истина

и ложь, обозначающиеся 1 и 0

либо > и

соответственно.

Несмотря на всю рискованность, на первый взгляд, соглашения 1,

оно следует математической практике: проверка математического вы-

сказывания состоит в выяснении того,

истинно оно или ложно.

Базируясь, в частности, на этом примере, можно высказать несколь-

ко общиx мыслей о формализации. Рискованность —

черта, присущая

цели. Если он забывает о сущности, увлекаясь целью, карикатура пре-

вращается в пасквиль, а если о цели, она становится безобидным друже-

ским шаржем. Формализация должна быть талантливой карикатурой на

действительность, а не ее фотографией. Лишь тогда она помогает кое-

что понять.

Продолжая ту же линию, целесообразно принять еще одно соглаше-

ние.

Соглашение 2. Логическое значение сложного утвержде-

ния зависит лишь от логическиx значений его компонент, а

не от его смысла.

Подобные гипотезы являются характерной чертой математизации,

при которой общепринято отвлечение от качественных различий в рас-

сматриваемых объектах, чтобы яснее выделить количественные. Уже

понятие натурального числа получается абстрагированием от различий

между такими вещами, как два пирожка, два окурка или два студента.

§ 2.3.

ПРЕДМЕТЫ И УНИВЕРС. ТЕРМЫ

пред-

Любое математическое утверждение в конечном счете говорит о

метах (объектах). В приведенных выше примерах (2.1) – (2.9) объекта-

ми являются, в частности, 2, 2 ·2, Волга, Каспийское море, натуральные

числа. Каждая математическая теория имеет свою предметную область,

или универс, —

совокупность всех предметов,

которые она изучает.

22

Универсом теории чисел является множество на-

туральных чисел, а ее объектами —

сами нату-

(2.19)

ральные числа.

ГЛАВА 2. ПРОСТЕЙШИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ

2.3. ТЕРМЫ

23

В математическом анализе естественно с само-

го начала выделить два сорта объектов: действи-

тельные числа и иx функции —

и, соответственно,

(2.21)

два универса: универс чисел и универс функций.

Для иллюстраций мы часто будем использовать “

теорию”, в которой

объектами являются живые существа, а универсом

—

вся иx совокуп-

ность, и “ теорию”, в которой объектами являются люди, а универсом —

человечество.

констан-

Простейшие из выражений, обозначающих предметы, —

ты, т. е. имена конкретных предметов. Например, константами служат

числа (2, −5, 17, π, 1.44 и т. д.). Константами могут10служить и собствен-

ные либо вводимые нами имена, например, ‘Ваня’ . Считается, что для

каждой константы однозначно задан предмет, который она обозначает.

Таким образом, в математической модели необходимо строго следить за

тем, чтобы любое собственное имя обозначало свой предмет, в отличие

от обычной жизни, где имена могут быть неоднозначны. Поэтому в лю-

бой науке, а в математике в особенности, стремятся к систематизации

обозначений, хотя бы в рамках одной работы11. Далее, для каждой кон-

станты четко указывается сорт, которому она принадлежит. Аналогией

этого могут служить описания переменных в языках программирова-

ния.Столь же просты с виду и переменные, например x, y. . . Но для пе-

ременной неизвестен предмет, который она обозначает, в принципе она

может обозначать какой угодно предмет из нашего универса. Например,

если наш универс —

люди, то x может обозначать в данный момент

24

ГЛАВА 2.

ПРОСТЕЙШИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ

Если у нас есть несколько сортов объектов, то переменные для объ-

ектов разных сортов должны четко различаться. Например, можно при-

нять, что i, j, k, l, m, n —

переменные, значениями которых служат це-

лые числа, x, y, z —

переменные, значениями которых служат действи-

тельные числа. Для того чтобы у нас был неограниченный запас имен

переменных,

часто пользуются индексами, например z5.

Более сложные выражения образуются применением символов опе-

раций к более простым.

Операция, соответствующая символу, применя-

ется к предметам и в результате дает тоже предмет. Например, симво-

лу + сопоставляется операция над числами, дающая по двум числам иx

сумму. Если заданы обычные арифметические операции, то ((x

17) z)

и x

2

+2xy+y

2

—

выражения (во втором из ниx знак умножения · опуска-

−

·

ется, а операция возведения в степень обозначается, как и обычно в ма-

тематике,

тем,

что показатель степени поднимается над строкой). Такой

разнобой в обозначении операций неудобен для точных определений.

Для единообразия n-местную операцию f, примененную к выражениям

t1, . . . , tn,

будем обозначать f(t1, . . . , tn), такую форму записи называ-

ют

функциональной. Общепринятые символы операций, такие как +, /,

обычно записываются между своими операндами, так что x + y можно

рассматривать как переформулировку функциональной записи +(x, y).

Точно так же для каждой операции четко указывается, какого типа

каждый ее аргумент и ее результат. Например, в операции

√

x

n

n —

натуральное число, x — действительное, и значение ее также дей-

ствительное число.

называется термом.

Выражение, обозначающее предмет,

Операции называются еще функциональными символами, или про-

сто функциями.

Упражнения к § 2.3

2.3.1. Перепишите в функциональной форме выражения

1.

x + y;

2.

x2 + 2xy + y2;

3.

√

;

2 sin x

2.4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМУЛЫ

25

2.3.2. Перепишите в обычном виде выражения, записанные в функци-

ональной форме

1.

p

cos( (+(×(x, x), ×(y, y))));

2.

×

(+(x,

×

(y, z)), +(u, v));

3. /(×(x, y), ×(x, z));

4. /(×(2, 2), 100).

§ 2.4.

ПРЕДИКАТЫ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФОРМУЛЫ

Чтобы образовать высказывание из предметов, нужно соединить иx от-

ношением. n-местное отношение —

операция, сопоставляющая n пред-

метам высказывание. Например,

=

—

двуместное отноше-

ние, сопоставляющее двум числам

x

и

y высказывание x = y,

в частно-

сти, 2

и 2 —

истинное высказывание 2 = 2, а 2

и 5 —

ложное 2 = 5.

“

положительное число” либо “

быть положительным числом” —

одноместное отношение, сопоставляющее числу 5 истинное утвержде-

ние “5

—

положительное число”. “

лежит между

и

” —

трехместное отношение, сопоставляющее изображенным

на

рис. 2.1

трем точкам M, N, Q истинное утверждение

“ M лежит между N и Q”, а

К, N, Q —

ложное высказывание “ K

лежит между N и Q”.

N M

Q

R

Рис. 2.1: Четыре точки

В “ теории человеческиx

отношений” Саша —

объект, а “ Саша мне нравится” —

высказывание.

“ Любить” —

двуместное отношение, которое со-

(2.22)

поставляет паре (Ромео,

Джульетта) истинное

высказывание, а паре (Демон, Тамара) —

лож-

ное, и т. д.

В математике чаще всего встречаются одноместные и двуместные

отношения. Двуместные отношения обычно записываются между сво-

ими аргументами, например, 4 < 7, x2 + 2x + 1 > 0 и т.д. Одноместные

отношения в математике часто записываются при помощи символа и

символа для множества объектов, обладающих данным свойством.

Утверждение «π —

действительное число» запи-

сывается π R, где R —

обозначение для множе-

(2.23)

ства действительных чисел.

Элементарные формулы имеют вид P (t1, . . . , tn), где Р — n-местный

предикат, t1, . . . , tn —

термы. В обычной математике элементарные фор-

2.5. НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

27

Задав словарь теории, необходимо проинтерпретировать все поня-

тия, перечисленные в нем. При этом константам сопоставляются кон-

кретные объекты, задаются правила вычисления значений функций, со-

поставленных операциям, и правила, по которым определяются логиче-

ские значения предикатов. После интерпретации элементарные форму-

лы, не содержащие переменных, оказываются либо истинны, либо лож-

ны, а формулы, содержащие переменные, становятся истинными либо

ложными после задания (фиксации) значений переменных.

Пример 2.4.1.

В элементарной теории действительных чисел имеет-

ся единственный сорт объектов, интерпретируемый как множество дей-

ствительных чисел R, двуместные отношения = и >, константы 0

и 1,

операции +, ×, /, −. Перечисленные символы составляют словарь этой

теории. В строгой формальной записи никакими другими функциями,

отношениями,

константами пользоваться нельзя. Но так работать невоз-

можно, и в логике выработаны многочисленные способы вводить опре-

деления новых объектов и отношений таким способом, чтобы в принци-

пе

все выкладки и рассуждения, иx использующие, можно было чисто

механически расшифровать через исходные понятия.

§ 2.5.

НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Для часто встречающихся множеств мы пользуемся следующими обо-

значениями.

N

—

множество всех натуральных чисел, включая 0.

N+ —

множество всех натуральных чисел, кроме 0.

Z

—

множество целых чисел.

Q

—

множество рациональных чисел.

R

—

множество действительных чисел.

C

—

множество комплексных чисел.

V

—

множество точек пространства.

L

—

множество прямых.

P

—

множество плоскостей.

Употребляются также общепринятые символы отношений, такие как

<, >, =, и т.

д. Кроме того, для геометрическиx объектов введем сле-

дующие символы отношений:

• x α —

точка x лежит на прямой α;

28

ГЛАВА 2. ПРОСТЕЙШИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ

• α p —

прямая α лежит на плоскости p;

• α × β —

прямые α и β пересекаются;

• p × q —

плоскости p и q пересекаются.

Операцию нахождения остатка от деления натуральных чисел x и y

обозначим x mod y, а результат деления x на y нацело

(с отбрасыванием

остатка): x ÷ y.

Если для рассматриваемого отношения нет общепринятого символа,

допустимо временно вводить свой. К примеру, если для отношения “ ле-

жать между”

введен символ Н , то для точек,

изображенных на рис. 2.1,

H(Q, M, K)

истинно, H(N, M, K) —

ложно.

Если С —

символ для дву-

местного отношения “ быть соседями”, то C(Петр, Матвей) можно про-

читать и самим.

Суммируем:

Высказывания принимают логические значения.

Единственными общепризнанными логическими значения-

ми являются истина и ложь.

Каждая теория имеет свой универс, т. е. множество рассма-

триваемых предметов. Если универсов несколько, они назы-

ваются сортами либо типами.

Высказывания о предметах образуются при помощи отно-

шений, или предикатов.

Выражения, обозначающие предметы, называются терма-

ми.

Термы строятся из переменных и констант при помощи опе-

раций, или функциональных символов, которые применяют-

ся к предметам и в результате дают предмет.

Отношения (предикаты) применяются к термам и в резуль-

тате дают высказывание (элементарную формулу).

Упражнения к § 2.5

2.5.1.

Выделите предметы и отношения в следующих высказыванияx,

попытайтесь записать иx символически.

1. Кондрат поехал в Ленинград.

2.5. НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

29

2.

Маша любит кашу.

3.

Маша любит Сашу.

4.

Иванушка —

дурачок.

5.

Мне скучно.

6.

Иванов, Петров, Васильев и Сидоров играют в домино.

7.

Иванов, Петров, Васильев и Сидоров слушают лекцию.

8.

Среднее арифметическое

x и y больше иx среднего геоме-

трического.

9.

5

не является решением уравнения x2 − 3x + 2 = 0.

10.

1

является решением уравнения x2 − 3x + 2 = 0.

11.

Иван —

хороший человек.

12.

Иван —

хороший палач.

13.

Бимбо —

маленький слон.

14.

Ланда —

большая собака.

15.

Слон Бимбо больше собаки Ланды.

30

ГЛАВА 2. ПРОСТЕЙШИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ

Указания

(2.5.1.7)

В чем разница между этим утверждением и предыдущим?

(2.5.1.1)

У нас объектами являются живые существа. Может ли Ле-

нинград быть объектом?

(2.5.2.4)

Аргументами отношения могут быть лишь предметы, так

что это —

чушь, хотя и понятная. В самом деле, если считать, что пер-

вый знак

= связывает x и y, то второй связывает предмет 0 и логическое

значение, если же второй связывает два предмета, то некорректно ис-

пользование первого. Люди часто и бессистемно используют подобные

сокращения, и это зачастую оправдано (например, при конспектирова-

нии лекции), но уже в языках программирования такие вольности недо-

пустимы12.

Известно ли нам значение x?

(2.5.2.1)