Непейвода. Прикладная логика

4.6. ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

71

Когда мы переходим к формализации, нужно строжайше следить за един-

ством контекста (классическая логика предполагает его постоянство и,

более того, является той логикой, которую мы практически вынужде-

ны использовать в случае формализации знаний в постоянном контек-

сте.) Поэтому после перевода формального предложения на обычный

язык полученную формулировку целесообразно отредактировать с уче-

том возможных изменений контекста. Преимущество, которое мы полу-

чаем, проводя дополнительные преобразования, огромно по сравнению

с некоторыми неудобствами: вылавливаются все те места, где в содер-

жательном рассуждении контекст потихоньку подменяется.

Еще одним важным приложением наших тавтологий является свой-

ство замены эквивалентных. Подробнее оно будет разобрано в следу-

ющей части, а сейчас его можно охарактеризовать как разрешение ис-

пользовать в любом месте вместо логического выражения другое, экви-

валентное ему.

И наконец, приведем важное эквивалентное10 преобразование им-

пликаций. Очевидно, что A B и B A —

разные утверждения. А

если включить сюда еще и импликации между отрицаниями? Тавтоло-

гия 4.49 показывает, что ¬B ¬A то же самое, что и A B.

Упражнения к § 4.6

4.6.1. Для всех упражнений на перевод с естественного на формальный

и обратно, которые Вы решали и будете решать, запишите отри-

цание соответствующих формул.

4.6.2. Проверьте на таблицах истинности, тавтологии ли следующие фор-

мулы:

1.

(A B) (A C) (A B C);

2.

((A B) C) (A (B C));

3.

((A B) & (C D)) ((A C) (B D)).

4.6.3.

Запишите все возможные импликации между A, B и их отрица-

ниями и установите, какие из них эквивалентны друг другу.

4.6.4. Постройте таблицу истинности для формул ¬(A B) и

¬(A

B) и дайте правила формулировки отрицаний для и .

§ 5.1. МНОЖЕСТВА.

ДИАГРАММЫ ЭЙЛЕРА И ВЕННА

В современной математике понятие множества является одним из цен-

тральных и окутанных наибольшим числом предрассудков. Множества

являются прежде всего удобным средством превращать высказывания в

объекты и, соответственно, операции над высказываниями в функции.

При этом классическая логика переходит в булеву алгебру. Лучше все-

го охарактеризовать множество как “ единое имя для совокупности всех

объектов, обладающих данным свойством.” Но это предложение, конеч-

но же, не может считаться определением.

Множество всех объектов, обладающих свойством A(x), обознача-

ется {x | A(x)}. Если Y = {x | A(x)}, то

A(x) называется характери-

стическим свойством множества Y , а Y —

сверткой предиката A. По

определению Y , выполнена следующая эквивалентность:

y(y Y A(y)).

Два множества считаются равными, если их характеристические свой-

ства эквивалентны1. (Часто это выражают словами: «Множества равны,

74

ГЛАВА 5.

БАЗОВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

если они содержат одни и те же элементы».) Множество X вложено в

множество

Y (X

Y ),

если

характеристическое свойство Y следует из

2 3

. Поскольку

характеристического свойства X

(A B) (A B) & (B A),

X Y

и Y X тогда и только тогда, когда X = Y .

Простейшее из множеств, и чаще всего встречающееся в форму-

лах, —

пустое множество ,

вообще не содержащее элементов. Очевид-

но, что пустое множество задается тождественно ложным характери-

стическим свойством, и соответственно все пустые множества равны.

Поэтому считается, что множество квадратных кругов равно множеству

удмуртов-негров. Но здесь, как и всегда, когда математика расходится со

здравым смыслом4, возникают некоторые тонкости.

Было бы естественно, чтобы тождественно истинное условие, на-

пример x = x, определяло “ полное” множество. Но математики давно

уже отказались считать, что существует единое такое полное множество

для всех разделов математики, не говоря уже о ее применениях. Тут

вступает в свои права контекст, и мы вспоминаем о том, что неотъем-

лемым элементом математической интерпретации является универс —

множество всех рассматриваемых в данной теории предметов. Очевид-

ты равными, то тем самым они отказываются рассматривать какие-либо их свойства,

нарушающие равенство. Таким образом, отождествив два множества, характеристиче-

ские свойства которых эквивалентны, мы тем самым косвенно заявляем, что, во-первых,

элементы во множествах совершенно равноправны, поскольку единственное свойство

элемента, принимаемое во внимание при образовании множества —

характеристиче-

ское; во-вторых, элементы не повторяются. Значит, при реализации, скажем, машинной

структуры данных, соответствующей множествам, нужно как-то учесть эти свойства, а

это порою не так-то просто. Например, задав множество просто как массив переменной

длины из элементов, мы грубо нарушаем оба требования: элементы становятся упоря-

доченными согласно индексам, и в массиве могут попасться одинаковые члены.

2 Порою значок

используют лишь для т. н. строгого вложения, когда вдобавок вы-

полнено X 6= Y , а наше вложение обозначают . Но посмотрите, как уродливо выража-

ется строгое вложение, и станет ясно, что лучше брать за исходное нестрогое вложение,

что и ввел в математическую традицию Никола Бурбаки.

3 Никола Бурбаки —

легендарный современный математик (легендарный как в смысле

5.1. МНОЖЕСТВА

75

но, что тождественно истинное условие определяет универс, и тожде-

ственно истинные формулы, относящиеся к разным теориям, определя-

ют разные универсы.

В математике рассматривается одна теория — теория множеств,

которая длительное время претендовала на выразимость в ней всех ма-

тематических понятий. В ней пытаются базироваться на одних лишь

множествах, и тогда ее универс должен быть множеством всех мно-

жеств. Но выяснилось, что принятие существования множества всех

множеств приводит к невозможности совместить некоторые построе-

ния, принятые в математике, в рамках одной теории. Так, например, од-

на из аксиом теории множеств:

если X —

множество, то для любого

условия A {x | x X & A(x)} —

также множество. Приняв существо-

вание множества всех множеств, мы при помощи данной аксиомы вы-

деляем из него расселовское множество из примера (1.7), которое при-

водит к парадоксу. Оно определяется как

{x | x U & x / x}

(как обычно, U — универс).

Математики вышли из данного положения, как всегда, с честью, но

не без потерь и хитростей: было просто принято, что множества всех

множеств нет, и универс теории множеств сам множеством не является5.

Примененный метод лечения полностью соответствует тому, как дей-

ствуют представители других наук в случае появления противоречий в

парадигме.

совокупность взглядов и понятий, кото-

Парадигма —

тиворечащего парадигме, путем вывода данного понятия за ее преде-

лы либо переформулировки соответствующего термина таким образом,

чтобы он устранял выявленный недостаток. Другой способ —

постули-

рование данного факта как нового принципа6. Так, геологи длительное

время отбрасывали как противоречащую парадигме теорию движения

материков, предпочитая каждый конкретный факт либо игнорировать,

либо объяснять по отдельности. Математики по крайней мере потру-

дились свести спасенные после заплаток принципы теории множеств в

достаточно стройную систему.

конечного числа элементов a1,

Множество, состоящее из

. . . , an,

принято обозначать {a1, . . . , an}. Его определение через характеристи-

ческое свойство:

{a1, . . . , an} = {x | x = a1 · · · x = an} .

(5.1)

Исходя из тождества 5.1, можно видеть, в частности, что

Стоит отметить еще одну тонкость. Нужно строго различать x и {x}.

Первое выражение обозначает сам элемент, а второе —

множество, за-

ключающее этот один элемент. Разница между ними примерно такая же,

как между шимпанзе и шимпанзе

,

посаженным в

клетку в зоопарке:

{

x

}

7

скорее похоже на такую клетку, чем на ее обитателя

.

Операциям конъюнкции и дизъюнкции над формулами соответству-

ют операции пересечения ∩ и объединения множеств:

4

4

} ,

X Y = {x | x X y Y }

X ∩ Y = {x | x X & y Y

5.1. МНОЖЕСТВА

77

тогда, когда фиксирован универс U. Дополнение X множества X —

это

¯

множество элементов U, не входящих в X8.

Говорят, что два множества не пересекаются, если их пересечение

—

пустое множество:

X ∩ Y = .

Объединение, пересечение и дополнение обычно называются буле-

выми операциями, составленные из множеств с их помощью выраже-

ния —

булевыми выражениями, значение такого выражения

—

булевой

комбинацией входящих в него множеств, а равенства двух булевых вы-

ражений —

булевыми тождествами (например, X X = X). Через

булевы операции определяются еще две полезные операции над мно-

жествами —

разность X \ Y = (X ∩ −Y ) и симметрическая разность

X4Y = (X \ Y ) (Y \ X). Булевы тождества позволяют продемон-

стрировать достаточно уникальный пример превращения иллюстраций

в строгие доказательства. Он интересен еще и как пример представле-

ния данных: таблица истинности превращается в совершенно непохо-

жую внешне, но изоморфную ей структуру.

В

XVIII веке Л. Эйлер использовал для иллюстрации взаимосвязей

между понятиями чертежи, которые были названы позднее

«круги Эй-

лера» (точнее, как мы и будем называть их, “ диаграммы Эйлера”).

На-

пример, соотношение между понятиями “ протестант, католик, христи-

анин,

европеец” показывает диаграмма 5.1.

Здесь не имеет значения относительный размер кругов либо других

замкнутых областей, но лишь их взаимное расположение. Безусловно,

такие диаграммы могут играть в логике лишь ту же роль,

что черте-

жи в геометрии: они иллюстрируют, помогают представить и доказать,

но сами ничего не доказывают. Учитывая, что по сути своей логика не

является математической наукой и поэтому имеет дело с понятиями, а

не с терминами, часто диаграммы Эйлера являются оптимальным сред-

ством. Но для математических понятий и булевых операций из них мож-

но вывести другой вид диаграмм, когда чертеж становится строгим до-

казательством9.

8

Таким образом, в теории множеств дополнений у множеств нет; но о них, тем не ме-

нее, говорят, имея в виду дополнение до фиксированного подразумеваемого множества,

например, некоторого множества действительных чисел до всего R.

9

Этот вид диаграмм предложил и детально разработал Дж. Венн, поэтому они назы-

ваются по его имени: диаграммы Венна.

5.1. МНОЖЕСТВА

79

*

*

Самая внутренняя область пропала, и

X

Y

*

кажется, что рассматриваемое тожде-

Z

ство выполнено.

Рис. 5.3: Неправильная диаграмма Венна

таблицу истинности. В этой таблице вычисляются значения формул, со-

ответствующих двум частям равенства, при всех возможных комбина-

циях значений элементарных подформул. Проанализируем, чему соот-

ветствует такая комбинация на языке теории множеств. Если есть си-

стема множеств Xi, то задание значений формул c Xi соответствует

указанию для всех Xi, чему именно, множеству либо его дополнению,

принадлежит c. Это приводит к следующим определениям.

Определение 5.1.1. Составляющие системы множеств {X1, . . . , Xn}

задаются следующим индуктивным определением.

Базис. Составляющие {X1} суть само X1 и его дополнение. ¯

Шаг.

Если S —

составляющая {X1, . . . , Xn−1}, то S∩Xn и S∩ Xn —

составляющие {X1, . . . , Xn}.

Система множеств независима, если все ее составляющие непусты.

Теорема 5.1. .(Венн) Если булево равенство выполнено для некоторой

независимой системы множеств, то оно выполнено для любой системы

множеств.

Прежде всего отметим, что любая составляющая S

Доказательство.

системы

{X1, . . . , Xn} однозначно определяет значения всех формул

вида c Xi. Это легко устанавливается по индукции. Отсюда следует,

что две составляющие либо совпадают, либо не пересекаются. Далее,

если Y —

булева комбинация {X1, . . . , Xn}, S —

составляющая этой

системы, то S либо подмножество Y , либо не пересекается с Y . Это вы-

текает из того, что значение характеристического свойства Y полностью

определяется значениями всех c Xi. И наконец,

составляющая неза-

систем множеств (конечно, для зависимых систем могут появиться и

другие разложения). Поэтому если в независимой системе две булевы

комбинации имеют одни и те же составляющие, они будут иметь одина-

ковые значения и в любой другой системе.

Итак, булево равенство достаточно проверить на одной, но хорошо

подобранной системе множеств.

Следовательно, правильно нарисован-

ная диаграмма Венна полностью обосновывает тождество.

Диаграммы Венна подводят нас к следующему фундаментальному

вопросу.

В них нет предложений, нет правил вывода, не видно умоза-

ключений. Так что же такое доказательство с математической точки зре-

ния? Ответом на это может быть следующая характеризация:

Доказательство —

конструкция, синтаксическая

правильность которой гарантирует семантиче-

(5.2)

скую.

Не известно ни одного случая, когда такое описание отказало бы10. И

заодно данная формулировка показывает, насколько далеко нынешним

программам до доказательств: в программе синтаксическая правильность

ничего не гарантирует.

В заключение отметим, что множество всех подмножеств данного

множества X называется его множеством-степенью и обозначается 2X

либо P X.

Упражнения к § 5.1

5.1.1.

Независима ли следующая система множеств:

X

Y

Z

5.1.2.

Мы научились проверять на диаграммах булевы равенства. А как

с булевыми вложениями (утверждениями формы X Y, где X и

Y —

булевы выражения)?