Глава 3. Динамика твердого тела

Лекция 8

3.1. Поступательное движение

Твёрдое тело (ТТ) – это тело, которое не деформируется при действии на него сил. Масса ТТ представляется в виде суммы материальных точек связанных между собой внутренними силами взаимодействия f. Различают поступательное и вращательное движение ТТ.

При поступательном движении любая прямая проведенная в теле перемещается параллельно самой себе, а точки совершают равные по величине и направлению перемещения с одинаковой скоростью и ускорением. Поэтому, движениеТТ можно заменить одной точкой С определяемой радиус-вектором . Точка С – называется центром инерции тела и совпадает с его центром тяжести рис (3.1).

Радиус-вектор и скорость центра инерции определяются из соотношений:

(3.1)

(3.2)

где - масса тела, состоящая изn материальных точек.

Импульс Т.Т. связан со скоростью центра инерции соотношением

. (3.3)

Под действием внешних сил все точки тела движутся с ускорением

(3.4)

так как =0, силывзаимодействия равны по величине и противоположны по направлению.

Ускорение центра инерции

(3.5)

По второму закону Ньютона ,тогда , что позволяетзаменить поступательное движение тела движением центра инерции С.

3.2. Вращательное движение

При вращательномдвижении ТТ все его точки движутся по окружностям с центрами на оси вращения ( рис. 3.2).

Угловые скорости ω всех точек тела одинаковы, а линейные зависят от их расстоянийr до оси вращения.

Рассмотрим вращение тела под действием внешней силы (рис 3.3). Через точку приложения силы перпендикулярно оси вращения проведем плоскость А. Разложим силуна параллельнуюи перпендикулярную_. Сила не вызывает вращения, так как действует вдоль оси. Тело вращается под действием силы , которая в плоскости А имеет составляющие и. Силадействует вдоль направления радиусаи не может вызвать вращение тела. Следовательно, тело вращается под действием силы

=,

где α – угол между направлениями радиус-вектором и силой.

В соответствии со вторым законом Ньютона касательное ускорение точки m_i

Умножим левую и правую часть последнего равенства на r_i и

. (3.6)

В равенстве (3.6) соотношение - момент инерции материальной точки,r_i·sinα = h – плечо а =М -момент силы .

Момент инерции тела объемом V и плотностью вещества ρ

(3.7)

- определяет инерцию вращающегося тела и по своим свойствам аналогичен его массе m в поступательном движении. Момент инерции для тел правильной геометрической формы приведены в таблице 1.

Таблица 1

Тело	Обруч, кольцо	Диск, сплошной цилиндр	Полый цилиндр	Шар	Стержень
Геометрия
Момент инерции

Момент инерции тела находящегося на расстояния d от оси вращения (рис. 3.4 ) определяется по теореме Штейнера

J=J_c+md² . (3.8)

Если d=0 и ось проходит через центр инерции, то момент инерции определяется по формуле (3.7)

Для сплошного диска радиусом R и массой m (рис 3.4) вращающегося вокруг оси, расположенной на расстоянии d от центра тяжести, момент инерции

где - момент инерции диска.

Вектор момента силы находится на оси вращения, а его направление определяется правилом правого винта поворотом вектора к векторупо кратчайшему пути (рис. 3.3).

На тело с моментом инерции J вращающееся вокруг оси с угловым ускорением действует момент силы.

(3.9)

Произведение - называется моментом импульса тела, так как для точки m_i справедливо равенство .

Для изменения момента импульса справедливы равенства:

(3.10)

Следовательно, изменение момента импульса равно моменту результирующей силы.

Для конечного промежутка времени ∆t изменения момента импульса тела.

(3.11)

Задания для самоконтроля знаний.

1. Определить скорость центра инерции автомобиля массой 3т и количеством движения 6·10 кг м/с.

2. Определить ускорение автомобиля массой 3т, если его импульс 6·10кг м/с в течение одной минуты уменьшился в два раза.

3. Чему равен момент инерции вала, если под действием момента сил

5·10 Н·м он стал вращаться с угловым ускорением 5 рад/с².

4. Определить момент сил действующих на неподвижный блок, если в течение 30с его момент импульса стал равным 3·10³.

Лекция 9