7.4 Скорость и энергия молекул [распределение Максвелла]

Для простоты рассмотрения движения молекул. Примем:

а) соударения молекул газа происходят как соударения упругих шаров;

б) размеры молекул пренебрежительно малы по сравнению с объемом, занимаемым газом;

в) между молекулами не проявляются силы взаимного притяжения.

Газ в котором выполняются эти условия называется идеальным. Реальным приближением к этой простейшей системе являются газы при низких давлениях и не очень низких температурах. Идеальным можно считать воздух, азот, кислород, гелий и водород при обычных условиях.

Из предположения хаотичности молекулярного движения следует, что скорости молекул идеального газа могут принимать любые значения в пределах от 0 до ∞, Что определяет непрерывность функции распределения молекул по скоростям. Максвеллом в 1859 г. теоретически найдена функция распределения молекул по скоростям и энергиям, которая позволяет вычислять число молекул, находящихся в единице объема газа, скорость которых лежит в единичном интервале скоростей dυ в окрестности заданной скорости υ. Функция распределения имеет вид

, (7.5)

где k – постоянная Больцмана, равная 1,38·10^-23 Дж/К.

При некотором значении скорости функция распределения проходит через максимум (рис. 7.6). Скорость, соответствующая максимуму функции распределения, называется вероятной скоростью

,

Средняя скорость молекул

,

Среднеквадратичная скорость молекул

Распределение молекул по энергиям поступательного движения

(7.6)

где .

Наряду с поступательным движением возможно вращение и колебание молекул. На каждую поступательную и вращательную степень свободы приходится энергия теплового движения , колебательную –kT.

Числом степеней свободы материального объекта называется количество независимых координат, которые необходимо задать, чтобы однозначно определить положение этого объекта относительно рассматриваемой системы отсчета.

Так, положение материальной точки в пространстве определяется тремя координатами х, у, z. Следовательно, материальная точка обладает тремя степенями свободы. Твердое тело имеет шесть степеней свободы: координаты х, у, z определяют положение центра масс, углы θ, φ,ψ – вращение тела вокруг оси x, y, z.

Система из N материальных точек, между которыми нет жестких связей, имеет 3 N степеней свободы. Двухатомная молекула с жесткой связью между атомами имеет пять степеней свободы: три поступательные и две вращательные.

Трех- и многоатомные молекулы с жесткой связью имеют, как и твердое тело, шесть степеней свободы.

Двухатомная молекула с упругой связью между атомами имеет шесть степеней свободы: координаты х, у, г определяют положение центра инерции, углы θ и φ— положение оси системы, l — расстояние между молекулами.

Распределение энергии по степеням свободы остается справедливым, пока кинетическая энергия частиц является квадратичной функцией скорости (нерелятивистское приближение), а потенциальная — квадратичной функцией координат (малые гармонические колебания).

Энергия хаотического теплового движения одной молекулы

,

где i — сумма числа поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы.