Задание 1.
Задание табличная функция
|
Х |
1 |
2 |
4-0,2*1 |
5 |
6 |
|
у |
2 |
8 |
3+0,1*3 |
6 |
3 |
1.Построить интерполяционный многочлен.
2. Найти корни и экстремумы в точности до е=0,001
3. Построить графики на миллиметровке
Решение:
Исходные данные
|
Х |
1 |
2 |
3,8 |
5 |
6 |
|
у |
2 |
8 |
3,3 |
6 |
3 |
-
Построим интерполяционный многочлен Лагранжа
-
Найдем корни методом половинного деления
на интервале (0,1)
|
a |
b |
c |
f(a) |
f(b) |
f(c ) |
abs(b-a) |
<=2*eps |
|
1 |
2 |
3=((1)+(2))/2 |
4 |
5 |
6 |
7=|(2)-(1)| |
8=(7)<=2*eps 0 – нет,1 - да |
|
0 |
1 |
0,5000 |
-35,6075 |
2,0000 |
-11,0583 |
1,0000 |
0 |
|
0,5 |
1 |
0,7500 |
-11,0583 |
2,0000 |
-3,3426 |
0,5000 |
0 |
|
0,75 |
1 |
0,8750 |
-3,3426 |
2,0000 |
-0,4036 |
0,2500 |
0 |
|
0,875 |
1 |
0,9375 |
-0,4036 |
2,0000 |
0,8616 |
0,1250 |
0 |
|
0,875 |
0,9375 |
0,9063 |
-0,4036 |
0,8616 |
0,2453 |
0,0625 |
0 |
|
0,875 |
0,9063 |
0,8907 |
-0,4036 |
0,2463 |
-0,0745 |
0,0313 |
0 |
|
0,8907 |
0,9063 |
0,8985 |
-0,0735 |
0,2463 |
0,0874 |
0,0156 |
0 |
|
0,8907 |
0,8985 |
0,8946 |
-0,0735 |
0,0874 |
0,0072 |
0,0078 |
0 |
|
0,8907 |
0,8946 |
0,8927 |
-0,0735 |
0,0072 |
-0,0331 |
0,0039 |
0 |
|
0,8927 |
0,8946 |
0,8937 |
-0,0320 |
0,0072 |
-0,0124 |
0,0019 |
1 |
Х1=0,8937
На интервале (6,7)
|
a |
b |
c |
f(a) |
f(b) |
f(c ) |
abs(b-a) |
<=2*eps |
|
6 |
7 |
6,5000 |
3,0000 |
-25,1075 |
-6,2833 |
1,0000 |
0 |
|
6 |
6,5 |
6,2500 |
3,0000 |
-6,2833 |
-0,6785 |
0,5000 |
0 |
|
6 |
6,25 |
6,1250 |
3,0000 |
-0,6785 |
1,3751 |
0,2500 |
0 |
|
6,125 |
6,25 |
6,1875 |
1,3751 |
-0,6785 |
0,4051 |
0,1250 |
0 |
|
6,1875 |
6,25 |
6,2188 |
0,4051 |
-0,6785 |
-0,1221 |
0,0625 |
0 |
|
6,1875 |
6,2188 |
6,2032 |
0,4051 |
-0,1230 |
0,1447 |
0,0313 |
0 |
|
6,2032 |
6,2188 |
6,2110 |
0,1438 |
-0,1230 |
0,0113 |
0,0156 |
0 |
|
6,211 |
6,2188 |
6,2149 |
0,0113 |
-0,1230 |
-0,0556 |
0,0078 |
0 |
|
6,211 |
6,2149 |
6,2130 |
0,0113 |
-0,0556 |
-0,0221 |
0,0039 |
0 |
|
6,211 |
6,213 |
6,2120 |
0,0113 |
-0,0229 |
-0,0058 |
0,0020 |
1 |
Х2=6,212
Точки экстремума:
Производная полученной функции
Условие экстремума
Найдем корни с точностью 0,001 и определим знак производной в окрестности этих точек.
На интервале (1,2)
|
a |
b |
c |
f(a) |
f(b) |
f(c ) |
abs(b-a) |
<=2*eps |
|
1 |
2 |
1,5000 |
17,2358 |
-1,5382 |
5,0756 |
1,0000 |
0 |
|
1,5 |
2 |
1,7500 |
5,0756 |
-1,5382 |
1,1570 |
0,5000 |
0 |
|
1,75 |
2 |
1,8750 |
1,1570 |
-1,5382 |
-0,3333 |
0,2500 |
0 |
|
1,75 |
1,875 |
1,8125 |
1,1570 |
-0,3333 |
0,3749 |
0,1250 |
0 |
|
1,8125 |
1,875 |
1,8438 |
0,3749 |
-0,3333 |
0,0117 |
0,0625 |
0 |
|
1,8438 |
1,875 |
1,8594 |
0,0111 |
-0,3333 |
-0,1633 |
0,0312 |
0 |
|
1,8438 |
1,8594 |
1,8516 |
0,0111 |
-0,1633 |
-0,0767 |
0,0156 |
0 |
|
1,8438 |
1,8516 |
1,8477 |
0,0111 |
-0,0767 |
-0,0329 |
0,0078 |
0 |
|
1,8438 |
1,8477 |
1,8458 |
0,0111 |
-0,0329 |
-0,0109 |
0,0039 |
0 |
|
1,8438 |
1,8458 |
1,8448 |
0,0111 |
-0,0115 |
-0,0002 |
0,0020 |
1 |
Х1= 1,845
На интервале (3,4)
|
a |
b |
c |
f(a) |
f(b) |
f(c ) |
abs(b-a) |
<=2*eps |
|
3 |
4 |
3,5000 |
-3,3477 |
1,3643 |
-1,1542 |
1,0000 |
0 |
|
3,5 |
4 |
3,7500 |
-1,1542 |
1,3643 |
0,1460 |
0,5000 |
0 |
|
3,5 |
3,75 |
3,6250 |
-1,1542 |
0,1460 |
-0,5040 |
0,2500 |
0 |
|
3,625 |
3,75 |
3,6875 |
-0,5040 |
0,1460 |
-0,1777 |
0,1250 |
0 |
|
3,6875 |
3,75 |
3,7188 |
-0,1777 |
0,1460 |
-0,0153 |
0,0625 |
0 |
|
3,7188 |
3,75 |
3,7344 |
-0,0151 |
0,1460 |
0,0656 |
0,0312 |
0 |
|
3,7188 |
3,7344 |
3,7266 |
-0,0151 |
0,0656 |
0,0253 |
0,0156 |
0 |
|
3,7188 |
3,7266 |
3,7227 |
-0,0151 |
0,0253 |
0,0051 |
0,0078 |
0 |
|
3,7188 |
3,7227 |
3,7208 |
-0,0151 |
0,0051 |
-0,0050 |
0,0039 |
0 |
|
3,7208 |
3,7227 |
3,7218 |
-0,0047 |
0,0051 |
0,0002 |
0,0019 |
1 |
Х2=3,722
На интервале (5,6)
|
a |
b |
c |
f(a) |
f(b) |
f(c ) |
abs(b-a) |
<=2*eps |
|
5 |
6 |
5,5000 |
2,1548 |
-11,4192 |
-2,1839 |
1,0000 |
0 |
|
5 |
5,5 |
5,2500 |
2,1548 |
-2,1839 |
0,5159 |
0,5000 |
0 |
|
5,25 |
5,5 |
5,3750 |
0,5159 |
-2,1839 |
-0,6912 |
0,2500 |
0 |
|
5,25 |
5,375 |
5,3125 |
0,5159 |
-0,6912 |
-0,0532 |
0,1250 |
0 |
|
5,25 |
5,3125 |
5,2813 |
0,5159 |
-0,0532 |
0,2398 |
0,0625 |
0 |
|
5,2813 |
5,3125 |
5,2969 |
0,2394 |
-0,0532 |
0,0952 |
0,0312 |
0 |
|
5,2969 |
5,3125 |
5,3047 |
0,0952 |
-0,0532 |
0,0215 |
0,0156 |
0 |
|
5,3047 |
5,3125 |
5,3086 |
0,0215 |
-0,0532 |
-0,0157 |
0,0078 |
0 |
|
5,3047 |
5,3086 |
5,3067 |
0,0215 |
-0,0157 |
0,0030 |
0,0039 |
0 |
|
5,3067 |
5,3086 |
5,3077 |
0,0025 |
-0,0157 |
-0,0066 |
0,0019 |
1 |
Х3= 5,308
Построим таблицу знака
|
X |
-∞;1,845 |
1,845 |
1,845;3,722 |
3,722 |
3,722;5,308 |
5,308 |
5,308;+∞ |
|
Y’ |
+ |
0 |
– |
0 |
+ |
0 |
– |
|
Y |
возрастает |
8,125 |
убывает |
3,284 |
возрастает |
6,369 |
убывает |
Точки экстремума:
(1,845; 8,125) и (5,308; 6,369) – точки максимума
(3,722; 3,284) -точка минимума
-
Построим графики.
На графике подписаны координаты узловых точек (точек, которые определены в условии)
Задание 2.
При проведении опыта получена таблица значений двух величин. Задана эмпирическая формула, которая в пределах опыта достаточно точно определяет зависимость между ними.
Требуется, используя метод наименьших квадратов, найти параметры эмпирической формулы, вычислить среднеквадратическое уклонение и построить на одном чертеже графики эмпирической и табличной зависимости.
3. При исследовании зависимости давления Р(кГ/см2) насыщенного пара от удельного объема v(м3/кг), составлен таблица:
|
V |
3,33 |
1,63 |
0,87 |
0,43 |
0,27 |
0,17 |
0,12 |
|
P |
0,48 |
1,04 |
2,03 |
4,25 |
7,16 |
11,48 |
17,60 |
Эмпирическая формула
Решение:
Гиперболическое уравнение регрессии
имеет вид
+
ε
Система нормальных уравнений.
a•n + b∑
= ∑P
a∑
+ b∑
= ∑P•
Для наших данных система уравнений имеет вид
7a + 14.8 b = 44.04
14.8 a + 130.46 b = 11.52
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -0.82, a = 8.03
Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):
P = -0.82
+ 8.03
Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу
|
|
P |
|
P2 |
P• |
Эмпирич P(v) |
Отклонение
|
|
11,09 |
0,48 |
122,9637 |
0,23 |
5,32 |
-1,06 |
2,38 |
|
2,66 |
1,04 |
7,0591 |
1,08 |
2,76 |
5,85 |
23,15 |
|
0,76 |
2,03 |
0,5729 |
4,12 |
1,54 |
7,41 |
28,94 |
|
0,18 |
4,25 |
0,0342 |
18,06 |
0,79 |
7,88 |
13,17 |
|
0,07 |
7,16 |
0,0053 |
51,27 |
0,52 |
7,97 |
0,66 |
|
0,03 |
11,48 |
0,0008 |
131,79 |
0,33 |
8,01 |
12,07 |
|
0,01 |
17,60 |
0,0002 |
309,76 |
0,25 |
8,02 |
91,81 |
|
14,80 |
44,04 |
130,6363 |
516,31 |
11,52 |
|
172,17 |
=(
P- P(v))2
Среднеквадратическое отклонение:
Построим графики:
13. В таблице приведены данные наблюдений о времени расформирования состава с горки:
|
Mc |
18 |
21 |
24 |
27 |
30 |
33 |
36 |
39 |
42 |
45 |
|
t |
6,7 |
7,5 |
8,4 |
9,3 |
10,1 |
11,0 |
11,8 |
12,6 |
13,3 |
14,0 |
mc – число вагонов в составе t – время расформирования в минутах.
Эмпирическая формула:
