Для самостоятельного изучения

Сложение гармонических колебаний

Материальная точка может участвовать одновременно в нескольких колебательных движениях. Сложить два или несколько колебаний – значит найти закон, которому подчиняется результирующее движение, найти траекторию этого движения материальной точки.

Сложение колебаний м.т. проводится геометрически, введением понятия амплитуды (рис.1.14).

Вектор амплитуды - это вектор, модуль которого равен амплитуде рассматриваемого колебания.

Если вектор амплитуды привести во вращение вокруг точки О, с угловой скоростью , то проекция конца этого вектора на ось х будет совершать гармонические колебания с циклической частотой:

,

где – угол, образованный вектором амплитуды и осью х в начальный момент времени.

Сложим два гармонических колебания вдоль оси X (рис 1.14.

;

;

где

Так как колебания происходят вдоль одной прямой, то результирующая координата:

.

Вектор результирующей амплитуды равен геометрической сумме векторови. Проекция конца вектораопределяет результирующее смещениеx. Так как оба вектора, и, вращаются в процессе колебаний с угловой скоростью, с такой же скоростью будет вращаться и вектор результирующей амплитуды.

Для времени t=0

для произвольного момента времени t

,

где и- амплитуда и начальная фаза результирующего колебания.

Из по теореме косинусов:

,

.(1.46)

где

Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз слагаемых колебаний. Если, где, тои. Колебания усиливают друг друга.

Если , тоиЕсли разность фаз равна нечётному числу, колебания гасят друг друга. В случае, когда, колебания полностью гасят друг друга. В зависимости от разности фаз амплитуда колебаний может принимать любые значения, лежащие в интервале

.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний слегка отличающимися частотами, происходящих вдоль одной прямой для нескольких условий:

1. Пусть , причём(или),и

Уравнение колебаний:

_{Координата результирующего}

_(1.47)

Так как , векторы амплитуды складываемых колебаний будут вращаться с неодинаковыми угловыми скоростями.

Сумма косинусов и координата результирующего колебания

Выделенный множитель изменяется с течением времени гораздо медленнее, чем второй множитель. За время, в течение которого второй множитель совершает полное колебание, первый почти не изменяется (так как по условию <<). Это позволяет рассматривать колебание как гармоническое с частотой, амплитуда которого.

Рис 1.15

Гармонические колебания с периодически изменяющейся амплитудой называются биениями.

Частота и период биений

,

где - частоты слагаемых колебаний. Следовательно, чем меньше отличаются частоты, тем меньше частоты биений.

2. Точка одновременно участвует в двух колебаниях, происходящих вдоль координатных осейx и y, причём

Разделив второе уравнение на первое, получим

Полученное соотношение представляет прямую, проходящую через начало координат и наклонённую к оси х под углом .

Точка будет совершать гармоническое колебание вдоль этой прямой:

где - амплитуда колебания.

2. При сложении колебаний, когда

Рис. 1.17

Разделив одно уравнение на другое, получим уравнение прямой с отрицательным тангенсом угла наклона.

2. Для

Перепишем эти уравнения в виде

Рис. 1.18

Возведём в квадрат и почленно сложим:

Полученное уравнение есть уравнение эллипса. Полуоси этого эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний и. Приэллипс превращается в окружность.

Если равность фаз слагаемых колебаний равна то движение по эллипсу (или по окружности) будет происходить по часовой стрелке.

Если , движение происходит против часовой стрелки.

При сложении взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с неодинаковыми циклическими частотами результирующее движение будет происходить по сложным траекториям, называемым фигурами Лиссажу. Форма фигур Лиссажу зависит от соотношения частот складываемых колебаний и разности их начальных фаз.

Задания для самоконтроля знаний.

1. Определить модуль вектора угловой скорости и ускорениеточки движущейся по окружности, если ее угол зависит от времени φ=10+5t.

2. Определить тангенциальное а_τ и нормальное ускорения а_nточки движущейся по окружности радиусомR=1 м, если ее угловая скорость ω=5 рад/сек, ускорениеε=πрад/с².

3. Определить максимальное значение скорости гармонического колебания м.т, если ее период колебанияT=1 м·с, а амплитуда А=1 см.

4. Определить начальную фазу φ₀гармонического колебания м.т. с частотой ν=1 Гц приx₀=1 см и=1 м/с.