4.4. Связь потенциальной энергии с силой

У

становим связь между потенциальной энергией системы взаимодействующих тел и консервативной силой, обусловливающей это взаимодействие.

Предположим, что тело под действием силы переместилось в произвольном направлениина бесконечно малое расстояниеdr (рис. 4.4). Тогда работа

, (4.8)

где - проекция силы на направление.

Так как сила F консервативна, то для нее справедливо соотношение

,

Сравнивая последнее равенство с (4.8) получим

,

. (4.9)

Выясним, что определяет знак « – »:

1) если в направлении потенциальная энергия возрастает, то. Это означает, что направление силыобразует с направлениемугола проекция этой силыпротивоположна направлению возрастания потенциальной энергии;

2) если потенциальная энергия вдоль убывает, то, угол междуи направлениема проекция силысовпадает с направлением убывания потенциальной энергии.

Потенциальная энергия может изменяться вдоль координат х, у, z. Тогда

.

Зная проекции силы , можно записать вектор силы в декартовой системе координат:

,

или

(4.10)

Вектор, стоящий в скобках, называется градиентом потенциальной энергии.

Консервативная сила, действующая на тело, равна по величине и противоположна по направлению градиенту потенциальной энергии этого тела.

Градиент потенциальной энергии – это вектор, быстрейшего возрастания потенциальной энергии модуль которого равен ее изменению в выбранном направлении.

Для самостоятельного изучения

4.5. Потенциальная энергия тела относительно поверхности Земли

П

Рис 4.5

отенциальная энергия тела массой т, относительно поверхности Земли на высотеh (рис 4.5).

.

Постоянную интегрирования С найдем из условия, что за нулевой уровень примем потенциальную энергию тела на поверхности Земли Е_п=0

; .

Потенциальная энергия тела на высоте h

При h << R₃ и

(4.11)

4.6. Работа силы тяжести

у

Найдем работу, которую совершает сила тяжести , действующая на падающее тело массой т, при его перемещении из точки 1 в точку 2 по произвольному пути (рис.4.6).

Полная работа:

.

Силу тяжести при можно считать постоянной, тогда

.

Так как направление вектора противоположно возрастанию высотыh, то

.

Работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии, зависит от начального и конечного положений тела над Землей и не зависит от формы траектории его движения. Следовательно, сила тяжести есть консервативная сила.

4.7. Потенциальная энергия пружины

Внешняя сила, сжимая или растягивая пружину, совершает работу. Освобожденная от внешнего воздействия, пружина восстанавливает свою форму, а потенциальная энергия, запасенная пружиной в процессе деформации, превращается в другие виды энергии. Мерой энергии превратившейся в другие виды, является величина работы, совершенная упругой силой.

Работа упругой силы на участкеdx

dA = F_хdx = – kxdx,

Полная работа при изменении длины пружины на Δх = х₂ – х₁

(4.12)

Потенциальная энергия деформированной пружины

(4.13)

где С = 0, так как потенциальная энергия недеформированной пружины равна нулю.

Работа упругой силы не зависит от того, как произошло изменение длины пружины. Поэтому упругая сила так же как и сила гравитационного притяжения консервативна.