Глава 4. Работа и энергия

4.1. Работа. Мощность

При перемещении тела на расстояние s под действием постоянной силы F совершается работа.

(4.1)

где α – угол между вектором силы и направлением перемещения.

Работа, совершаемая переменной силой на участке, определяется интегрированием элементарных работdA на участках dr (рис 4.1)

Работа постоянной силы F на участке r₂-r₁

.

Работа может быть положительной, если 0 ≤ α < π/2, и отрицательной, если π/2 < α ≤ π.

Если на тело действует сила перпендикулярно перемещению, то её работа А = 0.

Если на тело действует несколько сил, то результирующая работа равна алгебраической сумме работ всех составляющих сил (принцип независимости действия сил):

.

Скорость совершения работы определяется средней

и мгновенной мощностью

, (4.2)

где α – угол между векторами силы и скоростидвижущегося тела

Работа в СИ измеряется в джоулях (Дж). Один джоуль — это работа, совершаемая силой F = 1 Н на пути в s = 1 м при условии, что направление силы совпадает с направлением перемещения.

Мощность в СИ измеряется ваттах (Вт). Один ватт — это такая мощность, при которой совершается работа в A=1 Дж за время t=1 с.

4.2. Кинетическая энергия

Пусть тело массой m движется по заданной траектории под действием некоторой переменной силы и изменяет скорость на некотором путиs от до(рис. 4.2). Работа силы на бесконечно малом участке

Работа на всём пути

(4.3)

Величины ихарактеризуют состояние тела в его начальном и конечном положении.

Механическое состояние, зависящее от скорости движения тела, называют кинетической энергией

, (4.4)

где С – постоянная интегрирования, зависящая от выбора системы отсчета

Соотношение (4.3) можно записать в виде

.

Изменение кинетической энергии тела при переходе его из одного состояния в другое равно работе, совершаемой силой, действующей на тело в процессе этого перехода.

Если А > 0, то ΔЕ_k > 0, тело получает энергию от тел, которые являются «источником» сил, совершающих работу; если А < 0, то ΔЕ_k < 0, тело отдает энергию окружающим телам. Обладая кинетической энергией, тело способно совершить работу, т.е. отдать эту энергию другим телам (заставить их двигаться, изменять скорость или деформироваться).

Кинетическая энергия связанна с импульсом тела p соотношением

(4.5)

И всегда положительна в любой системе отсчета.

4 Dr.3. Потенциальная энергия

Энергию, которой обладает тело взаимодействуя с другими телами называют потенциальной.

Потенциальной энергией обладает, например, тело поднятое над Землей, сжатая или растянутая пружина.

Найдем потенциальную энергию системы из двух тел испытывающих гравитационное взаимодействие. Пусть два тела с массами m₁ и m₂ под действием силы гравитационного притяжения перемещаются относительно друг друга (рис. 4.3). Будем считать, что тело массой m₁ покоится, а изменение расстояния между телами происходит в результате перемещения тела массой m₂. Тогда работу совершает лишь сила , действующей на тело массойm₂. Сила зависит от расстояния между теламиr. Найдем элементарную работу силына бесконечно малом перемещении тела

.

Полная работа при перемещении второго тела к первому на расстояние r₂

(4.6)

Работа силы гравитационного притяжения при изменении расстояния между телами зависит только от начального и конечного положения тел и не зависит от формы траектории перехода из начального положения в конечное.

Силы, работа которых не зависит от формы траектории, называются консервативными.

Силы, работа которых зависит от формы траектории, называются неконсервативными (силы трения, силы сопротивления при движении тела в газе или жидкости).

Величина в соотношении (4.6) является функцией параметров состояния одного тела относительно другого и называется потенциальной энергией их взаимодействия. Изменение потенциальной энергии не зависит от формы траектории тела при его переходе из одного состояния в другое.

Работа силы гравитационного притяжения положительна, так как инаправлены одинаково. Однако численное значение 1-го слагаемого в соотношении (4.6) меньше численного значения 2-го слагаемогоr₁ > r₂. Неравенство Е_п1 – Е_п2 > 0 будет выполнено, если Е_п1 и Е_п2 будут отрицательны:

,

где С – постоянная интегрирования.

Постоянная интегрирования С находится из условия, что при потенциальная энергия взаимодействия двух телЕ_п = 0, тогда 0 = − 0 + С, и

С = 0.

Потенциальная энергия двух взаимодействующих тел с массами m₁ и m₂ находящихся на расстоянии r друг от друга

. (4.7)

Энергия, как и работа, в системе СИ измеряется в джоулях (Дж).