DifYr

Находим производные:

y= Axe-x ; y0 = Ae-x - Axe-x ; y00 = -2Ae-x + Axe-x

иподставляем в уравнение (2.69):

-2Ae-x + Axe-x - 2 Ae-x - Axe-x - 3Axe-x e-x:

Искомое частное решение уравнения (2.69) на R: y~ = -14xe-x:

Ответ: Общее решение уравнения (2.69):

y= -14xe-x + C1e-x + C2e3x

вобласти R2, где C1; C2 – произвольные постоянные.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Уравнение (2.71) – линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Правая часть уравнения (2.71) – функция f(x) := xe-x, естественная область определения которой является dom f = R. Будем искать общее решение уравнения (2.71) в области R2.

Замечание. Уравнение (2.71) отличается от уравнения (2.66) только правой частью, поэтому найдём только частное решение уравнения (2.71) на R.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Общее решение уравнения (2.67):

y= C1e-x + C2e3x

вобласти R2, где C1; C2 – произвольные постоянные.

Запишем частное решение уравнения (2.71) на R по правилу I c неопределёнными коэффициентами:

y = x(Ax + B)e-x = (Ax2 + Bx)e-x (m = 1; r = 1):

(2.72)

Коэффициенты A и B найдём из требования того, чтобы функция (2.72) была решением уравнения (2.71) на R.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

После сокращения на e-x приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа:

x1 -8A = 16 ) A = -2

x0 2A - 4B = 0 ) 2B = A ) B = -1:

Искомое частное решение уравнения (2.71) на R:

y~ = x(-2x - 1)e-x:

Ответ: Общее решение уравнения (2.71):

y= -x(2x + 1)e-x + C1e-x + C2e3x

вобласти R2, где C1; C2 – произвольные постоянные.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Уравнение (2.73) – линейное неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами. Правая часть уравнения (2.73) – функция f(x) := 3x2, естественная область определения которой является dom f = R. Будем искать общее решение уравнения (2.73) в области R2.

Замечание. Уравнение (2.73) отличается от уравнения (2.60) только правой частью, поэтому найдём только частное решение уравнения (2.73) на R.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Общее решение уравнения (2.61):

y= C1 + C2 cos x + C3 sin x

вобласти R2, где C1; C2; C3 – произвольные постоянные.

Запишем частное решение уравнения (2.73) на R по правилу I c неопределёнными коэффициентами:

y = x Ax2 + Bx + C = Ax3 + Bx2 + Cx

(m = 2; r = 1): (2.74)

Коэффициенты A; B и C найдём из требования того, чтобы функция (2.74) была решением уравнения (2.73) на R.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Находим производные:

y = Ax3 + Bx2 + Cx; y0 = 3Ax2 + 2Bx + C; y00 = 6Ax + 2B;

y000 = 6A

и подставляем в уравнение (2.73):

0y = Ax3 + Bx2 + Cx;

1y0 = 3Ax2 + 2Bx + C; 0 y00 = 6Ax + 2B;

1y000 = 6A

3Ax2 + 2Bx + (C + 6A) 3x2

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit