DifYr

Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешённая относительно производных от искомых функций, называется системой, имеющей нормальную форму Кош´и.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Общий вид системы, имеющей нормальную форму Кош´и, с n неизвестными функциями y1; y2; : : : ; yn переменной x:

где f1; f2; : : : ; fn : D -! R; D Rn+1:

Множество D Rn+1 называется областью определения системы (3.2).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Замечание. Часто область определения системы (3.2) не задана. Условимся, что если область определения системы (3.2) не задана и функции f1; f2; : : : ; fn – элементарные, то областью определения системы (3.2) является множество

n

\

D = domfk Rn+1:

k=1

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Частный случай: n = 1.

Общий вид системы, имеющей нормальную форму Кош´и:

где f : D -! R; D R2:

Начальные данные Кош´и – точка (x0; y0) из области определения дифференциального уравнения (3.3). График решения задачи Кош´и с начальными данными Кош´и (x0; y0) является частью интегральной кривой уравнения (3.3), проходящей через точку (x0; y0).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Всякая точка (x0; y01; y02; : : : ; y0n) 2 D Rn+1 называется начальными данными Кош´и для системы (3.2).

Решением задачи Кош´и системы (3.2) с начальными

данными Кош´и (x0; y01; y02; : : : ; y0n) 2 D Rn+1 называется решение системы (3.2) '1; '2; : : : ; 'n : (a; b) -! R на интервале (a; b), содержащем точку x0, удовлетво-

ряющее условию:

'1(x0) = y01; '2(x0) = y02; : : : ; 'n(x0) = y0n:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 8. (Кош´и) Если правые части системы (3.2) непрерывны и имеют непрерывные частные производные по y1; y2; : : : ; yn в некоторой области G D Rn+1, то для любой точки

(x0; y01; y02; : : : ; y0n) 2 G существует и только одно решение '1; '2; : : : ; 'n : (x0 - ; x0 + ) -! R системы (3.2) удовлетворяющее начальным данным

Кош´и: при x = x0

'1(x0) = y01; '2(x0) = y02; : : : ; 'n(x0) = y0n:

Теорему примем без доказательства.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

3.2.Геометрическая интерпретация системы дифференциальных уравнений первого порядка. Интегральная кривая

Для геометрической интерпретации системы (3.2) запишем её в так называемой симметрической форме:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

(k = 0; 1; : : : ; n):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Замечание. Запись системы (3.1) в нормальной форме Кош´и предполагает, что одна из переменных, а именно переменная x, является независимой переменной. Остальные переменные y1; y2; ; yn есть функции переменной x.

В системе (3.4), заданной в симметрической форме записи, все переменные входят равноправно. Назначая любую из них независимой переменной мы можем записать эту систему в нормальной форме Кош´и.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

~

Пусть задано поле F = ( 0; 1; : : : ; n), где функции 0; 1; : : : ; n : D -! R; D Rn+1, непрерывны в D.

~

Тогда система (3.4) описывает векторные линии поля F. В теории систем дифференциальных уравнений вектор-

~

ные линии поля F называют интегральными кривыми системы дифференциальных уравнений (3.4) или (3.2).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit