DifYr

Доказательство. Так как Y1; Y2; : : : ; Yn – решения системы (3.19) на интервале (a; b), то при любых значениях постоянных C1; C2; : : : ; Cn отображение

Y = C1Y1 + C2Y2 + + CnYn

также является решением системы (3.19) на интервале (a; b) [см. следствие 9.1].

Фиксируем

T

x0 2 (a; b) и Y0 := y10; y20; y30; : : : ; yn0 2 Rn:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Рассмотрим вспомогательную систему из n ли-

Y1 (x0) C1 + Y2 (x0) C2 + + Yn (x0) Cn = Y0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определителем основной матрицы системы (3.21) является определитель Вронского W [Y1; Y2; : : : ; Yn] (x), вычисленный в точке x0. Так как решения Y1; Y2; : : : ; Yn

в силу теоремы 60 (Крамера) имеет, и притом единственное, решение C1; C2; : : : ; Cn.

Рассмотрим решение, получающееся из выражения (3.20) при C1 = C1, C2 = C2, : : :, Cn = Cn:

Y = C1Y1 + C2Y2 + + CnYn:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Так как C1; C2; : : : ; Cn решение системы (3.21), то

Y (x0) = Y1 (x0) C1 + Y2 (x0) C2 + + Yn (x0) Cn = Y0;

то есть решение Y системы (3.19) на интервале (a; b)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пусть := '1; '2; : : : ; 'n T : (a; b) -! Rn неко-

торое решение системы (3.19) на интервале (a; b) и x0 2 (a; b) произвольная точка.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Рассмотрим вспомогательную систему из n ли-

или, что то же самое,

Y1 (x0) C1 + Y2 (x0) C2 + + Yn (x0) Cn = (x0) :

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определителем основной матрицы системы (3.22) является определитель Вронского W [Y1; Y2; : : : ; Yn] (x), вычисленный в точке x0. Так как решения Y1; Y2; : : : ; Yn

в силу теоремы 60 (Крамера) имеет, и притом единственное, решение C~1; C~2; : : : ; C~n.

Рассмотрим решение, получающееся из выражения (3.20) при C1 = C~1, C2 = C~2, : : :, Cn = C~n:

Y~ = C~1Y1 + C~2Y2 + + C~nYn:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Так как

Y~ = C~1Y1 + C~2Y2 + : : : + C~nYn;

то при x = x0 имеем

Y~ (x0) = C~1Y1 (x0) + C~2Y2 (x0) + + C~nYn (x0) = (x0)

[C~1; C~2; : : : ; C~n – решение системы (3.22)].

Это значит, что решение Y~ на интервале (a; b) системы (3.19) удовлетворяет тем же начальным условиям, что и решение : (a; b) -! Rn:

x0; '1 (x0) ; '2 (x0) ; : : : ; 'n (x0) :

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

По теореме 8 (Кош´и) существования и единственности решения для системы

ddYx = -P(x)Y;

с непрерывны на (a; b) коэффициентами P : (a; b) -! Mnn(R); задание системы начальных данных однозначно определяет решение, то есть решение Y~ должно совпадать с решением :

(x) Y~(x) на интервале (a; b);

или, что то же,

(x) C~1Y1(x) + C~2Y2(x) + : : : + C~nYn(x)

на интервале (a; b).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Итак, из теоремы 12 следует, что размерность линейного пространства решений однородной системы n линейных уравнений первого порядка с n искомыми функциями и непрерывными на интервале (a; b) коэффициентами совпадает с числом уравнений или, что то же самое, числом искомых функций, а фундаментальная система решений на интервале (a; b) это базис линейного пространства решений.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit