DifYr

Запишем соответствующее линейное однородное уравнение

Корни характеристического уравнения k3 + k = 0:

k1 = 0; k2;3 = i:

Фундаментальная система решений уравнения (2.61) на интервале (a; b):

y1 = 1; y2 = cos x; y3 = sin x:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Общее решение уравнения (2.61):

y= C1 + C2 cos x + C3 sin x

вобласти D, где C1; C2; C3 – произвольные постоянные.

Запишем общее решение уравнения (2.60):

в области D с неизвестными функциями C1; C2; C3.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Составим для определения производных от неиз-

вестных функций C1; C2; C3 систему алгебраических уравнений:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решая систему (2.63) находим

C10(x) = sin1 x; C20(x) = - cossin xx; C30(x) = -1:

Интегрируем полученные соотношения:

где C1; C2; C3 – произвольные постоянные.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Подставляя найденные функции C1; C2; C3 в формулу (2.62), получим общее решение уравнения (2.60) в области D:

где C1; C2; C3 – произвольные постоянные.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2.16. Метод неопределённых коэффициентов для специальных видов правых частей

неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка:

y(n) + a1y(n-1) + a2y(n-2) + +

+an-1y0 + any = f(x) (2.64)

спостоянными действительными коэффициентами и непрерывной правой частью f на некотором (конечном

или бесконечном) интервале (a; b).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Общее решение уравнения (2.64) в области

всегда может быть найдено методом вариации постоянных, так как существует метод построения фундаментальной системы решений на интервале (a; b) для соответствующего линейного однородного уравнения с постоянными действительными коэффициентами

y(n) + a1y(n-1) + a2y(n-2) + +

+ an-1y0 + any = 0: (2.65)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Из теоремы 7 следует, что общее решение линейного неоднородного уравнения (2.64) в области D может быть получено как сумма общего решения соответствующего линейного однородного уравнения (2.65) в области D и какого-нибудь решения данного уравнения (2.64) на интервале (a; b).

Иногда, когда функция f – правая часть уравнения (2.64) – имеет специальный вид, частное решение уравнения (2.64) на интервале (a; b) может быть найдено чисто алгебраическим методом неопределенных коэффициентов.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

I. Если правая часть уравнения (2.64) имеет вид:

f(x) = Pm(x)eax;

где Pm(x) = A0xm + A1xm-1 + + Am-1x + Am – многочлен степени m, то частное решение уравнения (2.64)

на интервале (a; b) может быть найдено в виде:

y = xrQm(x)eax;

где Qm(x) = B0xm +B1xm-1 + +Bm-1x+Bm – некоторый многочлен степени m, a r – число, показывающее, сколько раз число a является корнем характеристиче-

ского уравнения для соответствующего линейного однородного уравнения (2.65).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

II. Если правая часть уравнения (2.64) имеет вид:

f(x) = e x [Pk(x) cos x + Ql(x) sin x] ;

где Pk; Ql – многочлены степени k и l, то частное решение уравнения (2.64) на интервале (a; b) может быть найдено в виде:

y = xre x [Rm(x) cos x + Sm(x) sin x] ;

где Rm; Sm – некоторые многочлены степени m,

m = maxfk; lg, a r – число, показывающее, сколько раз число s := + i является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного уравнения (2.65).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit