DifYr

Будем искать решения уравнения (2.39) в виде y = ekx,

где k – некоторое число.

Так как y0 = kekx; y00 = k2ekx; : : : ; y(n) = knekx, то

Многочлен F(k) = kn + a1kn-1 + + an-1k + an называется характеристическим многочленом дифференци-

ального уравнения (2.39). Формально этот многочлен получается из левой части уравнения (2.39), если все производные искомой функции заменить соответствующими степенями k.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Для того чтобы функция y = ekx являлась решением уравнения (2.39), необходимо и достаточно, чтобы

hi

L ekx = 0; то есть ekxF(k) = 0:

Множитель ekx отличен от нуля, следовательно, число k должно удовлетворять уравнению

F(k) = kn + a1kn-1 + + an-1k + an = 0: (2.40)

Уравнение (2.40) называется характеристическим уравнением, соответствующим данному дифференциальному уравнению (2.39).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Итак, для того чтобы функция y = ekx была решением дифференциального уравнения (2.39), необходимо и достаточно, чтобы число k было корнем соответствующего характеристического уравнения (2.40).

Характеристическое уравнение (2.40) есть алгебраическое уравнение n-й степени относительно k, следовательно, по основной теореме алгебры оно имеет ровно n корней: k1; k2; : : : ; kn. Каждому из этих корней соответствует решение дифференциального уравнения (2.39).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Алгоритм построения фундаментальной системы по корням характеристического уравнения:

каждому простому действительному корню k харак-

теристического уравнения (2.40) ставится в соответствие решение ekx;

каждому m-кратному действительному корню k характеристического уравнения (2.40) ставится в соответствие m решений:

ekx; xekx; x2ekx; : : : ; xm-1ekx;

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

каждой паре простых комплексно сопряженных корней i характеристического уравнения (2.40) ставятся в соответствие два решения:

e x cos x; e x sin x;

каждой паре m-кратных комплексно сопряженных корней i характеристического уравнения (2.40) ставится в соответствие 2m решений:

e x cos x; xe x cos x; : : : ; xm-1e x cos x; e x sin x; xe x sin x; : : : ; xm-1e x sin x:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Можно показать, что полученная таким образом совокупность решений образует фундаментальную систему решений уравнения (2.39) на интервале -1 < x < +1.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 30. Решить уравнение

y00 + y0 - 2y = 0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Запишем характеристическое уравнение:

k2 + k - 2 = 0

и находим его корни k1 = 1; k2 = -2. Этим корням соответствует фундаментальная система решений на R:

y1 = ex; y2 = e-2x:

Общее решение уравнения в пространстве R2: y = C1ex + C2e-2x;

где C1; C2 – произвольные постоянные.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 31. Решить уравнение

y00 + 4y0 + 4y = 0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Запишем характеристическое уравнение:

k2 + 4k + 4 = 0

и находим его корни k1 = -2; k2 = -2 (корень k1 = -2 кратности два). Этим корням соответствует фундаментальная система решений на R:

y1 = e-2x; y2 = xe-2x:

Общее решение уравнения в пространстве R2: y = C1e-2x + C2xe-2x;

где C1; C2 – произвольные постоянные.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit