Итак, выражение
y = 'k(x) dx + Ck yk =
k=1 |
|
n |
n |
X |
X |
= k=1 yk Z |
'k(x) dx + k=1 Ckyk (2.55) |
при любых значениях постоянных C1; C2; : : : ; Cn является решением уравнения (2.46) на интервале (a; b).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Так как выражение (2.55) представляет собой сумму решения линейного неоднородного уравнения (2.46):
Xn Z
Y~ = 'k(x) dx
k=1
и общего решения соответствующего линейного однородного уравнения в области D:
Y = C1y1 + C2y2 + + Cnyn;
то, в силу теоремы 7, оно является общим решением уравнения (2.46) области D.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Для решения линейного неоднородного уравнения
y(n) + p1(x)y(n-1) + p2(x)y(n-2) + +
+ pn-1(x)y0 + pn(x)y = q(x); (2.56)
где функции p1; p2; : : : ; pn; q : (a; b) -! R; (a; b) R;
непрерывны на некотором (конечном или бесконечном)
интервале (a; b), методом вариации постоянных рекомендуется:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Записать соответствующее линейное однородное уравнение
y(n) + p1(x)y(n-1) + p2(x)y(n-2) + +
+ pn-1(x)y0 + pn(x)y = 0: (2.57)
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Найти фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения (2.57) на интервале (a; b): y1; y2; : : : ; yn.
Записать общее решение уравнения (2.57):
y = C1y1 + C2y2 + + Cnyn
в области |
(x; y) 2 R2 |
|
x 2 (a; b); y 2 R : |
D := |
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Записать общее решение уравнения (2.56): |
|
y = C1(x)y1 + C2(x)y2 + + Cn(x)yn |
(2.58) |
в области |
(x; y) 2 R2 x 2 (a; b); y 2 R |
D := |
с неизвестными функциями |
C1; C2; : : : ; Cn. |
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Составить для определения производных от неиз-
вестных функций C1; C2; : : : ; Cn систему алгебраических уравнений:
8 |
y1(x)C10 |
> |
|
|
> |
|
|
> |
|
|
> |
|
|
> |
1 |
1 |
> |
y10 |
(x)C10 |
> |
|
|
> |
|
|
< |
|
|
> y00(x)C0 |
> |
1 |
1 |
> |
> |
(n-1) |
> |
> |
|
|
> |
|
|
> |
|
|
> |
|
|
: |
|
(x)C0 |
>y |
|
+y2(x)C20
+y20(x)C20
+y200(x)C20
+y(2n-1)(x)C20
+ |
|
+ |
yn(x)C0 |
|
|
|
n |
+ |
|
+ |
y0 |
(x)C0 |
|
|
n |
n |
+ |
|
+ |
y00(x)C0 |
|
|
n |
n |
|
|
+ |
|
+ yn(n-1)(x)C0 |
|
|
|
n |
=0;
=0;
=0;
= q(x):
(2.59)
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решив систему (2.59) и проинтегрировав найденные производные, найти функции C1; C2; : : : ; Cn.
Подставить найденные функции C1; C2; : : : ; Cn в формулу (2.58).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 34. Решить уравнение
|
y000 + y0 = |
1 |
: |
(2.60) |
|
sin x |
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решение. Уравнение (2.60) – линейное неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами.
Правая часть уравнения (2.60) – функция q(x) := sin1 x, естественная область определения которой является
dom q = x 2 R x 6= k ; k = 0; 1; 2; : : : : |
|
Будем искать общее решение |
уравнения (2.60) в области |
|
|
|
1 |
|
|
|
D := (x; y) 2 R2 a < x < b; - |
< y < + |
1 |
; |
где (a; b) – любой интервал, |
не |
содержащий точек |
k ; k = 0; 1; 2; : : :.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
