DifYr

Определителем основной матрицы системы (2.30) является определитель Вронского W(x), вычисленный в точке x0. Так как решения y1; y2; : : : ; yn линейно независимы на интервале (a; b), то W (x0) 6= 0, а значит, система (2.30), в силу теоремы 60 (Крамера) имеет, и притом единственное, решение C1; C2; : : : ; Cn.

Рассмотрим решение, получающееся из выражения (2.29) при C1 = C1, C2 = C2, : : :, Cn = Cn:

y = C1y1 + C2y2 + + Cnyn:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Так как C1; C2; : : : ; Cn решение системы (2.30), то

y (x0) = y1 (x0) C1+ y2 (x0) C2+ + yn (x0) Cn = y0;

то есть решение y уравнения (2.28) на интервале (a; b) проходит через точку (x0; y0) 2 D.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пусть ' : (a; b) -! R некоторое решение уравне-

ния (2.28) на интервале (a; b) и x0 2 (a; b) произвольная точка.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Рассмотрим вспомогательную систему из n ли-

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определителем основной матрицы системы (2.31) является определитель Вронского W(x), вычисленный в точке x0. Так как решения y1; y2; : : : ; yn линейно независимы на интервале (a; b), то W (x0) 6= 0, а значит, система (2.31), в силу теоремы 60 (Крамера) имеет, и притом единственное, решение C~1; C~2; : : : ; C~n.

Рассмотрим решение, получающееся из выражения (2.29) при C1 = C~1, C2 = C~2, : : :, Cn = C~n:

y~ = C~1y1 + C~2y2 + + C~nyn:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Так как

y~ = C~1y1 + C~2y2 + : : : + C~nyn; y~ 0 = C~1y10 + C~2y20 + : : : + C~nyn0 ;

y~(n-1) = C~1y(1n-1) + C~2y(2n-1) + : : : + C~ny(nn-1);

то при x = x0 имеем

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

y~(n-1) (x0) = C~1y(1n-1) (x0) + + C~ny(nn-1) (x0) = '(n-1) (x0) :

[C~1; C~2; : : : ; C~n – решение системы (2.31)]

Это значит, что решение y~ на интервале (a; b) уравнения L[y] = 0 удовлетворяет тем же начальным условиям, что и решение ' : (a; b) -! R:

x0; ' (x0) ; '0 (x0) ; : : : ; '(n-1) (x0) :

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

По теореме 2 (Кош´и) существования и единственности решения для уравнения

L[y] = 0;

с непрерывными на интервале (a; b) коэффициентами, задание системы начальных данных однозначно определяет решение, то есть решение y~ должно совпадать с решением ':

'(x) y~(x) на интервале (a; b);

или, что то же,

'(x) C~1y1(x) + C~2y2(x) + : : : + C~nyn(x)

на интервале (a; b).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Итак, из теоремы 5 следует, что размерность линейного пространства решений линейного однородного уравнения n-го порядка с непрерывными на интервале (a; b) коэффициентами совпадает с порядком этого уравнения, а фундаментальная система решений на интервале (a; b) это базис линейного пространства решений.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Таким образом, для отыскания общего решения в области

линейного однородного уравнения n-го порядка с непрерывными на интервале (a; b) коэффициентами достаточно найти n линейно независимых на интервале (a; b) решений и взять их линейную комбинацию с произвольными коэффициентами.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit