DifYr

Действительно, введем новую неизвестную функцию, положив z(x) := y(k)(x).

Тогда y(k+1) = z0(x); y(k+2) = z00(x); : : : ; y(n) = z(n-k)(x)

и уравнение (2.11) перепишется в виде:

Это дифференциальное уравнение порядка n - k < n относительно неизвестной функции z. Таким образом,

подстановка y(k) = z понижает порядок данного уравнения на k единиц.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Предположим, что

общее решение уравнения (2.12) в некоторой области D R2. Заменяя, обратно, z на y(k) в уравнении (2.13), получим

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Интегрируя уравнение (2.14) последовательно k раз, получим общее решение уравнения (2.11)

y= ' (x; C1; C2; : : : ; Cn)

вобласти D R2.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2.5. Уравнения вида F y; y0; y00; : : : ; y(n) = 0

Уравнения, не содержащие явно независимой переменной, то есть уравнения вида

допускают понижение порядка на единицу, если за новую независимую переменную взять y, а за новую иско-

мую функцию взять y0 = p(y).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Действительно, применяя правило дифференцирования композиции функций, получаем:

yx0 = p (y(x)) = p(y);

yx00 = py0 (y(x)) yx0 = py0 (y) p(y);

yx000 = py0 (y) p(y) x0 =

= py00 (y) yx0 p(y) + py0 (y) py0 (y) yx0 = = py00 (y) p2(y) + py02 (y) p(y);

и так далее

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Каждая из производных от y по x порядка m; (1 m n) выражается через производные от функции p по переменной y порядка не выше m - 1. Подставляя их значения в уравнение (2.15), получим относительно новой неизвестной функции p дифференциальное уравнение порядка n - 1:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Если

(y; p; C1; C2; : : : ; Cn-1) = 0

есть общий интеграл уравнения (2.16), то для отыскания решений данного дифференциального уравнения (2.15) остается решить уравнение первого порядка:

y; y0; C1; C2; : : : ; Cn-1 = 0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit